Äquivalenz von Normen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Mo 03.05.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Sei für [mm] x\in \IR^{n} [/mm] mit [mm] x=\vektor{x _{1}\\ \vdots\\ x_{n}} [/mm] und [mm] p\in [0,\infty)
[/mm]
[mm] ||x||_{p}:=\wurzel[p]{\summe_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}} [/mm] und [mm] ||x||_{\infty}:=max\{|x_{i}||i\in \{1,...,n\}\}
[/mm]
Zeige: für p,q [mm] \in [1,\infty] [/mm] sind die Normen [mm] ||.||_{p} [/mm] und [mm] ||.||_{q} [/mm] äquivalent, das heißt:
[mm] \exists c\in \IR^{+} [/mm] mit [mm] \bruch{1}{c}*||x||_{p}\le ||x||_{q} \le c*||x||_{p} [/mm] für alle [mm] x\in \IR^{n} [/mm] |
Heyho
Laut einer alternativen Definition der Äquivalenz zweier Normen, heißen zwei Normen ||.|| und ||.||' äquivalent [mm] \gdw [/mm]
[mm] \forall [/mm] Folgen [mm] (x_{n}) [/mm] im Raum gilt: [mm] ||x_{n}||\to [/mm] 0 [mm] \gdw ||x_{n}||'\to [/mm] 0 für [mm] n\to \infty
[/mm]
Wenn ich diese Defintion richtig verstehe, sind zwei Normen äquivalent, wenn sie das Nullelement auf die Null abbilden...
Tun das Normen nicht schon nach Defintion????
Naja, jedenfalls wie kann ich denn zeigen, dass die beiden Definitionen der Äquivalenz äquivalent sind? Ich hoffe, dass sie das sind...
Oder wie folgere ich zumindest aus der alternativen Definition, dass so ein c existiert?
Liebe Grüße
icarus89
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Sei für [mm]x\in \IR^{n}[/mm] mit [mm]x=\vektor{x _{1}\\ \vdots\\ x_{n}}[/mm]
> und [mm]p\in [0,\infty)[/mm]
>
> [mm]||x||_{p}:=\wurzel[p]{\summe_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}[/mm] und
> [mm]||x||_{\infty}:=max\{|x_{i}||i\in \{1,...,n\}\}[/mm]
>
> Zeige: für p,q [mm]\in [1,\infty][/mm] sind die Normen [mm]||.||_{p}[/mm]
> und [mm]||.||_{q}[/mm] äquivalent, das heißt:
> [mm]\exists c\in \IR^{+}[/mm] mit [mm]\bruch{1}{c}*||x||_{p}\le ||x||_{q} \le c*||x||_{p}[/mm]
> für alle [mm]x\in \IR^{n}[/mm]
> Heyho
>
> Laut einer alternativen Definition der Äquivalenz zweier
> Normen, heißen zwei Normen ||.|| und ||.||' äquivalent
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\forall[/mm] Folgen [mm](x_{n})[/mm] im Raum gilt: [mm]||x_{n}||\to[/mm] 0 [mm]\gdw ||x_{n}||'\to[/mm]
> 0 für [mm]n\to \infty[/mm]
>
> Wenn ich diese Defintion richtig verstehe, sind zwei Normen
> äquivalent, wenn sie das Nullelement auf die Null
> abbilden...
> Tun das Normen nicht schon nach Defintion????
Ja.
Aber das, was du hineininterpretiert hast, steht da oben nicht.
Da steht: Wenn eine Folge eine Nullfolge bzgl. der einen Norm ist, ist es auch eine Nullfolge bzgl. der anderen Norm.
> Naja, jedenfalls wie kann ich denn zeigen, dass die beiden
> Definitionen der Äquivalenz äquivalent sind? Ich hoffe,
> dass sie das sind...
Es sieht so aus.
Probiere zunächst den Schritt von der "c und C"-Definition zur Folgendefinition. Der ist relativ einfach (Du musst ein bisschen mit Epsilons rumhantieren);
> Oder wie folgere ich zumindest aus der alternativen
> Definition, dass so ein c existiert?
Ich bin mir nicht sicher, ob die Rückrichtung des Äquivalenzbeweises (also von der Folgendefinition zur "c und C"-Definition) konstruktiv leicht geht (also wirklich solche c's zu konstruieren). Wahrscheinlich kommst du in dieser Richtung mit einem Widerspruchsbeweis besser zurecht.
Indem du dann aber die Äquivalenz bewiesen hast, erhältst du automatisch die Existenz solcher c's und C's, auch wenn du sie nicht kennst. Um die Aufgabe zu erfüllen, würde ich aber eher mit der gegebenen Definition arbeiten.
Grüße,
Stefan
PS.: !!! Ich habe nicht nachgerechnet, ob die Definitionen äquivalent sind, aber ich denke, sie sind's.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mo 03.05.2010 | | Autor: | icarus89 |
Okay, dann versuch ich es lieber mit der angegebenen Definition.
Ich krieg es auch für den Spezialfall [mm] q=\infty [/mm] hin, die Maximumsnorm ist sowieso kleiner als die anderen und dann erfüllt [mm] c=\wurzel[p]{n} [/mm] die Gleichung.
Und es soll wohl auch reichen, das für [mm] q=\infty [/mm] zu beweisen
Mir ist nur nicht klar, warum...
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Hallo!
> Okay, dann versuch ich es lieber mit der angegebenen
> Definition.
>
> Ich krieg es auch für den Spezialfall [mm]q=\infty[/mm] hin, die
> Maximumsnorm ist sowieso kleiner als die anderen und dann
> erfüllt [mm]c=\wurzel[p]{n}[/mm] die Gleichung.
> Und es soll wohl auch reichen, das für [mm]q=\infty[/mm] zu
> beweisen
Das haut jetzt zwar nicht so schön hin mit eurer Definition von Äquivalenz von Normen (wo man nur ein c wählt; normalerweise sieht die Ungleichung eher so aus: [mm] $c*||x||_1 \le ||x||_2 \le C*||x||_1$ [/mm] (mit zwei verschiedenen c und C), aber das im Folgenden zu bereinigen überlasse ich dir.
Die Idee ist einfach folgende:
Für jedes p und q gilt ja, wie du oben schon beschrieben hast:
(I) [mm] $||x||_{\infty} \le ||x||_{p} \le \sqrt[p]{n}*||x||_{\infty}$
[/mm]
(II) [mm] $||x||_{\infty} \le ||x||_{q} \le \sqrt[q]{n}*||x||_{\infty}$.
[/mm]
Daraus kannst du nun folgern:
Aus (I): [mm] $\frac{1}{\sqrt[p]{n}}||x||_{p}\le ||x||_{\infty}$, [/mm] nun
in (II): [mm] $\frac{1}{\sqrt[p]{n}}||x||_{p}\le ||x||_{\infty} \le ||x||_{q}$,
[/mm]
schon hast du [mm] $||x||_{q}$ [/mm] nach unten durch [mm] $||x||_{p}$ [/mm] abgeschätzt. Nun nur noch die andere Richtung...
Grüße,
Stefan
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