Äquivalenz Ausgleichsrechnung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 Sa 10.02.2007 | | Autor: | westpark |
Hallo Mathefreunde,
ich würde gerne die Äquivalenz [mm] A^{tr} [/mm] * A * x = 0 [mm] \gdw [/mm] A * x = 0 beweisen für alle mxn-Matrizen A über [mm] \IR [/mm] und alle x [mm] \in \IR^{n}, [/mm] wobei [mm] A^{tr} [/mm] die transponierte Matrix von A ist.
Also die Rückrichtung " [mm] \Leftarrow [/mm] " ist ja klar, aber bei der Hinrichtung bekomme ich es nicht hin.
U.a. habe ich folgenden Ansatz versucht, nämlich dass wenn die linke Seite gelte, dann x im Kern von ( [mm] A^{tr} [/mm] A ) liegen müsste für alle x, d.h., der Kern wäre die Menge [mm] IR^{n} [/mm] mit Dimension n und das Bild hätte Dimension 0. Das wäre dann der Rang der quadratischen Matrix [mm] A^{tr} [/mm] A und das macht irgendwie alles keinen Sinn und dann ist da bestimmt ein Fehler.
Ich würde mich also über einen Lösungsvorschlag freuen.
Mit Dank und freundlichen Grüßen verbleibend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo westpark,
Kann ja auch sein, daß hier nur "[mm]\Leftarrow[/mm]" gilt, denn für "[mm]\Rightarrow[/mm]" müßte doch [mm]A^{-1}[/mm] existieren? Und dazu müßte zumindest [mm]m=n[/mm] gelten, oder?
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 Sa 10.02.2007 | | Autor: | westpark |
Also ich habe die Aufgabe so gestellt, wie sie einmal in einer Klausur, die ich zwischen die Hände bekam, gestellt wurde. Deswegen glaube ich schon, dass es in beide Richtungen gelten muss.
Was die Existenz der Inversen angeht, hast du Recht: A quadratisch mit vollem Rang (i.e. det A [mm] \not= [/mm] 0 ) => [mm] A^{-1} [/mm] existiert und ist eindeutig.
Aber für nichtquadratische Matrizen, also beliebige mxn-Matrizen, existiert ja noch die sogenannte Pseudoinverse (eine Verallgemeinerung der Inversen), die man mittels Singulärwertzerlegung etwa erhält.
Ich habe mir auch mal gedacht, dass die Hinrichtung so funktionieren könnte: Gelte 0 = [mm] A^{tr}Ax [/mm] => [mm] A^{tr^+}0 [/mm] = 0 = Ax , wobei [mm] A^{tr^+} [/mm] die Pseudeinverse zu [mm] A^{tr} [/mm] ist. Dann wäre man fertig, und soweit ich weiß, existiert die Pseudoinverse f.a. mxn-Matrizen über [mm] \IR [/mm] .
Aber irgendwie erscheint mir das so einfach, dass es nur falsch sein kann.
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Hallo westpark,
Ich würde mal für A die Singulärwertzerlegung(die es für jede Matrix gibt) einsetzen. Das gibt eventuell etwas Argumentationshilfe.
viele Grüße
mathemaduenn
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