Äquivalenz von Aussagen < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Fr 05.04.2013 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | [mm] $\varphi$ [/mm] sei eine Aussageform, $X$ die Menge der Elemente $x$ und [mm] $\psi$ [/mm] eine Aussage.
Beweise:
a) $ [mm] \forall [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \wedge \psi) \Leftrightarrow (\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)) [mm] \wedge \psi$
[/mm]
b) [mm] $\forall [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi) \Leftrightarrow (\forall [/mm] x [mm] \psi [/mm] (x)) [mm] \vee \psi$
[/mm]
c) [mm] $\exists [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi) \Leftrightarrow (\exists [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)) [mm] \vee \psi$. [/mm] |
a) $ [mm] \forall [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \wedge \psi)$ [/mm] genau dann, wenn für alle $x [mm] \in [/mm] X$ die Aussage [mm] $\varphi [/mm] (x) [mm] \wedge \psi$ [/mm] wahr ist. Das bedeutet aber, dass beide Aussagen [mm] $\varphi [/mm] (x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$ und [mm] $\psi$ [/mm] wahr sind. Das heißt wiederum, dass die Aussagen [mm] $\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)$ und [mm] $\psi [/mm] $ wahr sind also [mm] $(\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)) [mm] \wedge \psi$.
[/mm]
b) [mm] $\forall [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi) [/mm] $ genau dann, wenn für alle $x [mm] \in [/mm] X$ die Aussage [mm] $\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi$ [/mm] wahr ist. Das bedeutet aber, dass die Aussage [mm] $\varphi [/mm] (x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$ oder [mm] $\psi$ [/mm] wahr ist. Das heißt wiederum, dass die Aussage [mm] $\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)$ oder [mm] $\psi$ [/mm] wahr ist also [mm] $(\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)) [mm] \wedge \psi$.
[/mm]
c) [mm] $\exists [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi) [/mm] $ genau dann, wenn es ein [mm] $x_0 \in [/mm] X $ gibt, so dass die Aussage [mm] $\varphi (x_0) \vee \psi$ [/mm] wahr ist. Das bedeutet aber, dass die Aussage [mm] $\varphi (x_0)$ [/mm] oder [mm] $\psi [/mm] $ war ist. Das heißt wiederum, dass die Aussagen [mm] $\exists [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)$ oder [mm] $\psi$ [/mm] wahr ist also [mm] $(\exists [/mm] x [mm] \psi [/mm] (x)) [mm] \wedge \psi$.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Di 09.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ne1,
> [mm]\varphi[/mm] sei eine Aussageform, [mm]X[/mm] die Menge der Elemente [mm]x[/mm]
> und [mm]\psi[/mm] eine Aussage.
> Beweise:
> a) [mm]\forall x (\varphi (x) \wedge \psi) \Leftrightarrow (\forall x \varphi (x)) \wedge \psi[/mm]
>
> b) [mm]\forall x (\varphi (x) \vee \psi) \Leftrightarrow (\forall x \psi (x)) \vee \psi[/mm]
>
> c) [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi) \Leftrightarrow (\exists x \varphi (x)) \vee \psi[/mm].
Ist irgendwo vorausgesetzt, dass $X$ nicht die leere Menge ist? Sonst sind a) und c) im Allgemeinen falsch.
> a) [mm]\forall x (\varphi (x) \wedge \psi)[/mm] genau dann, wenn
> für alle [mm]x \in X[/mm] die Aussage [mm]\varphi (x) \wedge \psi[/mm] wahr
> ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das bedeutet aber, dass beide Aussagen [mm]\varphi (x)[/mm]
> für alle [mm]x \in X[/mm] und [mm]\psi[/mm] wahr sind.
Das stimmt im Falle [mm] $X=\emptyset$ [/mm] nicht.
> Das heißt wiederum,
> dass die Aussagen [mm]\forall x \varphi (x)[/mm] und [mm]\psi[/mm] wahr sind
> also [mm](\forall x \varphi (x)) \wedge \psi[/mm].
> b) [mm]\forall x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm] genau dann, wenn für
> alle [mm]x \in X[/mm] die Aussage [mm]\varphi (x) \vee \psi[/mm] wahr ist.
> Das bedeutet aber, dass die Aussage [mm]\varphi (x)[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
> oder [mm]\psi[/mm] wahr ist.
Stimmt zwar, aber diesen entscheidenden Schritt würde ich genauer begründen. Du behauptest eine genau-dann-wenn-Aussage. Zeige am besten beide Richtungen getrennt. Dabei wirst du Fallunterscheidungen benötigen.
> Das heißt wiederum, dass die Aussage
> [mm]\forall x \varphi (x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] wahr ist also [mm](\forall x \varphi (x)) \wedge \psi[/mm].
> c) [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm] genau dann, wenn es
> ein [mm]x_0 \in X[/mm] gibt, so dass die Aussage [mm]\varphi (x_0) \vee \psi[/mm]
> wahr ist.
> Das bedeutet aber, dass die Aussage [mm]\varphi (x_0)[/mm]
> oder [mm]\psi[/mm] war ist.
> Das heißt wiederum, dass die Aussagen
> [mm]\exists x \varphi (x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] wahr ist also [mm](\exists x \psi (x)) \wedge \psi[/mm].
[mm] ($\vee$ [/mm] statt [mm] $\wedge$ [/mm] muss es am Schluss heißen.)
Hier schlussfolgerst du richtig, führst aber keine Äquivalenzumformungen aus. Zu zeigen ist noch die Rück-Richtung (die allerdings im Falle [mm] $X=\emptyset$ [/mm] falsch ist.)
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Fr 12.04.2013 | | Autor: | ne1 |
Danke Tobias für Deine Antwort.
>Ist irgendwo vorausgesetzt, dass $ X $ nicht die leere Menge ist? Sonst sind a) und c) im Allgemeinen falsch.
Ja, natürlich ist $X$ eine nicht leere Menge (habe vergessen das zu schreiben :D).
Ich versuche es vielleicht noch mal bisschen genauer.
a) [mm] $\forall [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \wedge \psi) \Leftrightarrow (\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x) ) [mm] \wedge \psi$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Ich nehme an die Aussage [mm] $\forall [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \wedge \psi)$ [/mm] sei wahr. Das beduetet, dass für alle $x [mm] \in [/mm] X$, [mm] $\varphi [/mm] (x) [mm] \wedge \psi$ [/mm] richtig ist. Das heißt, dass [mm] $\varphi [/mm] (x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$ und [mm] $\psi$ [/mm] richtig sind. Das heißt wiederum, dass die Aussagen $ [mm] \forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x) $ und [mm] $\psi$ [/mm] richtig sind, also $ [mm] (\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)) [mm] \wedge \psi [/mm] $.
[mm] $\Leftarrow$
[/mm]
Ich nehme an die Aussage [mm] $(\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)) [mm] \wedge \psi [/mm] $ sei wahr. Das bedeutet, dass für alle $x [mm] \in [/mm] X$, [mm] $\varphi [/mm] (x)$ richtig ist und auch [mm] $\psi$ [/mm] wahr ist. Da aber [mm] $\psi$ [/mm] von $x$ unabhängig ist, sind [mm] $\varphi [/mm] (x)$ und [mm] $\psi$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] X$ wahr. Dies können wir schreiben als [mm] $\forall [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \wedge \psi)$.
[/mm]
b) $ [mm] \forall [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi) \Leftrightarrow (\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)) [mm] \vee \psi [/mm] $
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Ich nehme an die Aussage [mm] $\forall [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi)$ [/mm] sei wahr. Das bedeutet, dass für alle $x [mm] \in [/mm] X$, [mm] $\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi$ [/mm] richtig ist. Das heißt, dass [mm] $\varphi [/mm] (x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$ oder [mm] $\psi$ [/mm] richtig ist. Das heißt wiederum, dass die Aussagen [mm] $\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x))$ oder [mm] $\psi$ [/mm] richtig sind, also [mm] $(\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)) [mm] \vee \psi [/mm] $.
[mm] $\Leftarrow$
[/mm]
Ich nehme an die Aussage [mm] $(\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)) [mm] \vee \psi$ [/mm] sei wahr. Das bedeutet, dass für alle $x [mm] \in [/mm] X$, [mm] $\varphi [/mm] (x)$ richtig ist oder [mm] $\psi$ [/mm] richtig. Da aber [mm] $\psi$ [/mm] von $x$ unabhängig ist, ist [mm] $\varphi [/mm] (x)$ oder [mm] $\psi$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] X$ wahr. Dies können wir schreiben als [mm] $\forall [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi)$.
[/mm]
c) $ [mm] \exists [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi) \Leftrightarrow (\exists [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)) [mm] \vee \psi [/mm] $
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Ich nehme an die Aussage [mm] $\exists [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi)$ [/mm] sei wahr. Das bedeutet, dass es ein [mm] $x_0 \in [/mm] X$ gibt, so dass [mm] $\varphi (x_0) \vee \psi [/mm] $ wahr. Das heißt aber, dass [mm] $\varphi (x_0)$ [/mm] oder [mm] $\psi$ [/mm] richtig ist. Das heißt wiederum, dass die Aussage [mm] $\exists [/mm] x [mm] \varphi(x)$ [/mm] oder [mm] $\psi$ [/mm] wahr ist, also [mm] $(\exists [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)) [mm] \vee \psi$.
