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| Aufgabe | Sei [mm] a_{n} [/mm] eine Folge und [mm] a\in\IR. [/mm] Zeige die Äquivalenz von:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists n\in\IN [/mm] : [mm] a_{n} \in (a-\varepsilon [/mm] , [mm] a+\varepsilon) [/mm] ohne {a} [mm] \gdw \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] unendlich viele [mm] n\in\IN: a_{n} \in (a-\varepsilon, a+\varepsilon) [/mm] ohne {a} |
Guten Tag erst einmal an alle Interessenten,
mir ist durchaus bewusst, dass diese Äquivalenz der Fall sein muss und dass [mm] a_{n} [/mm] dafür keine konvergente Folge sein muss, wie beispielsweise die Folge [mm] a_{n}=\begin{cases} \bruch{1}{n}, & \mbox{fuer } n \mbox{ gerade} \\ 1-\bruch{1}{n}, & \mbox{fuer } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Formal ist es ja so, da [mm] \varepsilon [/mm] beliebig ist und stets ein [mm] n\in\IN [/mm] existiert, so dass [mm] a_{n} [/mm] im Intervall ist, es unendlich viele solcher n geben muss, da man [mm] \varepsilon [/mm] beliebig klein werden lassen kann.
Mein Problem ist jetzt diese Aussage mathematisch zu formulieren. Ich habe beispielsweise so angefangen:
Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge, so dass gilt: [mm] \forall \varepsilon>0 \exists n\in\IN [/mm] : [mm] a_{n} \in (a-\varepsilon [/mm] , [mm] a+\varepsilon) [/mm] ohne {a}
Dies ist äquivalent zu der Aussage
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists n\in\IN [/mm] : [mm] 0<|a_{n}-a|<\varepsilon
[/mm]
Leider komme ich damit nicht weit, oder ich habe einfach ein Brett vorm Kopf, daher erhoffe ich mir von euch ein wenig Hilfe.
Lieben Gruß,
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Di 01.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Die Richtung [mm] "\Leftarrow" [/mm] dürfte klar sein.
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Nach Vor, ex ein [mm] n_1 \in \IN [/mm] mit: [mm] a_{n_1} \in (a-\varepsilon, [/mm] a+ [mm] \varepsilon) [/mm] und a [mm] \ne a_{n_1}
[/mm]
Setze [mm] \varepsilon_2:=|a- a_{n_1}|. [/mm] Nach Vor. ex. in [mm] n_2 \in \IN [/mm] mit: [mm] a_{n_2} \in (a-\varepsilon_2, [/mm] a+ [mm] \varepsilon_2) [/mm] und a [mm] \ne a_{n_2}: [/mm] Dann ist auch [mm] a_{n_1} \ne a_{n_2}.
[/mm]
Etc... .
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Quadratur |
Super vielen Dank!! Das hat mir gefehlt.
Gruß,
Alex
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