Äquivalenz von Aussagen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X eine Menge und seien$ [mm] \tau [/mm] $und [mm] $\tau' [/mm] $ Topologien auf X.
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
1) [mm] $\tau \subseteq \tau^{'}$
[/mm]
2) [mm] $id_{X} :(X,\tau^{'}) \to (X,\tau) [/mm] ist stetig.
3) Für jeden topologischen Raum (Y,V) und jede stetige Funktion $f: [mm] (X,\tau) \to [/mm] (Y,V)$ ist auch $f: [mm] (X,\tau^{'}) \to [/mm] (Y,V)$ stetig.
4) Für jeden topologischen Raum (Y,V) und jede stetige Funktion $f:(Y,V) [mm] \to (X,\tau^{'})$ [/mm] ist auch $f:(Y,V) [mm] \to (X,\tau)$ [/mm] stetig. |
Hallo,
anbei meine Überlegungen.
$1 [mm] \Rightarrow [/mm] 2$
[mm] $\tau \subseteq \tau' \Rightarrow \forall [/mm] B [mm] \in \tau \Rightarrow [/mm] B [mm] \in \tau'$ [/mm] also [mm] $id^{-1}(B) \in \tau' [/mm] $ und damit ist [mm] $id_{X}$ [/mm] stetig.
$ 2 [mm] \Rightarrow [/mm] 3$
Die Funktion [mm] $id_{X} :(X,\tau^{'}) \to (X,\tau)$ [/mm] ist stetig und es ist [mm] $f:(X,\tau) \to [/mm] (Y,V) $ stetig also ist auch die Zusammensetzung $f [mm] \circ id_{X} [/mm] : [mm] (X,\tau') \to [/mm] (Y,V)$ stetig.
$3 [mm] \Rightarrow [/mm] 1$
Da $f: (X, [mm] \tau) \to [/mm] (Y,V)$ stetig ist gilt [mm] $\forall [/mm] B [mm] \in [/mm] V: [mm] f^{-1}(B) \in \tau [/mm] $ sowie soll dies [mm] $\forall [/mm] B [mm] \in [/mm] V : [mm] f^{-1}(B) \in \tau' [/mm] $ implizieren.
Also:
[mm] $\forall [/mm] B [mm] \in [/mm] V: [mm] f^{-1}(B) \Rightarrow \forall [/mm] B [mm] \in [/mm] V : [mm] f^{-1}(B) \in \tau' [/mm] $ und dies bedeutet : [mm] $\tau \subseteq \tau'$.
[/mm]
Also wären bis hier 1,2,3 äquivalent - habt ihr eventuell Kritikpunkte oder seht Fehler?
$ 4 [mm] \Rightarrow [/mm] 1$
[mm] $\forall [/mm] B [mm] \in \tau' [/mm] : [mm] f^{-1}(B) \in [/mm] V [mm] \Rightarrow \forall [/mm] B [mm] \in \tau [/mm] : [mm] f^{-1}(B) \in [/mm] V$ also [mm] $\tau \subseteq \tau'$
[/mm]
nun fehlt noch
$1 [mm] \Rightarrow [/mm] 4$ - da bin ich mir nicht ganz sicher... vielleicht wäre es sinnvoll zu zeigen : [mm] $\neg [/mm] 4 [mm] \Rightarrow \neg [/mm] 1$ ??
Besten Dank für die Hilfe und LG
Thomas
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Hallo,
> Sei X eine Menge und seien[mm] \tau [/mm]und [mm]\tau'[/mm] Topologien auf
> X.
> Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
>
> 1) [mm]\tau \subseteq \tau^{'}[/mm]
> 2) [mm]$id_{X} :(X,\tau^{'}) \to (X,\tau)[/mm]
> ist stetig.
> 3) Für jeden topologischen Raum (Y,V) und jede stetige
> Funktion [mm]f: (X,\tau) \to (Y,V)[/mm] ist auch [mm]f: (X,\tau^{'}) \to (Y,V)[/mm]
> stetig.
> 4) Für jeden topologischen Raum (Y,V) und jede stetige
> Funktion [mm]f:(Y,V) \to (X,\tau^{'})[/mm] ist auch [mm]f:(Y,V) \to (X,\tau)[/mm]
> stetig.
> Hallo,
>
> anbei meine Überlegungen.
>
> [mm]1 \Rightarrow 2[/mm]
> [mm]\tau \subseteq \tau' \Rightarrow \forall B \in \tau \Rightarrow B \in \tau'[/mm]
> also [mm]id^{-1}(B) \in \tau'[/mm] und damit ist [mm]id_{X}[/mm] stetig.
Das kann man aber schöner aufschreiben. Wo gehen die Voraussetzungen ein, etc.