[/mm]
[mm] $\Leftarrow$
[/mm]
Ich nehme an die Aussage [mm] $(\exists [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x)) [mm] \vee \psi$ [/mm] sei wahr. Das bedeutet, dass es ein [mm] $x_0 \in [/mm] X$ gibt, so dass [mm] $\varphi (x_0)$ [/mm] richtig oder [mm] $\psi$ [/mm] richtig. Da aber [mm] $\psi$ [/mm] von $x$ unabhängig ist, sind [mm] $\varphi [/mm] (x)$ oder [mm] $\psi$ [/mm] für ein $x [mm] \in [/mm] X$ richtig, also [mm] $\exists [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi)$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Fr 12.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> a) [mm]\forall x (\varphi (x) \wedge \psi) \Leftrightarrow (\forall x \varphi (x) ) \wedge \psi[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Ich nehme an die Aussage [mm]\forall x (\varphi (x) \wedge \psi)[/mm]
> sei wahr. Das beduetet, dass für alle [mm]x \in X[/mm], [mm]\varphi (x) \wedge \psi[/mm]
> richtig ist. Das heißt, dass [mm]\varphi (x)[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
> und [mm]\psi[/mm] richtig sind.
Ich bin in dieser Hinsicht vielleicht etwas spitzfindiger als andere, aber mir stellt sich die Frage: Warum ist [mm] $\psi$ [/mm] richtig? Ich sehe nur, dass [mm] $\psi$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] X$ richtig ist.
Wo ist der Unterschied? Wenn $X$ die leere Menge wäre, wäre [mm] $\psi$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] X$ richtig, selbst wenn [mm] $\psi$ [/mm] falsch wäre. Denn angenommen [mm] $\psi$ [/mm] würde nicht für alle [mm] $x\in [/mm] X$ gelten, so gäbe es ein [mm] $x\in X=\emptyset$, [/mm] für das [mm] $\psi$ [/mm] nicht gelten würde. [mm] $x\in\emptyset$ [/mm] ist aber ein Widerspruch.
Da aber hier [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] vorausgesetzt wird, kann man tatsächlich aus [mm] "$\psi$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] X$" auf [mm] $\psi$ [/mm] schließen: Wegen [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] existiert ein [mm] $x_0\in [/mm] X$. Wegen [mm] $\psi$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] X$ und [mm] $x_0\in [/mm] X$ gilt [mm] $\psi$ [/mm] für dieses Element [mm] $x_0$. [/mm] Da [mm] $\psi$ [/mm] gar nicht von [mm] $x_0$ [/mm] abhängt, sind die Aussagen [mm] "$\psi$ [/mm] gilt für [mm] $x_0$" [/mm] und [mm] "$\psi$ [/mm] gilt" äquivalent.
Sicherlich erwartet niemand eine so detaillierte Argumentation wie ich sie hier gebe. Aber zumindest sollte an dieser Stelle stehen, dass [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] eingeht.
> Das heißt wiederum, dass die
> Aussagen [mm]\forall x \varphi (x)[/mm] und [mm]\psi[/mm] richtig sind, also
> [mm](\forall x \varphi (x)) \wedge \psi [/mm].
Bis auf die eine Stelle:
> [mm]\Leftarrow[/mm]
> Ich nehme an die Aussage [mm](\forall x \varphi (x)) \wedge \psi[/mm]
> sei wahr. Das bedeutet, dass für alle [mm]x \in X[/mm], [mm]\varphi (x)[/mm]
> richtig ist und auch [mm]\psi[/mm] wahr ist. Da aber [mm]\psi[/mm] von [mm]x[/mm]
> unabhängig ist, sind [mm]\varphi (x)[/mm] und [mm]\psi[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
> wahr. Dies können wir schreiben als [mm]\forall x (\varphi (x) \wedge \psi)[/mm].
> b) [mm]\forall x (\varphi (x) \vee \psi) \Leftrightarrow (\forall x \varphi (x)) \vee \psi[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Ich nehme an die Aussage [mm]\forall x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm]
> sei wahr. Das bedeutet, dass für alle [mm]x \in X[/mm], [mm]\varphi (x) \vee \psi[/mm]
> richtig ist. Das heißt, dass [mm]\varphi (x)[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
> oder [mm]\psi[/mm] richtig ist.
Ich denke, dieser Schritt bedarf einer näheren Begründung. Wenn für alle [mm] $x\in [/mm] X$ [mm] $\varphi(x)\vee\psi$ [/mm] wahr ist, wissen wir zunächst nur, dass für jedes einzelne [mm] $x\in [/mm] X$ mindestens eine der beiden Aussagen [mm] $\varphi(x)$ [/mm] und [mm] $\psi$ [/mm] wahr ist. A priori muss das noch lange nicht heißen, dass für alle [mm] $x\in [/mm] X$ die gleiche der beiden Aussageformen [mm] $\varphi(x)$ [/mm] und [mm] $\psi$ [/mm] wahr ist. Nur weil hier [mm] $\psi$ [/mm] gar nicht von $x$ abhängt, kann man zeigen, dass "für alle [mm] $x\in [/mm] X$ [mm] $\varphi(x)$" [/mm] oder [mm] $\psi$ [/mm] gelten muss. Mache dazu z.B. eine Fallunterscheidung nach [mm] $\psi$ [/mm] gilt bzw. [mm] $\psi$ [/mm] gilt nicht.
> Das heißt wiederum, dass die
> Aussagen [mm]\forall x \varphi (x))[/mm] oder [mm]\psi[/mm] richtig sind,
> also [mm](\forall x \varphi (x)) \vee \psi [/mm].
Ansonsten:
> [mm]\Leftarrow[/mm]
> Ich nehme an die Aussage [mm](\forall x \varphi (x)) \vee \psi[/mm]
> sei wahr. Das bedeutet, dass für alle [mm]x \in X[/mm], [mm]\varphi (x)[/mm]
> richtig ist oder [mm]\psi[/mm] richtig. Da aber [mm]\psi[/mm] von [mm]x[/mm]
> unabhängig ist, ist [mm]\varphi (x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
> wahr.
(Unterscheide hier am besten die Fälle [mm] $\psi$ [/mm] wahr und [mm] $\forall x\colon \varphi(x)$ [/mm] wahr.)
> Dies können wir schreiben als [mm]\forall x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm].
> c) [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi) \Leftrightarrow (\exists x \varphi (x)) \vee \psi[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Ich nehme an die Aussage [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm]
> sei wahr. Das bedeutet, dass es ein [mm]x_0 \in X[/mm] gibt, so dass
> [mm]\varphi (x_0) \vee \psi[/mm] wahr. Das heißt aber, dass
> [mm]\varphi (x_0)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] richtig ist. Das heißt wiederum,
Genauer: "Daraus folgt,"
> dass die Aussage [mm]\exists x \varphi(x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] wahr ist,
> also [mm](\exists x \varphi (x)) \vee \psi[/mm].
> [mm]\Leftarrow[/mm]
> Ich nehme an die Aussage [mm](\exists x \varphi (x)) \vee \psi[/mm]
> sei wahr. Das bedeutet, dass es ein [mm]x_0 \in X[/mm] gibt, so dass
> [mm]\varphi (x_0)[/mm] richtig oder [mm]\psi[/mm] richtig. Da aber [mm]\psi[/mm] von [mm]x[/mm]
> unabhängig ist, sind [mm]\varphi (x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] für ein [mm]x \in X[/mm]
> richtig,
Warum existiert so ein [mm] $x\in [/mm] X$? Unterscheide die Fälle [mm] $\varphi(x_0)$ [/mm] wahr und [mm] $\psi$ [/mm] wahr. Konstruiere bzw. gib in beiden Fällen Zeugen für die Existenzbehauptung an. Bei einem Fall wirst du [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] benötigen.
> also [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm].
Wie bereits angedeutet: Es ist hier vielfach Geschmackssache, wie genau die Begründungen sein sollen. Ich denke aber, es sollte Erwähnung finden, wo die Voraussetzung [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] benötigt wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Fr 12.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> > a) [mm]\forall x (\varphi (x) \wedge \psi) \Leftrightarrow (\forall x \varphi (x) ) \wedge \psi[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > Ich nehme an die Aussage [mm]\forall x (\varphi (x) \wedge \psi)[/mm]
> > sei wahr. Das beduetet, dass für alle [mm]x \in X[/mm], [mm]\varphi (x) \wedge \psi[/mm]
> > richtig ist. Das heißt, dass [mm]\varphi (x)[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
> > und [mm]\psi[/mm] richtig sind.
> Ich bin in dieser Hinsicht vielleicht etwas spitzfindiger
> als andere, aber mir stellt sich die Frage: Warum ist [mm]\psi[/mm]
> richtig? Ich sehe nur, dass [mm]\psi[/mm] für alle [mm]x\in X[/mm] richtig
> ist.
>
> Wo ist der Unterschied? Wenn [mm]X[/mm] die leere Menge wäre, wäre
> [mm]\psi[/mm] für alle [mm]x\in X[/mm] richtig, selbst wenn [mm]\psi[/mm] falsch
> wäre. Denn angenommen [mm]\psi[/mm] würde nicht für alle [mm]x\in X[/mm]
> gelten, so gäbe es ein [mm]x\in X=\emptyset[/mm], für das [mm]\psi[/mm]
> nicht gelten würde. [mm]x\in\emptyset[/mm] ist aber ein
> Widerspruch.
