Äquivalenzbeweis 2er Aussagen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei U ein k-dimensionaler Untervektorraum des endlich dimensionalen Vektorraums V.
V . Zeigen Sie, dass für jede (echte) Teilmenge M [mm] \subset [/mm] U die folgenden Eigenschaften
äquivalent sind:
(i) M besteht aus k linear unabhängigen Vektoren.
(ii) M spannt U auf und besteht aus k Vektoren. |
Also mir ist klar, dass man jetzt einerseits zeigen soll A->B und B->A, weil daraus eben folgt A<=>B. Aber leider hab ich keine Ahnung wie.
Mein eigener Ansatz wäre jetzt gewesen:
(i)->(ii)
M=span{v1,v2, ..., vk}
Da alle Vektoren linear abhängig:
Basis: v1, v2, ..., vk -> Dimension k
U=span{M}
Basis: v1, v2, ..., vk -> Dimesion k
Aber so wie ich das sehe, ist das vollkommener Quatsch, weil daraus würde laut meiner Folgerung ja eine Gleichheit von M und U folgen. Außerdem wüsste ich nicht, wie ich jetzt umgekehrt (ii) -> (i) machen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei U ein k-dimensionaler Untervektorraum des endlich
> dimensionalen Vektorraums V.
> V . Zeigen Sie, dass für jede (echte) Teilmenge M
> [mm]\subset[/mm] U die folgenden Eigenschaften
> äquivalent sind:
> (i) M besteht aus k linear unabhängigen Vektoren.
> (ii) M spannt U auf und besteht aus k Vektoren.
> Also mir ist klar, dass man jetzt einerseits zeigen soll
> A->B und B->A, weil daraus eben folgt A<=>B. Aber leider
> hab ich keine Ahnung wie.
> Mein eigener Ansatz wäre jetzt gewesen:
> (i)->(ii)
> M=span{v1,v2, ..., vk}
Das stimmt nicht, da M nur eine Menge der Vektoren ist. Du weißt aber aus [mm] $v\in M\implies v\in [/mm] U$.
> Da alle Vektoren linear abhängig:
> Basis: v1, v2, ..., vk -> Dimension k
Mit diesem Argument klappt das.
>
> U=span{M}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und $|M|=k$.
Und nun such dir mal den Beweis aus deinen Skript heraus, bei den man 3 (oder manchmal nur 2) äquivalente Aussagen zeigt, die eine Basis von einem Vektorraum definieren.
> Basis: v1, v2, ..., vk -> Dimesion k
>
> Aber so wie ich das sehe, ist das vollkommener Quatsch,
> weil daraus würde laut meiner Folgerung ja eine Gleichheit
> von M und U folgen. Außerdem wüsste ich nicht, wie ich
> jetzt umgekehrt (ii) -> (i) machen soll.
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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