Jedes $ B $, das offen bezüglich [mm] $\tau [/mm] $ ist, ist auch offen bezüglich [mm] $\tau'$. [/mm] Damit nun die Identität stetig ist muss für jedes $ B $, das offen bezüglich [mm] $\tau [/mm] $ ist auch [mm] $id^{-1} [/mm] B $ bezüglich [mm] $\tau'$ [/mm] offen sein. Wegen [mm] $id^{-1} [/mm] B=B $ ist dies genau die Forderung (i).
> [mm]2 \Rightarrow 3[/mm]
>
> Die Funktion [mm]id_{X} :(X,\tau^{'}) \to (X,\tau)[/mm] ist stetig
> und es ist [mm]f:(X,\tau) \to (Y,V)[/mm] stetig also ist auch die
> Zusammensetzung [mm]f \circ id_{X} : (X,\tau') \to (Y,V)[/mm]
> stetig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]3 \Rightarrow 1[/mm]
> Da [mm]f: (X, \tau) \to (Y,V)[/mm] stetig ist gilt [mm]\forall B \in V: f^{-1}(B) \in \tau[/mm]
> sowie soll dies [mm]\forall B \in V : f^{-1}(B) \in \tau'[/mm]
Was ist denn $ f $??
> implizieren.
> Also:
> [mm]\forall B \in V: f^{-1}(B) \Rightarrow \forall B \in V : f^{-1}(B) \in \tau'[/mm]
> und dies bedeutet : [mm]\tau \subseteq \tau'[/mm].
>
> Also wären bis hier 1,2,3 äquivalent - habt ihr eventuell
> Kritikpunkte oder seht Fehler?
Ich würde einfach in (3) $ [mm] f=id:(X,\tau)\to (X,\tau) [/mm] $ wählen. Dann ist nach (3) auch $ [mm] id:(X,\tau')\to (X,\tau) [/mm] $ stetig, also gilt (2), und dass (2) zu (1) äquivalent ist, haben wir oben schon gesehen.
> [mm]4 \Rightarrow 1[/mm]
>
> [mm]\forall B \in \tau' : f^{-1}(B) \in V \Rightarrow \forall B \in \tau : f^{-1}(B) \in V[/mm]
> also [mm]\tau \subseteq \tau'[/mm]
>
> nun fehlt noch
>
> [mm]1 \Rightarrow 4[/mm]
Das genügt nicht. Du brauchst beide Richtungen. Zeige doch [mm] (4)\iff(2) [/mm] genauso wie wir oben [mm] (3)\iff(2) [/mm] gesehen haben.
- da bin ich mir nicht ganz sicher...
> vielleicht wäre es sinnvoll zu zeigen : [mm]\neg 4 \Rightarrow \neg 1[/mm]
> ??
>
> Besten Dank für die Hilfe und LG
>
> Thomas
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hallo und danke für deine Antwort,
> Hallo,
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> > Sei X eine Menge und seien[mm] \tau [/mm]und [mm]\tau'[/mm] Topologien auf
> > X.
> > Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
> >
> > 1) [mm]\tau \subseteq \tau^{'}[/mm]
> > 2) [mm]$id_{X} :(X,\tau^{'}) \to (X,\tau)[/mm]
> > ist stetig.
> > 3) Für jeden topologischen Raum (Y,V) und jede stetige
> > Funktion [mm]f: (X,\tau) \to (Y,V)[/mm] ist auch [mm]f: (X,\tau^{'}) \to (Y,V)[/mm]
> > stetig.
> > 4) Für jeden topologischen Raum (Y,V) und jede stetige
> > Funktion [mm]f:(Y,V) \to (X,\tau^{'})[/mm] ist auch [mm]f:(Y,V) \to (X,\tau)[/mm]
> > stetig.
> > Hallo,
> >
> > anbei meine Überlegungen.
> >
> > [mm]1 \Rightarrow 2[/mm]
> > [mm]\tau \subseteq \tau' \Rightarrow \forall B \in \tau \Rightarrow B \in \tau'[/mm]
> > also [mm]id^{-1}(B) \in \tau'[/mm] und damit ist [mm]id_{X}[/mm] stetig.
>
> Das kann man aber schöner aufschreiben. Wo gehen die
> Voraussetzungen ein, etc.
>
> Jedes [mm]B [/mm], das offen bezüglich [mm]\tau[/mm] ist, ist auch offen
> bezüglich [mm]\tau'[/mm]. Damit nun die Identität stetig ist muss
> für jedes [mm]B [/mm], das offen bezüglich [mm]\tau[/mm] ist auch [mm]id^{-1} B[/mm]
> bezüglich [mm]\tau'[/mm] offen sein. Wegen [mm]id^{-1} B=B[/mm] ist dies
> genau die Forderung (i).