>
> Da aber hier [mm]X\not=\emptyset[/mm] vorausgesetzt wird, kann man
> tatsächlich aus "[mm]\psi[/mm] für alle [mm]x\in X[/mm]" auf [mm]\psi[/mm]
> schließen: Wegen [mm]X\not=\emptyset[/mm] existiert ein [mm]x_0\in X[/mm].
> Wegen [mm]\psi[/mm] für alle [mm]x\in X[/mm] und [mm]x_0\in X[/mm] gilt [mm]\psi[/mm] für
> dieses Element [mm]x_0[/mm]. Da [mm]\psi[/mm] gar nicht von [mm]x_0[/mm] abhängt,
> sind die Aussagen "[mm]\psi[/mm] gilt für [mm]x_0[/mm]" und "[mm]\psi[/mm] gilt"
> äquivalent.
Danke :), ist jetzt verständlich.
> > [mm]\Leftarrow[/mm]
> > Ich nehme an die Aussage [mm](\forall x \varphi (x)) \wedge \psi[/mm]
> > sei wahr. Das bedeutet, dass für alle [mm]x \in X[/mm], [mm]\varphi (x)[/mm]
> > richtig ist und auch [mm]\psi[/mm] wahr ist. Da aber [mm]\psi[/mm] von [mm]x[/mm]
> > unabhängig ist, sind [mm]\varphi (x)[/mm] und [mm]\psi[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
> > wahr. Dies können wir schreiben als [mm]\forall x (\varphi (x) \wedge \psi)[/mm].
>
>
Hier muss ich mich nicht mehr darum kümmern, dass $X [mm] \not [/mm] = [mm] \emptyset$, [/mm] da ich weiß, dass [mm] $\psi$ [/mm] gelten muss, oder?
> > b) [mm]\forall x (\varphi (x) \vee \psi) \Leftrightarrow (\forall x \varphi (x)) \vee \psi[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > Ich nehme an die Aussage [mm]\forall x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm]
> > sei wahr. Das bedeutet, dass für alle [mm]x \in X[/mm], [mm]\varphi (x) \vee \psi[/mm]
> > richtig ist. Das heißt, dass [mm]\varphi (x)[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
> > oder [mm]\psi[/mm] richtig ist.
> Ich denke, dieser Schritt bedarf einer näheren
> Begründung. Wenn für alle [mm]x\in X[/mm] [mm]\varphi(x)\vee\psi[/mm] wahr
> ist, wissen wir zunächst nur, dass für jedes einzelne
> [mm]x\in X[/mm] mindestens eine der beiden Aussagen [mm]\varphi(x)[/mm] und
> [mm]\psi[/mm] wahr ist. A priori muss das noch lange nicht heißen,
> dass für alle [mm]x\in X[/mm] die gleiche der beiden Aussageformen
> [mm]\varphi(x)[/mm] und [mm]\psi[/mm] wahr ist. Nur weil hier [mm]\psi[/mm] gar nicht
> von [mm]x[/mm] abhängt, kann man zeigen, dass "für alle [mm]x\in X[/mm]
> [mm]\varphi(x)[/mm]" oder [mm]\psi[/mm] gelten muss. Mache dazu z.B. eine
> Fallunterscheidung nach [mm]\psi[/mm] gilt bzw. [mm]\psi[/mm] gilt nicht.
>
> > Das heißt wiederum, dass die
> > Aussagen [mm]\forall x \varphi (x))[/mm] oder [mm]\psi[/mm] richtig sind,
> > also [mm](\forall x \varphi (x)) \vee \psi [/mm].
> Ansonsten:
>
Ja, das Problem verstehe ich jetzt auch. Ich versuche also noch mal.
Ich nehme an die Aussage [mm] $\forall [/mm] x [mm] (\varphi(x) \vee \psi)$ [/mm] sei wahr. Das bedeutet, dass für alle $x [mm] \in [/mm] X$, [mm] $\varphi(x) \vee \psi$ [/mm] wahr.
1. Fall: [mm] $\psi$ [/mm] sei falsch:
Da $X [mm] \neq \emptyset$, [/mm] ist [mm] $\psi$ [/mm] für alle $x$ falsch, deshalb muss [mm] $\varphi(x)$ [/mm] für alle $x$ richtig sein also [mm] $(\forall [/mm] x [mm] \varphi(x))$.
[/mm]
2. Fall: [mm] $\psi$ [/mm] sei richtig:
für alle $x [mm] \in [/mm] X$ ist [mm] $\psi$ [/mm] richtig. Man kann auch nur [mm] $\psi$ [/mm] schreiben.
Insgesamt haben wir also einen der beiden oberen Fälle, d.h. [mm] $(\forall [/mm] x [mm] \varphi(x))$ [/mm] oder [mm] $\psi$ [/mm] also [mm] $(\forall [/mm] x [mm] \varphi(x))\vee \psi$.
[/mm]
> > [mm]\Leftarrow[/mm]
> > Ich nehme an die Aussage [mm](\forall x \varphi (x)) \vee \psi[/mm]
> > sei wahr. Das bedeutet, dass für alle [mm]x \in X[/mm], [mm]\varphi (x)[/mm]
> > richtig ist oder [mm]\psi[/mm] richtig. Da aber [mm]\psi[/mm] von [mm]x[/mm]
> > unabhängig ist, ist [mm]\varphi (x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
> > wahr.
> (Unterscheide hier am besten die Fälle [mm]\psi[/mm] wahr und
> [mm]\forall x\colon \varphi(x)[/mm] wahr.)
>
> > Dies können wir schreiben als [mm]\forall x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm].
>
>
Ich nehme an die Aussage [mm] $(\forall [/mm] x [mm] \varphi(x)) \vee \psi$ [/mm] sei wahr. Das bedeutet, dass für alle $x [mm] \in [/mm] X$, [mm] $\varphi(x)$ [/mm] richtig oder [mm] $\psi$ [/mm] richtig.
1. Fall: [mm] $\psi$ [/mm] sei falsch:
[mm] $\psi$ [/mm] falsch, deshalb muss [mm] $\varphi(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] X$ richtig sein, also [mm] $\forall [/mm] x [mm] \varphi(x)$.
[/mm]
2. Fall: [mm] $\psi$ [/mm] sei wahr:
[mm] $\psi$ [/mm] ist auch für alle $x [mm] \in [/mm] X$ wahr, also [mm] $\forall [/mm] x [mm] \psi$.
[/mm]
Insgesamt haben wir also einen der beiden oberen Fälle, d.h. [mm] $\forall [/mm] x [mm] \varphi(x)$ [/mm] oder [mm] $\forall [/mm] x [mm] \psi$. [/mm] Ich weiß aber, dass [mm] $\forall [/mm] x [mm] \varphi(x) \vee \forall [/mm] x [mm] \psi(x) \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] (\varphi(x) \vee \psi(x))$ [/mm] eine Tautologie (habe ich schon früher in meinem Skript gezeigt), deshalb [mm] $\forall [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi)$.
[/mm]
>
> > c) [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi) \Leftrightarrow (\exists x \varphi (x)) \vee \psi[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > Ich nehme an die Aussage [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm]
> > sei wahr. Das bedeutet, dass es ein [mm]x_0 \in X[/mm] gibt, so dass
> > [mm]\varphi (x_0) \vee \psi[/mm] wahr. Das heißt aber, dass
> > [mm]\varphi (x_0)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] richtig ist. Das heißt wiederum,
> Genauer: "Daraus folgt,"
> > dass die Aussage [mm]\exists x \varphi(x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] wahr
> ist,
> > also [mm](\exists x \varphi (x)) \vee \psi[/mm].
>
Hier benötige ich das $X [mm] \neq \emptyset$ [/mm] nicht. Habe ich das richtig verstanden?
> > [mm]\Leftarrow[/mm]
> > Ich nehme an die Aussage [mm](\exists x \varphi (x)) \vee \psi[/mm]
> > sei wahr. Das bedeutet, dass es ein [mm]x_0 \in X[/mm] gibt, so dass
> > [mm]\varphi (x_0)[/mm] richtig oder [mm]\psi[/mm] richtig. Da aber [mm]\psi[/mm] von [mm]x[/mm]
> > unabhängig ist, sind [mm]\varphi (x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] für ein [mm]x \in X[/mm]
> > richtig,
> Warum existiert so ein [mm]x\in X[/mm]? Unterscheide die Fälle
> [mm]\varphi(x_0)[/mm] wahr und [mm]\psi[/mm] wahr. Konstruiere bzw. gib in
> beiden Fällen Zeugen für die Existenzbehauptung an. Bei
> einem Fall wirst du [mm]X\not=\emptyset[/mm] benötigen.
>
> > also [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm].
>
>
> Wie bereits angedeutet: Es ist hier vielfach
> Geschmackssache, wie genau die Begründungen sein sollen.
> Ich denke aber, es sollte Erwähnung finden, wo die
> Voraussetzung [mm]X\not=\emptyset[/mm] benötigt wird.
Ich nehme an [mm] $(\exists [/mm] x [mm] \varphi(x)) \vee \psi$ [/mm] wahr. Es gibt ein [mm] $x_0 \in [/mm] X$ für das [mm] $\varphi (x_0)$ [/mm] wahr oder [mm] $\psi$ [/mm] wahr.
