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Forum "Graphentheorie" - Äquivalenz IS, VC und CLIQUE
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Äquivalenz IS, VC und CLIQUE: Beweisidee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:55 Mi 09.08.2006
Autor: FraterQ

Hallo,

vorweg: mein Problem kommt aus der Komplexitätstheorie, da es sich im Grunde aber eher um ein Graphenproblem handelt, habe ich es hier gepostet.
In der Vorlesung Algorithmische Komplexitätstheorie wurde uns gesagt, dass die Probleme INDEPENDENT SET (IS), VERTEX COVER (VC) und CLIQUE im Prinzip die selbe Fragestellung beinhalten. Die Ähnlichkeit der Reduktion von [mm]3-SAT \le_p CLIQUE[/mm] und [mm]3-SAT \le_p IS[/mm] ist mir unmittelbar klar, da eine Instanz von CLIQUE mit dem Graphen [mm]G=(V,E)[/mm] ja nichts anderes ist als eine Instanz für IS mit dem Graphen [mm]G=(V,\overline{E})[/mm], also quasi der Komplementgraph. Das eigentliche Problem bezieht sich darauf zu zeigen, dass eine Instanz für VC mit dem Graphen [mm]G=(V,E\setminus \overline{E})[/mm] das gleiche Problem löst.

Meine Idee war folgende: Für eine Lösung [mm]V'[/mm] von Problem CLIQUE mit Instanz [mm]G=(V,E)[/mm] muss gelten
[mm]\forall u,v\in V':\{u,v\}\in E[/mm]
bei der Lösung [mm]V'[/mm] für IS
[mm]\forall u,v\in V':\{u,v\}\notin \overline{E}[/mm]
und analog für VC
[mm]\forall \{u,v\}\in E \setminus \overline{E}: u\in V' \vee v\in V'[/mm]

Jetzt bin ich mir als erstes nicht sicher, ob die Implikationen
[mm]\forall u,v\in V':\{u,v\}\in E \Rightarrow \forall \{u,v\}\in E: u\in V' \wedge v\in V'[/mm]
und
[mm]\forall u,v\in V':\{u,v\}\notin \overline{E} \Rightarrow \forall \{u,v\}\in \overline{E}: (u\in V' \wedge v\notin V') \vee (u\notin V' \wedge v\in V')[/mm]
richtig sind.
(Im folgenden habe ich der Übersichtlichkeit halber [mm]x \in V'[/mm] ausgedrückt mit [mm]x[/mm] und [mm]x \notin V'[/mm] ausgedrückt mit [mm]\overline{x}[/mm])

Wenn die Implikationen richtig sind, ergibt sich doch für mich naiven Informatiker der Schluss, dass wenn [mm]V'[/mm] eine CLIQUE ist, der boolsche Ausdruck [mm](u \wedge v)[/mm] erfüllt ist (für alle u,v). Analog dazu für IS [mm](u \wedge \overline{v}) \vee (\overline{u} \wedge v)[/mm]. Und für VC dann folglich [mm](u \vee v)[/mm].
Meine Annahme daraus ist jetzt, das doch im Prinzip [mm](u \wedge v) \wedge \overline{(u \wedge \overline{v}) \vee (\overline{u} \wedge v)}[/mm] gleich [mm](u \vee v)[/mm] sein müßte, da die Instanz für VC ja [mm]E\setminus \overline{E}[/mm] ist. Was es aber nicht ist, es sei denn ich bin spontan wirklich zu blöd.

Mittlerweile habe ich soviel darüber nachgedacht, dass ich ehrlichgesagt ein wenig feststecke und vor lauter wedge's und vee's überhaupt nichtsmehr sehe. Ist mein gesammtes Konzept fehlerhaft oder stimmt bei den Implikationen etwas nicht? Oder bin ich einfach nur zu blöd? :)
Wäre nett, wenn sich einer mal das Problem anschauen könnte, oder vielleicht einen anderen Beweis hat für die "Äquivalenz" von IS, VC und CLIQUE.
Danke schonmal im vorraus.

Gruß
Frater

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Äquivalenz IS, VC und CLIQUE: Link
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:21 Mi 09.08.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

Bin gerade noch am Überlegen, ob ich das selber direkt hinbekomme (hab' mir deine Ideen noch nicht durchgelesen), aber vllt reicht dir ja auch []das hier schon mal? Auf Seite 25 stehen Reduktionen [mm] CLIQUE\le_p [/mm] IP und [mm] IP\le_p [/mm] VC, wobei IP hier wohl IS sein soll...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
        
Bezug
Äquivalenz IS, VC und CLIQUE: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:03 Do 10.08.2006
Autor: mathiash

Moin zusammen,

nur ganz kurz:

Sei G=(V,E) ein Graph, dann sei der Komplementgraph [mm] \overline{G}=(V,P_2(V)\setminus [/mm] E)

mit [mm] P_2(V)=\{\{u,v\}|u,v\in V,\: u\neq v\}\:\: =\:\: \{e\subseteq V\:\: |\:\:\: |e|=2\} [/mm]

halt einfach der Graph, der aus G entsteht, indem ''alles'', was in G Kante war, nun keine ist und ''alles'', was in G keine Kante war, nun Kante ist.

Es gilt folgender einfacher Zusammenhang:

Eine Teilmenge [mm] U\subseteq [/mm] V ist Clique in G genau dann, wenn U Independent Set in [mm] \overline{G} [/mm] ist genau dann, wenn
[mm] V\setminus [/mm] U Vertex Cover in [mm] \overline{G} [/mm] ist.

Das liefert Dir die auch in dem Link von Bastiane beschriebenenen Reduktionen, auf die man aber nun auch selber kommen kann:

[mm] IS\leq_p VC,\:\:\: G,k\:\mapsto\: [/mm] G,|V|-k

(Also: G hat IS der Grösse mindestens k genau dann, wenn G ein VC der Grösse höchstens |V|-k hat.)

Prinzip klar ?

Gruss,

Mathias


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