Äquivalenz von Aussagen zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Di 12.01.2010 | | Autor: | deniz87 |
Hallo zusammen,
Ich bearbeite gerade die folgende Aufgabe, aber leider komm' ich nicht mehr weiter.
Sei [mm] D\subseteqIR [/mm] offen. Zeigen Sie,dass für eine Funktion f:D---->IR folgende Aussagen äquivalent sind:
1) f ist stetig
2) f^-1 (U) ist offen für alle offenen Mengen [mm] U\subseteqIR
[/mm]
Ok zu zeigen ist dann erstens, dass aus 1) ---> 2)
Beweis. Sei f stetig in allen Punkten [mm] x_0 \in [/mm] D (Könnte doch auch gleichmäßige sein oder?) Dann gilt für alle [mm] x_0 [/mm] : [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0} [/mm] Ist es überhaupt hilfreich die Definition der Folgenstetigkeit anzuwenden oder sollt man lieber die [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Definition verwenden? Man weiß doch jetzt heißt D die "Definitionsmenge" der stetigen Funktion f ist. Zusätzlich ist bekannt das diese offen ist. Man muss doch zeigen, dass jeder Punkt aus D bijektiv auf das Intervall U abgebildet wird wobei zu zeigen ist dass U ebenfalls offen ist. Oder?
Könnt ihr mir weiterhelfen?
Viele Grüße
Deniz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Mi 13.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
> Ich bearbeite gerade die folgende Aufgabe, aber leider
> komm' ich nicht mehr weiter.
> Sei [mm]D\subseteqIR[/mm] offen. Zeigen Sie,dass für eine Funktion
> f:D---->IR folgende Aussagen äquivalent sind:
> 1) f ist stetig
> 2) f^-1 (U) ist offen für alle offenen Mengen
> [mm]U\subseteqIR[/mm]
> Ok zu zeigen ist dann erstens, dass aus 1) ---> 2)
> Beweis. Sei f stetig in allen Punkten [mm]x_0 \in[/mm] D (Könnte
> doch auch gleichmäßige sein oder?)
Nein. Davon ist nicht die Rede
> Dann gilt für alle
> [mm]x_0[/mm] : [mm]f(x_0)[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}[/mm]
Grausam !
> Ist es überhaupt
> hilfreich die Definition der Folgenstetigkeit anzuwenden
> oder sollt man lieber die [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Definition
> verwenden?
Letzteres
> Man weiß doch jetzt heißt D die
> "Definitionsmenge" der stetigen Funktion f ist. Zusätzlich
> ist bekannt das diese offen ist.
> Man muss doch zeigen, dass
> jeder Punkt aus D bijektiv auf das Intervall U abgebildet
> wird
Hä, wie kommst Du auf so etwas ?
> wobei zu zeigen ist dass U ebenfalls offen ist.
Quatsch !
> Oder?
> Könnt ihr mir weiterhelfen?
Alsooo, wir zeigen 1) ==> 2). f ist also auf D stetig. Wir nehmen uns eine offene Menge U her und müssen zeigen:
[mm] $f^{-1}(U) [/mm] $ ist offen.
Es ist [mm] $f^{-1}(U) [/mm] = [mm] \{x \in D : f(x) \in U \}$. [/mm] Sei [mm] $x_0 \in f^{-1}(U) [/mm] $
Zu zeigen ist jetzt: es gibt ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit:
(*) $(x-0- [mm] \delta, x_0+ \delta) \subseteq f^{-1}(U) [/mm] $
Es ist [mm] f(x_0) \in [/mm] U. U ist offen, folglich ex. ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit
(**) [mm] $(f(x_0)- \varepsilon, f(x_0)+\varepsilon) \subseteq [/mm] U$
Benutze jetzt (**) und die [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Def. , um ein [mm] \delta [/mm] >0 zu finden, so dass (*) gilt.
FRED
> Viele Grüße
> Deniz
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