1. Fall: [mm] $\psi$ [/mm] sei falsch:
Es muss also [mm] $\exists \varphi [/mm] (x)$ richtig sein.
2. Fall: [mm] $\psi$ [/mm] sei wahr:
Es ist äquivalent mit [mm] $\exists [/mm] x [mm] \psi$.
[/mm]
[mm] $\exists [/mm] x [mm] \varphi(x) \vee \exists [/mm] x [mm] \psi(x) \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi [/mm] (x))$ ist immer wahr also [mm] $\exists [/mm] x [mm] (\varphi(x) \vee \psi)$.
[/mm]
Wo benötige ich hier $X [mm] \neq \emptyset$?[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Sa 13.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > a) [mm]\forall x (\varphi (x) \wedge \psi) \Leftrightarrow (\forall x \varphi (x) ) \wedge \psi[/mm]
> > > [mm]\Leftarrow[/mm]
> > > Ich nehme an die Aussage [mm](\forall x \varphi (x)) \wedge \psi[/mm]
> > > sei wahr. Das bedeutet, dass für alle [mm]x \in X[/mm], [mm]\varphi (x)[/mm]
> > > richtig ist und auch [mm]\psi[/mm] wahr ist. Da aber [mm]\psi[/mm] von [mm]x[/mm]
> > > unabhängig ist, sind [mm]\varphi (x)[/mm] und [mm]\psi[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
> > > wahr. Dies können wir schreiben als [mm]\forall x (\varphi (x) \wedge \psi)[/mm].
>
> >
> >
>
> Hier muss ich mich nicht mehr darum kümmern, dass [mm]X \not = \emptyset[/mm],
> da ich weiß, dass [mm]\psi[/mm] gelten muss, oder?
Genau. [mm] $\psi$ [/mm] impliziert immer [mm] $\forall x\colon\psi$, [/mm] egal lob $X$ leer ist oder nicht. (Wenn $X$ leer ist, gilt [mm] $\forall x\colon \psi$ [/mm] sowieso.)
> > > b) [mm]\forall x (\varphi (x) \vee \psi) \Leftrightarrow (\forall x \varphi (x)) \vee \psi[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > Ich nehme an die Aussage [mm]\forall x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm]
> > > sei wahr. Das bedeutet, dass für alle [mm]x \in X[/mm], [mm]\varphi (x) \vee \psi[/mm]
> > > richtig ist. Das heißt, dass [mm]\varphi (x)[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
> > > oder [mm]\psi[/mm] richtig ist.
> > Ich denke, dieser Schritt bedarf einer näheren
> > Begründung. Wenn für alle [mm]x\in X[/mm] [mm]\varphi(x)\vee\psi[/mm] wahr
> > ist, wissen wir zunächst nur, dass für jedes einzelne
> > [mm]x\in X[/mm] mindestens eine der beiden Aussagen [mm]\varphi(x)[/mm] und
> > [mm]\psi[/mm] wahr ist. A priori muss das noch lange nicht heißen,
> > dass für alle [mm]x\in X[/mm] die gleiche der beiden Aussageformen
> > [mm]\varphi(x)[/mm] und [mm]\psi[/mm] wahr ist. Nur weil hier [mm]\psi[/mm] gar nicht
> > von [mm]x[/mm] abhängt, kann man zeigen, dass "für alle [mm]x\in X[/mm]
> > [mm]\varphi(x)[/mm]" oder [mm]\psi[/mm] gelten muss. Mache dazu z.B. eine
> > Fallunterscheidung nach [mm]\psi[/mm] gilt bzw. [mm]\psi[/mm] gilt nicht.
> >
> > > Das heißt wiederum, dass die
> > > Aussagen [mm]\forall x \varphi (x))[/mm] oder [mm]\psi[/mm] richtig sind,
> > > also [mm](\forall x \varphi (x)) \vee \psi [/mm].
> > Ansonsten:
> >
>
> Ja, das Problem verstehe ich jetzt auch. Ich versuche also
> noch mal.
>
> Ich nehme an die Aussage [mm]\forall x (\varphi(x) \vee \psi)[/mm]
> sei wahr. Das bedeutet, dass für alle [mm]x \in X[/mm], [mm]\varphi(x) \vee \psi[/mm]
> wahr.
> 1. Fall: [mm]\psi[/mm] sei falsch:
> Da [mm]X \neq \emptyset[/mm], ist [mm]\psi[/mm] für alle [mm]x[/mm] falsch,
Das gilt wieder unabhängig davon, ob $X$ leer ist oder nicht. (Denn ist [mm] $X=\emptyset$ [/mm] gilt jede beliebige Aussage für alle [mm] $x\in [/mm] X$.)
> deshalb
> muss [mm]\varphi(x)[/mm] für alle [mm]x[/mm] richtig sein also [mm](\forall x \varphi(x))[/mm].
>
> 2. Fall: [mm]\psi[/mm] sei richtig:
> für alle [mm]x \in X[/mm] ist [mm]\psi[/mm] richtig. Man kann auch nur [mm]\psi[/mm]
> schreiben.
Wenn [mm] $\psi$ [/mm] richtig ist, gilt selbstverständlich [mm] $(\forall x\colon \varphi(x))\vee \psi$. [/mm] Wenn du dennoch einen (unnötigen) Zwischenschritt über [mm] $\forall x\colon \psi$ [/mm] machen möchtest, ist wieder auf [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] zu verweisen, um daraus wieder auf [mm] $\psi$ [/mm] schließen zu können.
> Insgesamt haben wir also einen der beiden oberen Fälle,
> d.h. [mm](\forall x \varphi(x))[/mm] oder [mm]\psi[/mm] also [mm](\forall x \varphi(x))\vee \psi[/mm].
> > > [mm]\Leftarrow[/mm]
> > > Ich nehme an die Aussage [mm](\forall x \varphi (x)) \vee \psi[/mm]
> > > sei wahr. Das bedeutet, dass für alle [mm]x \in X[/mm], [mm]\varphi (x)[/mm]
> > > richtig ist oder [mm]\psi[/mm] richtig. Da aber [mm]\psi[/mm] von [mm]x[/mm]
> > > unabhängig ist, ist [mm]\varphi (x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
> > > wahr.
> > (Unterscheide hier am besten die Fälle [mm]\psi[/mm] wahr und
> > [mm]\forall x\colon \varphi(x)[/mm] wahr.)
> >
> > > Dies können wir schreiben als [mm]\forall x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm].
>
> >
> >
>
> Ich nehme an die Aussage [mm](\forall x \varphi(x)) \vee \psi[/mm]
> sei wahr. Das bedeutet, dass für alle [mm]x \in X[/mm], [mm]\varphi(x)[/mm]
> richtig oder [mm]\psi[/mm] richtig.
> 1. Fall: [mm]\psi[/mm] sei falsch:
> [mm]\psi[/mm] falsch, deshalb muss [mm]\varphi(x)[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm]
> richtig sein, also [mm]\forall x \varphi(x)[/mm].
>
> 2. Fall: [mm]\psi[/mm] sei wahr:
> [mm]\psi[/mm] ist auch für alle [mm]x \in X[/mm] wahr, also [mm]\forall x \psi[/mm].
>
> Insgesamt haben wir also einen der beiden oberen Fälle,
> d.h. [mm]\forall x \varphi(x)[/mm] oder [mm]\forall x \psi[/mm]. Ich weiß
> aber, dass [mm]\forall x \varphi(x) \vee \forall x \psi(x) \Rightarrow \forall x (\varphi(x) \vee \psi(x))[/mm]
> eine Tautologie (habe ich schon früher in meinem Skript
> gezeigt), deshalb [mm]\forall x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm].
> > > c) [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi) \Leftrightarrow (\exists x \varphi (x)) \vee \psi[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > Ich nehme an die Aussage [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm]
> > > sei wahr. Das bedeutet, dass es ein [mm]x_0 \in X[/mm] gibt, so dass
> > > [mm]\varphi (x_0) \vee \psi[/mm] wahr. Das heißt aber, dass
> > > [mm]\varphi (x_0)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] richtig ist. Das heißt wiederum,
> > Genauer: "Daraus folgt,"
> > > dass die Aussage [mm]\exists x \varphi(x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] wahr
> > ist,
> > > also [mm](\exists x \varphi (x)) \vee \psi[/mm].
> >
>
> Hier benötige ich das [mm]X \neq \emptyset[/mm] nicht. Habe ich das
> richtig verstanden?
Ja.
> > > [mm]\Leftarrow[/mm]
> > > Ich nehme an die Aussage [mm](\exists x \varphi (x)) \vee \psi[/mm]
> > > sei wahr. Das bedeutet, dass es ein [mm]x_0 \in X[/mm] gibt, so dass
> > > [mm]\varphi (x_0)[/mm] richtig oder [mm]\psi[/mm] richtig. Da aber [mm]\psi[/mm] von [mm]x[/mm]
> > > unabhängig ist, sind [mm]\varphi (x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] für ein [mm]x \in X[/mm]
> > > richtig,
> > Warum existiert so ein [mm]x\in X[/mm]? Unterscheide die Fälle
> > [mm]\varphi(x_0)[/mm] wahr und [mm]\psi[/mm] wahr. Konstruiere bzw. gib in
> > beiden Fällen Zeugen für die Existenzbehauptung an. Bei
> > einem Fall wirst du [mm]X\not=\emptyset[/mm] benötigen.