>
> > [mm]2 \Rightarrow 3[/mm]
> >
> > Die Funktion [mm]id_{X} :(X,\tau^{'}) \to (X,\tau)[/mm] ist stetig
> > und es ist [mm]f:(X,\tau) \to (Y,V)[/mm] stetig also ist auch die
> > Zusammensetzung [mm]f \circ id_{X} : (X,\tau') \to (Y,V)[/mm]
> > stetig.
>
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> > [mm]3 \Rightarrow 1[/mm]
>
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> > Da [mm]f: (X, \tau) \to (Y,V)[/mm] stetig ist gilt [mm]\forall B \in V: f^{-1}(B) \in \tau[/mm]
> > sowie soll dies [mm]\forall B \in V : f^{-1}(B) \in \tau'[/mm]
>
> Was ist denn [mm]f [/mm]??
f ist die Abbildung wie in 3 und 4 beschrieben.
3) Für jeden topologischen Raum (Y,V) und jede stetige
Funktion [mm]f: (X,\tau) \to (Y,V)[/mm] ist auch [mm]f: (X,\tau^{'}) \to (Y,V)[/mm]
über: [mm]f: (X,\tau) \to (Y,V)[/mm] , wissen wir dass es stetig ist, allerdings nicht wie genau f aussieht.
>
> > implizieren.
> > Also:
> > [mm]\forall B \in V: f^{-1}(B) \Rightarrow \forall B \in V : f^{-1}(B) \in \tau'[/mm]
> > und dies bedeutet : [mm]\tau \subseteq \tau'[/mm].
> >
> > Also wären bis hier 1,2,3 äquivalent - habt ihr eventuell
> > Kritikpunkte oder seht Fehler?
>
> Ich würde einfach in (3) [mm]f=id:(X,\tau)\to (X,\tau)[/mm]
> wählen. Dann ist nach (3) auch [mm]id:(X,\tau')\to (X,\tau)[/mm]
> stetig, also gilt (2), und dass (2) zu (1) äquivalent ist,
> haben wir oben schon gesehen.
>
> > [mm]4 \Rightarrow 1[/mm]
> >
> > [mm]\forall B \in \tau' : f^{-1}(B) \in V \Rightarrow \forall B \in \tau : f^{-1}(B) \in V[/mm]
> > also [mm]\tau \subseteq \tau'[/mm]
> >
> > nun fehlt noch
> >
> > [mm]1 \Rightarrow 4[/mm]
>
> Das genügt nicht. Du brauchst beide Richtungen. Zeige doch
> [mm](4)\iff(2)[/mm] genauso wie wir oben [mm](3)\iff(2)[/mm] gesehen haben.
>
>
> - da bin ich mir nicht ganz sicher...
> > vielleicht wäre es sinnvoll zu zeigen : [mm]\neg 4 \Rightarrow \neg 1[/mm]
> > ??
> >
> > Besten Dank für die Hilfe und LG
> >
> > Thomas
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
Lg
Thomas
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Ich verstehe leider nicht, wie deine Idee aussieht, deswegen lasse ich die Frage halb offen. Ich werde ausführen, wie ich [mm] (2)\iff(3) [/mm] zeigen würde.
(2) [mm] $id:(X,\tau')\to (X,\tau) [/mm] $ ist stetig
(3) Für jeden Raum $(Y, V) $ und jede stetige Abbildung $f:(Y, [mm] V)\to (X,\tau') [/mm] $ ist auch $ f:(Y, [mm] V)\to (X,\tau) [/mm] $ stetig.
[mm] (2)\implies(3): [/mm] Sei $ f $ wie in (3) $ [mm] V\to\tau'$. [/mm] Schalte die Identität aus (2) nach. Als Komposition stetiger Abbildungen ist $ [mm] f:V\to\tau [/mm] $ stetig.
[mm] (3)\implies(2): [/mm] Wähle $(Y, [mm] V)=(X,\tau') [/mm] $ und $ [mm] f=id:\tau'\to\tau'$. [/mm] Nach (3) ist dann auch $ [mm] id:\tau'\to\tau [/mm] $ stetig.
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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> Ich verstehe leider nicht, wie deine Idee aussieht,
> deswegen lasse ich die Frage halb offen. Ich werde
> ausführen, wie ich [mm](2)\iff(3)[/mm] zeigen würde.
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> (2) [mm]id:(X,\tau')\to (X,\tau)[/mm] ist stetig
> (3) Für jeden Raum [mm](Y, V)[/mm] und jede stetige Abbildung
> [mm]f:(Y, V)\to (X,\tau')[/mm] ist auch [mm]f:(Y, V)\to (X,\tau)[/mm] stetig.