> >
> > > also [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm].
>
> Ich nehme an [mm](\exists x \varphi(x)) \vee \psi[/mm] wahr. Es gibt
> ein [mm]x_0 \in X[/mm] für das [mm]\varphi (x_0)[/mm] wahr oder [mm]\psi[/mm] wahr.
> 1. Fall: [mm]\psi[/mm] sei falsch:
> Es muss also [mm]\exists \varphi (x)[/mm] richtig sein.
>
> 2. Fall: [mm]\psi[/mm] sei wahr:
> Es ist äquivalent mit [mm]\exists x \psi[/mm].
>
> [mm]\exists x \varphi(x) \vee \exists x \psi(x) \Rightarrow \exists x (\varphi (x) \vee \psi (x))[/mm]
> ist immer wahr also [mm]\exists x (\varphi(x) \vee \psi)[/mm].
> Wo
> benötige ich hier [mm]X \neq \emptyset[/mm]?
Beim 2. Fall. [mm] $\psi$ [/mm] ist im Allgemeinen nicht äquivalent mit [mm] $\exists x\colon\psi$. [/mm] Denn ist [mm] $X=\emptyset$, [/mm] so gilt [mm] $\exists x\colon\psi$ [/mm] nie, selbst wenn [mm] $\psi$ [/mm] gilt. Aber da hier [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] vorausgesetzt ist, gibt es ein [mm] $x_0\in [/mm] X$. Da im 2. Fall [mm] $\psi$ [/mm] gilt und [mm] $\psi$ [/mm] unabhängig von [mm] $x_0$ [/mm] ist, gilt [mm] $\psi$ [/mm] für [mm] $x_0$. $x_0$ [/mm] bezeugt also, dass es ein [mm] $x\in [/mm] X$ gibt, für das [mm] $\psi$ [/mm] gilt.
Übrigens machen auch viele erfahrene Mathematiker Fehler, indem sie vergessen, die leere Menge auszuschließen bzw. separat zu betrachten, wo es nötig wäre...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Sa 13.04.2013 | | Autor: | ne1 |
b)
> > > > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > 2. Fall: [mm]\psi[/mm] sei richtig:
> > für alle [mm]x \in X[/mm] ist [mm]\psi[/mm] richtig. Man kann auch nur
> [mm]\psi[/mm]
> > schreiben.
> Wenn [mm]\psi[/mm] richtig ist, gilt selbstverständlich [mm](\forall x\colon \varphi(x))\vee \psi[/mm].
> Wenn du dennoch einen (unnötigen) Zwischenschritt über
> [mm]\forall x\colon \psi[/mm] machen möchtest, ist wieder auf
> [mm]X\not=\emptyset[/mm] zu verweisen, um daraus wieder auf [mm]\psi[/mm]
> schließen zu können.
>
Im Fall 2 verstehe ich das nicht ganz warum ich $X [mm] \neq \emptyset$ [/mm] brauche. Ich habe angenommen, dass [mm] $\psi$ [/mm] wahr. Egal ob $X$ leer oder nicht ist [mm] $\psi$ [/mm] für alle $x$ wahr. Ich kann also einfach nur [mm] $\psi$ [/mm] schreiben.
>
> > > > [mm]\Leftarrow[/mm]
> > Insgesamt haben wir also einen der beiden oberen Fälle,
> > d.h. [mm]\forall x \varphi(x)[/mm] oder [mm]\forall x \psi[/mm]. Ich weiß
> > aber, dass [mm]\forall x \varphi(x) \vee \forall x \psi(x) \Rightarrow \forall x (\varphi(x) \vee \psi(x))[/mm]
> > eine Tautologie (habe ich schon früher in meinem Skript
> > gezeigt), deshalb [mm]\forall x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm].
>
>
>
Hier habe ich aber doch ein kleines Problem. Ich habe gesagt [mm] $\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x) [mm] \vee \forall [/mm] x [mm] \psi(x) \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] (\varphi(x) \vee \psi(x))$. [/mm] Ich habe aber [mm] $\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x) [mm] \vee \forall [/mm] x [mm] \psi \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi)$. [/mm] Ich weiß, dass $X$ keine leere Menge also kann ich schreiben [mm] $\forall [/mm] x [mm] \psi [/mm] (x) [mm] \vee \psi \Rightarrow \forall (\varphi [/mm] (x) [mm] \vee \psi)$. [/mm] Ich habe also im Grunde genommen mit dem gearbeitet was ich gerade beweise und das darf ich nicht.
Ich würde hier ganz einfach schreiben, dass wenn [mm] $\varphi(x)$ [/mm] für alle $x$ gilt oder [mm] $\psi$ [/mm] für alle $x$ gilt, dann gilt selbstverständlicht auch [mm] $\varphi(x)$ [/mm] oder [mm] $\psi$ [/mm] für alle $x$ also [mm] $\forall [/mm] x [mm] (\varphi(x) \vee \psi)$. [/mm] Kann ich das so machen?
> > > > c) [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi) \Leftrightarrow (\exists x \varphi (x)) \vee \psi[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > > Ich nehme an die Aussage [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm]
> > > > sei wahr. Das bedeutet, dass es ein [mm]x_0 \in X[/mm] gibt, so dass
> > > > [mm]\varphi (x_0) \vee \psi[/mm] wahr. Das heißt aber, dass
> > > > [mm]\varphi (x_0)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] richtig ist. Das heißt wiederum,
> > > Genauer: "Daraus folgt,"
> > > > dass die Aussage [mm]\exists x \varphi(x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm]
> wahr
> > > ist,
> > > > also [mm](\exists x \varphi (x)) \vee \psi[/mm].
> > >
> >
> > Hier benötige ich das [mm]X \neq \emptyset[/mm] nicht. Habe ich das
> > richtig verstanden?
> Ja.
>
Ich versuche hier mal mit [mm] $\psi$ [/mm] wahr und [mm] $\psi$ [/mm] unwahr.
Ich nehme an [mm] $\exists [/mm] x [mm] (\varphi(x) \vee \psi)$ [/mm] wahr. Es muss also $X [mm] \neq \emptyset$, [/mm] da sonst die ganze Aussage falsch.
1. Fall: [mm] $\psi$ [/mm] falsch:
Es muss also [mm] $\exists [/mm] x [mm] \varphi(x)$ [/mm] wahr sein.
2. Fall: [mm] $\psi$ [/mm] wahr:
Wir wissen schon, dass $X$ nicht leer also [mm] $\exists [/mm] x [mm] \psi$ [/mm] wahr also auch [mm] $\psi$ [/mm] wahr.
[mm] $\exists \varphi(x)$ [/mm] oder [mm] $\psi$ [/mm] also [mm] $(\exists [/mm] x [mm] \varphi(x)) \vee \psi$
[/mm]
Eigentlich ich die Annahme $X$ nicht leer unentbehrlich.
> Wo
> > benötige ich hier [mm]X \neq \emptyset[/mm]?
> Beim 2. Fall. [mm]\psi[/mm] ist im Allgemeinen nicht äquivalent mit
> [mm]\exists x\colon\psi[/mm]. Denn ist [mm]X=\emptyset[/mm], so gilt [mm]\exists x\colon\psi[/mm]
> nie, selbst wenn [mm]\psi[/mm] gilt. Aber da hier [mm]X\not=\emptyset[/mm]
> vorausgesetzt ist, gibt es ein [mm]x_0\in X[/mm]. Da im 2. Fall [mm]\psi[/mm]
> gilt und [mm]\psi[/mm] unabhängig von [mm]x_0[/mm] ist, gilt [mm]\psi[/mm] für [mm]x_0[/mm].
> [mm]x_0[/mm] bezeugt also, dass es ein [mm]x\in X[/mm] gibt, für das [mm]\psi[/mm]
> gilt.
>
Das habe ich jetzt verstanden. Jetzt nur noch das Problem wie bei der b) [mm] $\Leftarrow$. [/mm] Ich habe [mm] $\exists [/mm] x [mm] \varphi(x)$ [/mm] oder [mm] $\exists \psi$. [/mm] Kann ich das analog begründen, wie ich das bei b) [mm] $\Leftarrow$ [/mm] begründet habe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:43 So 14.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> b)
> > > > > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > 2. Fall: [mm]\psi[/mm] sei richtig:
> > > für alle [mm]x \in X[/mm] ist [mm]\psi[/mm] richtig. Man kann auch
> nur
> > [mm]\psi[/mm]
> > > schreiben.
> > Wenn [mm]\psi[/mm] richtig ist, gilt selbstverständlich
> [mm](\forall x\colon \varphi(x))\vee \psi[/mm].
> > Wenn du dennoch einen (unnötigen) Zwischenschritt über
> > [mm]\forall x\colon \psi[/mm] machen möchtest, ist wieder auf
> > [mm]X\not=\emptyset[/mm] zu verweisen, um daraus wieder auf [mm]\psi[/mm]
> > schließen zu können.
> >
>
> Im Fall 2 verstehe ich das nicht ganz warum ich [mm]X \neq \emptyset[/mm]
> brauche.
Brauchst du eigentlich gar nicht. Fall 2 ist ja gerade der Fall, dass [mm] $\psi$ [/mm] wahr ist. Da ist also eigentlich gar nichts zu tun. Du tust nun aber trotzdem etwas, für das du [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] brauchst:
> Ich habe angenommen, dass [mm]\psi[/mm] wahr. Egal ob [mm]X[/mm]
> leer oder nicht ist [mm]\psi[/mm] für alle [mm]x[/mm] wahr.
Bis hierhin gilt in der Tat alles auch für [mm] $X=\emptyset$.
[/mm]
> Ich kann also
> einfach nur [mm]\psi[/mm] schreiben.
Hier schlussfolgerst du nun [mm] $\psi$ [/mm] aus der Aussage [mm] "$\psi$ [/mm] für alle x". Und diese Schlussfolgerung wäre im Falle [mm] $X=\emptyset$ [/mm] falsch.
> > > > > [mm]\Leftarrow[/mm]
>
> > > Insgesamt haben wir also einen der beiden oberen Fälle,
> > > d.h. [mm]\forall x \varphi(x)[/mm] oder [mm]\forall x \psi[/mm]. Ich weiß
> > > aber, dass [mm]\forall x \varphi(x) \vee \forall x \psi(x) \Rightarrow \forall x (\varphi(x) \vee \psi(x))[/mm]
> > > eine Tautologie (habe ich schon früher in meinem Skript
> > > gezeigt), deshalb [mm]\forall x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm].
> >
>
> >
> >
>
> Hier habe ich aber doch ein kleines Problem. Ich habe
> gesagt [mm]\forall x \varphi (x) \vee \forall x \psi(x) \Rightarrow \forall x (\varphi(x) \vee \psi(x))[/mm].
Wenn ich dich richtig verstanden habe, wurde schon bewiesen, dass dies für beliebige Aussageformen [mm] $\varphi(x)$ [/mm] und [mm] $\psi(x)$ [/mm] gilt.
> Ich habe aber [mm]\forall x \varphi (x) \vee \forall x \psi \Rightarrow \forall x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm].
Dies ist eine völlig korrekte Anwendung der schon bewiesenen Tatsache auf die Aussageformen [mm] $\varphi(x)$ [/mm] und [mm] $\psi'(x):=\psi$.
[/mm]
> Ich weiß, dass [mm]X[/mm] keine leere Menge also kann ich schreiben
> [mm]\forall x \psi (x) \vee \psi \Rightarrow \forall (\varphi (x) \vee \psi)[/mm].
Das gilt (abgesehen von den Tippfehlern  ) auch im Fall [mm] $X=\emptyset$, [/mm] ist aber zu begründen.
> Ich habe also im Grunde genommen mit dem gearbeitet was ich
> gerade beweise und das darf ich nicht.
Nein, du hast nur eine ähnliche schon bewiesene Aussage herangezogen. Aus meiner Sicht spricht nichts dagegen.
> Ich würde hier ganz einfach schreiben,
> dass wenn
> [mm]\varphi(x)[/mm] für alle [mm]x[/mm] gilt oder [mm]\psi[/mm] für alle [mm]x[/mm] gilt,
> dann gilt selbstverständlicht auch [mm]\varphi(x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm]
> für alle [mm]x[/mm] also [mm]\forall x (\varphi(x) \vee \psi)[/mm]. Kann ich
> das so machen?
Ich denke schon, schließe aber nicht aus, dass jemand eine nähere Begründung für das "selbstverständlich" erwartet. Ich denke, wenn du das "gilt selbstverständlich" durch ein "gilt in beiden Fällen jeweils" ersetzt, sollte das ausreichen.
> > > > > c) [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi) \Leftrightarrow (\exists x \varphi (x)) \vee \psi[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > > > Ich nehme an die Aussage [mm]\exists x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm]
> > > > > sei wahr. Das bedeutet, dass es ein [mm]x_0 \in X[/mm] gibt, so dass
> > > > > [mm]\varphi (x_0) \vee \psi[/mm] wahr. Das heißt aber, dass
> > > > > [mm]\varphi (x_0)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] richtig ist. Das heißt wiederum,
> > > > Genauer: "Daraus folgt,"
> > > > > dass die Aussage [mm]\exists x \varphi(x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm]
> > wahr
> > > > ist,
> > > > > also [mm](\exists x \varphi (x)) \vee \psi[/mm].
> > > >
>
> > >
> > > Hier benötige ich das [mm]X \neq \emptyset[/mm] nicht. Habe ich das
> > > richtig verstanden?
> > Ja.
> >
>
> Ich versuche hier mal mit [mm]\psi[/mm] wahr und [mm]\psi[/mm] unwahr.
> Ich nehme an [mm]\exists x (\varphi(x) \vee \psi)[/mm] wahr. Es
> muss also [mm]X \neq \emptyset[/mm], da sonst die ganze Aussage
> falsch.
> 1. Fall: [mm]\psi[/mm] falsch:
> Es muss also [mm]\exists x \varphi(x)[/mm] wahr sein.
>
> 2. Fall: [mm]\psi[/mm] wahr:
> Wir wissen schon, dass [mm]X[/mm] nicht leer also [mm]\exists x \psi[/mm]
> wahr also auch [mm]\psi[/mm] wahr.
>
> [mm]\exists \varphi(x)[/mm] oder [mm]\psi[/mm] also [mm](\exists x \varphi(x)) \vee \psi[/mm]
Kannst du so machen.
> Eigentlich ich die Annahme [mm]X[/mm] nicht leer unentbehrlich.
Ja, bei deiner Behandlung des 2. Falles benutzt du diese Bedingung. Aber das ist komplett überflüssig: Der 2. Fall ist ja gerade der Fall, dass [mm] $\psi$ [/mm] wahr ist. Also musst du nichts mehr tun, um [mm] $\psi$ [/mm] in diesem Fall zu zeigen.
> Das habe ich jetzt verstanden. Jetzt nur noch das Problem
> wie bei der b) [mm]\Leftarrow[/mm]. Ich habe [mm]\exists x \varphi(x)[/mm]
> oder [mm]\exists \psi[/mm]. Kann ich das analog begründen, wie ich
> das bei b) [mm]\Leftarrow[/mm] begründet habe?
Was möchtest du gerade begründen?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 So 14.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> > b)
> > > > > > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > > 2. Fall: [mm]\psi[/mm] sei richtig:
> > > > für alle [mm]x \in X[/mm] ist [mm]\psi[/mm] richtig. Man kann auch
> > nur
> > > [mm]\psi[/mm]
> > > > schreiben.
> > > Wenn [mm]\psi[/mm] richtig ist, gilt selbstverständlich
> > [mm](\forall x\colon \varphi(x))\vee \psi[/mm].
> > > Wenn du dennoch einen (unnötigen) Zwischenschritt über
> > > [mm]\forall x\colon \psi[/mm] machen möchtest, ist wieder auf
> > > [mm]X\not=\emptyset[/mm] zu verweisen, um daraus wieder auf [mm]\psi[/mm]
> > > schließen zu können.
> > >
> >
> > Im Fall 2 verstehe ich das nicht ganz warum ich [mm]X \neq \emptyset[/mm]
> > brauche.
> Brauchst du eigentlich gar nicht. Fall 2 ist ja gerade der
> Fall, dass [mm]\psi[/mm] wahr ist. Da ist also eigentlich gar nichts
> zu tun. Du tust nun aber trotzdem etwas, für das du
> [mm]X\not=\emptyset[/mm] brauchst:
>
> > Ich habe angenommen, dass [mm]\psi[/mm] wahr. Egal ob [mm]X[/mm]
> > leer oder nicht ist [mm]\psi[/mm] für alle [mm]x[/mm] wahr.
> Bis hierhin gilt in der Tat alles auch für [mm]X=\emptyset[/mm].
>
> > Ich kann also
> > einfach nur [mm]\psi[/mm] schreiben.
> Hier schlussfolgerst du nun [mm]\psi[/mm] aus der Aussage "[mm]\psi[/mm]
> für alle x". Und diese Schlussfolgerung wäre im Falle
> [mm]X=\emptyset[/mm] falsch.
>
Ja, die Schlussfolgerung [mm] $\psi$ [/mm] aus der Aussage [mm] $\psi$ [/mm] für alle $x$ wäre im Falle $X [mm] =\emptyset$ [/mm] falsch, aber nur wenn [mm] $\psi$ [/mm] falsch. Ich habe doch angenommen, dass [mm] $\psi$ [/mm] wahr ("Fall 2"), deshalb verstehe ich nicht warum ich mich um $X [mm] =\emptyset$ [/mm] noch kümmern muss...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 So 14.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > b)
> > > > > > > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > > > 2. Fall: [mm]\psi[/mm] sei richtig:
> > > > > für alle [mm]x \in X[/mm] ist [mm]\psi[/mm] richtig. Man kann
> auch
> > > nur
> > > > [mm]\psi[/mm]
> > > > > schreiben.
> > > > Wenn [mm]\psi[/mm] richtig ist, gilt selbstverständlich
> > > [mm](\forall x\colon \varphi(x))\vee \psi[/mm].
> > > > Wenn du dennoch einen (unnötigen) Zwischenschritt über
> > > > [mm]\forall x\colon \psi[/mm] machen möchtest, ist wieder auf
> > > > [mm]X\not=\emptyset[/mm] zu verweisen, um daraus wieder auf [mm]\psi[/mm]
> > > > schließen zu können.