>
> [mm](2)\implies(3):[/mm] Sei [mm]f[/mm] wie in (3) [mm]V\to\tau'[/mm]. Schalte die
> Identität aus (2) nach. Als Komposition stetiger
> Abbildungen ist [mm]f:V\to\tau[/mm] stetig.
>
> [mm](3)\implies(2):[/mm] Wähle [mm](Y, V)=(X,\tau')[/mm] und
> [mm]f=id:\tau'\to\tau'[/mm]. Nach (3) ist dann auch [mm]id:\tau'\to\tau[/mm]
> stetig.
>
> Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Ja danke, ich hab dich in deiner ersten Mitteilung falsch verstanden.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
Dann bleibt noch $ 2 [mm] \gdw [/mm] 4 $
$2 [mm] \Rightarrow [/mm] 4 $
$ [mm] id_{X} \circ [/mm] f : (Y,V) [mm] \to (X,\tau) [/mm] $ ist wieder als Komp. stetiger Fkt. stetig.
$4 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 $
Wähle $(Y,V) = [mm] (X,\tau') [/mm] , f = [mm] id_{X} :(X,\tau') \to (X,\tau')$ [/mm] nun ist nach 4 auch
$f = [mm] id_{X} [/mm] : [mm] (X,\tau') \to (X,\tau) [/mm] $ stetig.
Lg Thomas
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Hallo,
Dasselbe habe ich eben geschrieben - ich habe [mm] 2\iff4 [/mm] gezeigt, habe nur die Bezeichnungen von 2 und 3 vertauscht gehabt. Was du hier stehen hast ist jedenfalls der korrekte Beweis von [mm] 2\iff4 [/mm] und darum geht es ja.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Na gut wir haben:
$1 [mm] \gdw [/mm] 2$
$ B [mm] \in \tau \Rightarrow [/mm] B [mm] \in \tau'. [/mm] Die Identität ist genau dann stetig falls [mm] $\forall [/mm] B [mm] \in \tau [/mm] , [mm] id^{-1}(B) \in \tau'$ [/mm] , da nun aber $ [mm] id^{-1}(B) [/mm] =B$ sind wir fertig.
$ 2 [mm] \Rightarrow [/mm] 3$
$f [mm] \circ id_{x} [/mm] : [mm] (X,\tau') \to [/mm] (Y,V) $ ist stetig als Zusammensetzung stetiger Funktionen.
$ 3 [mm] \Rightarrow [/mm] 2$
Wähle $(Y,V) = [mm] (X,\tau)$, [/mm] dann folgt direkt aus 3 die Behauptung in 2.
$2 [mm] \Rightarrow [/mm] 4$
$f [mm] \circ id_{X} [/mm] : [mm] (X,\tau') \to (X,\tau)$ [/mm] ist stetig.
$4 [mm] \Rightarrow [/mm] 2$
$(Y,V) = [mm] (X,\tau') [/mm] , [mm] id_{X}:(X,\tau') \to (X,\tau')$ [/mm] so ist nach 4 auch : $ [mm] id_{X}:(X,\tau') \to (X,\tau)$ [/mm] stetig.
So das sollte jetzt so passen?
Lg Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Mo 13.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Thomas_Aut!
> > > [mm]3 \Rightarrow 1[/mm]
> >
> >
> >
> > > Da [mm]f: (X, \tau) \to (Y,V)[/mm] stetig ist gilt [mm]\forall B \in V: f^{-1}(B) \in \tau[/mm]
> > > sowie soll dies [mm]\forall B \in V : f^{-1}(B) \in \tau'[/mm]
> >
> > Was ist denn [mm]f [/mm]??
> f ist die Abbildung wie in 3 und 4
> beschrieben.
> 3) Für jeden topologischen Raum (Y,V) und jede stetige
> Funktion [mm]f: (X,\tau) \to (Y,V)[/mm] ist auch [mm]f: (X,\tau^{'}) \to (Y,V)[/mm]
>
> über: [mm]f: (X,\tau) \to (Y,V)[/mm] , wissen wir dass es stetig
> ist, allerdings nicht wie genau f aussieht.
Du bist bei [mm] $3)\Rightarrow [/mm] 1)$; du setzt also hier 3) als gegeben voraus.
3) macht keine Aussage über die Existenz einer Abbildung f, sondern trifft eine Aussage über alle Abbildungen f mit gewissen Eigenschaften.
In 3) wird also keine Abbildung beschrieben.
(Anders sieht die Situation aus, wenn du 3) nicht als gegeben voraussetzt, sondern zeigen möchtest:
Dann kannst du eine Funktion f mit den gewissen Eigenschaften als "beliebig vorgegeben" betrachten und den Nachweis erbringen, dass diese Funktion f die gewünschte Eigenschaft hat.)
Viele Grüße
Tobias
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