> > > >
> > >
> > > Im Fall 2 verstehe ich das nicht ganz warum ich [mm]X \neq \emptyset[/mm]
> > > brauche.
> > Brauchst du eigentlich gar nicht. Fall 2 ist ja gerade
> der
> > Fall, dass [mm]\psi[/mm] wahr ist. Da ist also eigentlich gar nichts
> > zu tun. Du tust nun aber trotzdem etwas, für das du
> > [mm]X\not=\emptyset[/mm] brauchst:
> >
> > > Ich habe angenommen, dass [mm]\psi[/mm] wahr. Egal ob [mm]X[/mm]
> > > leer oder nicht ist [mm]\psi[/mm] für alle [mm]x[/mm] wahr.
> > Bis hierhin gilt in der Tat alles auch für
> [mm]X=\emptyset[/mm].
> >
> > > Ich kann also
> > > einfach nur [mm]\psi[/mm] schreiben.
> > Hier schlussfolgerst du nun [mm]\psi[/mm] aus der Aussage "[mm]\psi[/mm]
> > für alle x". Und diese Schlussfolgerung wäre im Falle
> > [mm]X=\emptyset[/mm] falsch.
> >
>
> Ja, die Schlussfolgerung [mm]\psi[/mm] aus der Aussage [mm]\psi[/mm] für
> alle [mm]x[/mm] wäre im Falle [mm]X =\emptyset[/mm] falsch, aber nur wenn
> [mm]\psi[/mm] falsch. Ich habe doch angenommen, dass [mm]\psi[/mm] wahr
> ("Fall 2"), deshalb verstehe ich nicht warum ich mich um [mm]X =\emptyset[/mm]
> noch kümmern muss...
Genau; wenn du darauf verweist, dass im zweiten Fall sowieso [mm] $\psi$ [/mm] gilt, brauchst du weder auf [mm] $X\not=\emptyset$ [/mm] noch auf [mm] "$\psi$ [/mm] für alle x" zu verweisen. Im 2. Fall ist gar nichts zu tun, denn der 2. Fall lautet ja schon, dass [mm] $\psi$ [/mm] gilt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 15.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> gesagt [mm]\forall x \varphi (x) \vee \forall x \psi(x) \Rightarrow \forall x (\varphi(x) \vee \psi(x))[/mm].
>
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, wurde schon
> bewiesen, dass dies für beliebige Aussageformen [mm]\varphi(x)[/mm]
> und [mm]\psi(x)[/mm] gilt.
>
> > Ich habe aber [mm]\forall x \varphi (x) \vee \forall x \psi \Rightarrow \forall x (\varphi (x) \vee \psi)[/mm].
>
> Dies ist eine völlig korrekte Anwendung der schon
> bewiesenen Tatsache auf die Aussageformen [mm]\varphi(x)[/mm] und
> [mm]\psi'(x):=\psi[/mm].
>
> > Ich weiß, dass [mm]X[/mm] keine leere Menge also kann ich schreiben
> > [mm]\forall x \psi (x) \vee \psi \Rightarrow \forall (\varphi (x) \vee \psi)[/mm].
>
> Das gilt (abgesehen von den Tippfehlern ) auch im Fall
> [mm]X=\emptyset[/mm], ist aber zu begründen.
>
> > Ich habe also im Grunde genommen mit dem gearbeitet was ich
> > gerade beweise und das darf ich nicht.
> Nein, du hast nur eine ähnliche schon bewiesene Aussage
> herangezogen. Aus meiner Sicht spricht nichts dagegen.
>
Ja, das wurde schon von mir bewiesen.
Könnte ich theoretisch die Beweise anders durchführen?
Ich weiß, dass [mm]\forall x \varphi (x) \wedge \forall x \psi(x) \Leftrightarrow \forall x (\varphi(x) \wedge \psi(x))[/mm] (wurde schon bewiesen) und [mm] $\psi [/mm] '(x) := [mm] \psi$.
[/mm]
Ich möchte beweisen [mm] $\forall [/mm] x [mm] (\varphi(x) \wedge \psi) \Leftrightarrow (\forall [/mm] x [mm] \varphi(x)) \wedge \psi$.
[/mm]
Beweis: [mm] $\forall [/mm] x [mm] (\varphi(x) \wedge \psi) \Leftrightarrow \forall [/mm] x [mm] (\varphi(x) \wedge \psi [/mm] ' (x)) [mm] \Leftrightarrow \forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x) [mm] \wedge \forall [/mm] x [mm] \psi'(x) \Leftrightarrow \forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x) [mm] \wedge \forall [/mm] x [mm] \psi$.
[/mm]
Jetzt muss ich zeigen [mm] $\forall [/mm] x [mm] \psi \Leftrightarrow \psi$. [/mm] $X [mm] \neq \emptyset$, [/mm] deshalb gilt die Äquivalenz also [mm] $\forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x) [mm] \wedge \forall [/mm] x [mm] \psi \Leftrightarrow \forall [/mm] x [mm] \varphi [/mm] (x) [mm] \wedge \psi$.
[/mm]
Wenn das richtig ist, verstehe ich immer noch nicht warum [mm] $\psi'(x) [/mm] := [mm] \psi$. $\psi$ [/mm] ist doch eine Aussage (ich kann sagen ob [mm] $\psi$ [/mm] richtig oder falsch ist). [mm] $\psi'(x)$ [/mm] dagegen ist eine Aussageform. Sie hängt von $x$ ab, deshalb verstehe ich das nicht ganz.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mo 15.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > Ich habe also im Grunde genommen mit dem gearbeitet was ich
> > > gerade beweise und das darf ich nicht.
> > Nein, du hast nur eine ähnliche schon bewiesene Aussage
> > herangezogen. Aus meiner Sicht spricht nichts dagegen.
> >
> Ja, das wurde schon von mir bewiesen.
>
> Könnte ich theoretisch die Beweise anders durchführen?
>
> Ich weiß, dass [mm]\forall x \varphi (x) \wedge \forall x \psi(x) \Leftrightarrow \forall x (\varphi(x) \wedge \psi(x))[/mm]
Oben würde ich jeweils [mm] $\psi'(x)$ [/mm] statt [mm] $\psi(x)$ [/mm] schreiben.
> (wurde schon bewiesen) und [mm]\psi '(x) := \psi[/mm].
>
> Ich möchte beweisen [mm]\forall x (\varphi(x) \wedge \psi) \Leftrightarrow (\forall x \varphi(x)) \wedge \psi[/mm].
>
> Beweis: [mm]\forall x (\varphi(x) \wedge \psi) \Leftrightarrow \forall x (\varphi(x) \wedge \psi ' (x)) \Leftrightarrow \forall x \varphi (x) \wedge \forall x \psi'(x) \Leftrightarrow \forall x \varphi (x) \wedge \forall x \psi[/mm].
>
> Jetzt muss ich zeigen [mm]\forall x \psi \Leftrightarrow \psi[/mm].
> [mm]X \neq \emptyset[/mm], deshalb gilt die Äquivalenz also [mm]\forall x \varphi (x) \wedge \forall x \psi \Leftrightarrow \forall x \varphi (x) \wedge \psi[/mm].
> Wenn das richtig ist, verstehe ich immer noch nicht warum
> [mm]\psi'(x) := \psi[/mm]. [mm]\psi[/mm] ist doch eine Aussage (ich kann
> sagen ob [mm]\psi[/mm] richtig oder falsch ist). [mm]\psi'(x)[/mm] dagegen
> ist eine Aussageform. Sie hängt von [mm]x[/mm] ab, deshalb verstehe
> ich das nicht ganz.
Du hast es schon völlig richtig erklärt. [mm] $\psi'(x)$ [/mm] ist die Aussageform, die für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ den Wahrheitswert der Aussage [mm] $\psi$ [/mm] annimmt. Diese Aussageform wird benötigt, um deine früher bewiesene Aussage anwenden zu können.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Di 16.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> > Wenn das richtig ist, verstehe ich immer noch nicht warum
> > [mm]\psi'(x) := \psi[/mm]. [mm]\psi[/mm] ist doch eine Aussage (ich kann
> > sagen ob [mm]\psi[/mm] richtig oder falsch ist). [mm]\psi'(x)[/mm] dagegen
> > ist eine Aussageform. Sie hängt von [mm]x[/mm] ab, deshalb verstehe
> > ich das nicht ganz.
> Du hast es schon völlig richtig erklärt. [mm]\psi'(x)[/mm] ist die
> Aussageform, die für jedes [mm]x\in X[/mm] den Wahrheitswert der
> Aussage [mm]\psi[/mm] annimmt. Diese Aussageform wird benötigt, um
> deine früher bewiesene Aussage anwenden zu können.
Ja, das verstehe ich, aber ich verstehe nicht warum [mm] $\psi'(x) [/mm] = [mm] \psi$. [/mm] Diese Gleichheit ist für mich unklar. Wie ich schon gesagt habe - ich habe eine Aussage [mm] $\psi$ [/mm] und eine Aussageform [mm] $\psi'(x)$. [/mm] Die Aussage kann richtig oder falsch sein. Bei der Aussageform muss ich erst mal ein $x$ einsetzen um den Wahrheitswert zu bestimmen. Es sind also für mich zwei Unterschiedliche Dinge.
>[mm]\psi'(x)[/mm] ist die
> Aussageform, die für jedes [mm]x\in X[/mm] den Wahrheitswert der
> Aussage [mm]\psi[/mm] annimmt.
OK, ich denke der Satz hat mir gefehlt.
Ich mache vielleicht noch ein Beispiel.
$X = [mm] \IR$.
[/mm]
[mm] $\psi [/mm] = $ jede reelle Zahl hat ein neutrales Element der Addition.
[mm] $\psi' [/mm] (x)= x + 0 = x$
In dem Fall ist [mm] $\psi$ [/mm] wahr. Ich habe mir [mm] $\psi [/mm] '(x)$ so definiert, dass die Aussage von $x$ abhängig ist und gleichzeitig für alle $x$ denselben Wahrheitswert, wie die Aussage [mm] $\psi$ [/mm] hat. Habe ich das richtig verstanden?
Am Ende stellt sich vielleicht noch die Frage, ob es sich immer für eine Aussage solche Aussageform definieren lässt, dass sie denselben Wahrheitswert für alle $x$ hat wie [mm] $\psi$.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Di 16.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > Wenn das richtig ist, verstehe ich immer noch nicht warum
> > > [mm]\psi'(x) := \psi[/mm]. [mm]\psi[/mm] ist doch eine Aussage (ich kann
> > > sagen ob [mm]\psi[/mm] richtig oder falsch ist). [mm]\psi'(x)[/mm] dagegen
> > > ist eine Aussageform. Sie hängt von [mm]x[/mm] ab, deshalb verstehe
> > > ich das nicht ganz.
> > Du hast es schon völlig richtig erklärt. [mm]\psi'(x)[/mm] ist die
> > Aussageform, die für jedes [mm]x\in X[/mm] den Wahrheitswert der
> > Aussage [mm]\psi[/mm] annimmt. Diese Aussageform wird benötigt, um
> > deine früher bewiesene Aussage anwenden zu können.
> Ja, das verstehe ich, aber ich verstehe nicht warum
> [mm]\psi'(x) = \psi[/mm]. Diese Gleichheit ist für mich unklar. Wie
> ich schon gesagt habe - ich habe eine Aussage [mm]\psi[/mm] und eine
> Aussageform [mm]\psi'(x)[/mm]. Die Aussage kann richtig oder falsch
> sein. Bei der Aussageform muss ich erst mal ein [mm]x[/mm] einsetzen
> um den Wahrheitswert zu bestimmen. Es sind also für mich
> zwei Unterschiedliche Dinge.
Man kann durchaus die Aussageform und die Aussage als zwei verschiedene Objekte ansehen.
Eine Aussageform [mm] $\varphi(x)$ [/mm] ordnet ja jedem [mm] $x_0\in [/mm] X$ eine Aussage [mm] $\varphi(x_0)$ [/mm] zu. [mm] $\psi'(x)$ [/mm] soll nun jedem [mm] $x_0\in [/mm] X$ die gleiche Aussage zuordnen, nämlich [mm] $\psi$. [/mm] Anders ausgedrückt: [mm] $\psi'(x)$ [/mm] soll definiert sein durch [mm] $\psi'(x_0):=\psi$ [/mm] für alle [mm] $x_0\in [/mm] X$.
[mm] $\psi'(x)$ [/mm] kann zwei Bedeutungen haben: Eine Aussageform als ganzes bezeichnen oder die Aussage, die die Aussageform einem konkreten Element [mm] $x\in [/mm] X$ zuordnet. In [mm] $\psi'(x):=\psi$ [/mm] bezeichnet [mm] $\psi'(x)$ [/mm] nicht die Aussageform als Ganzes, sondern die einem [mm] $x\in [/mm] X$ zugeordnete Aussage.
> Ich mache vielleicht noch ein Beispiel.
>
> [mm]X = \IR[/mm].
> [mm]\psi =[/mm] jede reelle Zahl hat ein neutrales Element
> der Addition.
(Du gebrauchst hier den Begriff "neutrales Element" falsch. Es müsste heißen: "Die Menge der reellen Zahlen zusammen mit der Addition hat ein neutrales Element." Aber das hat nichts mit dem eigentlichen Thema hier zu tun.)
Du meinst sicherlich:
[mm] $\psi:=$"für [/mm] jede reelle Zahl x gilt x+0=x"
Davon gehe ich im Folgenden aus.
> [mm]\psi' (x)= x + 0 = x[/mm]
>
> In dem Fall ist [mm]\psi[/mm] wahr. Ich habe mir [mm]\psi '(x)[/mm] so
> definiert, dass die Aussage von [mm]x[/mm] abhängig ist und
> gleichzeitig für alle [mm]x[/mm] denselben Wahrheitswert, wie die
> Aussage [mm]\psi[/mm] hat. Habe ich das richtig verstanden?
Nach meiner Definition von [mm] $\psi'(x)$ [/mm] ordnet diese Aussageform jedem [mm] $x_0\in\IR$ [/mm] die gleiche Aussage, nämlich "für jede reelle Zahl x gilt x+0=x" zu.
Zwar stimmen für alle [mm] $x_0\in\IR$ [/mm] die Wahrheitswerte von deinem [mm] $\psi'(x_0)$ ("$x_0+0=x_0$") [/mm] und meinem [mm] $\psi'(x_0)$ [/mm] ("für jede reelle Zahl x gilt x+0=x") überein, aber sie bezeichnen aus meiner Sicht nicht wirklich die gleiche Aussage.
> Am Ende stellt sich vielleicht noch die Frage, ob es sich
> immer für eine Aussage solche Aussageform definieren
> lässt, dass sie denselben Wahrheitswert für alle [mm]x[/mm] hat
> wie [mm]\psi[/mm].
Sei $X$ eine Menge. Ich verstehe unter einer "Aussageform [mm] $\varphi(x)$ [/mm] für $x$ aus der Menge $X$" eine Zuordnung, die jedem [mm] $x_0\in [/mm] X$ eine Aussage zuordnet. In diesem Sinne ist es kein Problem, jedem [mm] $x_0\in [/mm] X$ die gleiche Aussage [mm] $\psi$ [/mm] zuzuordnen. (Insbesondere hat für jedes [mm] $x_0\in [/mm] X$ die zugehörige Aussage den gleichen Wahrheitswert wie [mm] $\psi$.)
[/mm]
Eine gerade von mir betriebene Google-Recherche hat ergeben, dass auch eine andere Definition einer "Aussageform [mm] $\varphi(x)$ [/mm] für $x$ aus der Menge $X$" gebräuchlich ist: Ein Ausdruck, in dem $x$ als "freie Variable" vorkommt (und nicht nur vorkommen kann) und für den für jedes [mm] $x_0\in [/mm] X$ der Ausdruck [mm] $\varphi(x_0)$ [/mm] (in [mm] $\varphi(x)$ [/mm] das Element [mm] $x_0$ [/mm] für $x$ eingesetzt) eine Aussage ist. Diese Definition ist spezieller, denn sie verlangt ein "echtes Auftreten" von $x$ in [mm] $\varphi(x)$. [/mm] Ich halte diese Einschränkung für nicht sinnvoll, da ich keine Vorteile dieser zusätzlichen Bedingung sehe.
Falls du diese (speziellere) Definition nehmen möchtest: Dann sei eben [mm] $\psi'(x):=$ "$\psi\wedge [/mm] (x=x)$". Dann gilt für jedes [mm] $x_0\in [/mm] X$: [mm] $\psi'(x_0)\;=$ "$\psi\wedge (x_0=x_0)$" [/mm] und somit (da [mm] $x_0=x_0$ [/mm] wahr ist) [mm] $\psi'(x_0)\;\gdw\;\psi$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Di 16.04.2013 | | Autor: | ne1 |
Die Definition in meinem Skript lautet: "Ein Ausdruck $W(x)$, der zu einer Aussage wird, wenn wir für die Variable $x$ ein Objekt eines bestimmten Typs (z.B. ein Element einer definierten Menge) einsetzen, bezeichnen wir als Aussageform".
Das ist meine freie Übersetzung, da ich zur Zeit mit einem nichtdeutschen Skript arbeite. Es geht also eher um die Aussageform als "ganzes", wenn ich das richtig verstehe oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Di 16.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Gute Idee von dir, eure Definition einer Aussageform zu posten.
> Die Definition in meinem Skript lautet: "Ein Ausdruck [mm]W(x)[/mm],
> der zu einer Aussage wird, wenn wir für die Variable [mm]x[/mm] ein
> Objekt eines bestimmten Typs (z.B. ein Element einer
> definierten Menge) einsetzen, bezeichnen wir als
> Aussageform".
O.K., da wird nirgends verlangt, dass in W(x) wirklich die Variable x auftaucht. Also können wir tatsächlich [mm] $\psi'(x):=\psi$ [/mm] definieren.
> Das ist meine freie Übersetzung, da ich zur Zeit mit einem
> nichtdeutschen Skript arbeite. Es geht also eher um die
> Aussageform als "ganzes", wenn ich das richtig verstehe
> oder?
Wo geht es um eine Aussageform als Ganzes? Mittels obiger Definition wird erklärt, was unter einer Aussageform als Ganzes verstanden werden soll.
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