Äquivalenzklasse < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Mo 10.07.2006 | | Autor: | maybe. |
| Aufgabe | Im [mm] \IR^{4} [/mm] seien in Abhängigkeit von a [mm] \in\IR [/mm] ein Unterraum [mm] U_a [/mm] sowie zwei Vektoren x und y gegeben:
[mm] U_a=<(1,a,0,2)^T,(1-a,2-a^2,1,-a)^T,(3,0,-a,1)^T>
[/mm]
x= [mm] (0,2,1,1)^T, y=(1,-2,0,-1)^T
[/mm]
Bestimmen sie alle [mm] a\in\IR, [/mm] für die die Äquivalenzklassen x + [mm] U_a, [/mm] y+ [mm] U_a \in \IR^{4}/U_a [/mm] linear unabhängig sind. |
Also erstmal kann ich mir unter linear unabhängigen Äquivalenzklassen wenig vorstellen. Kann das vielleicht jemand erklären?
Bin also stupide nach Def vorgegangen:
Seien die Vektoren im EZS von [mm] U_a [/mm] der Reihe nach benannt als [mm] r_1, r_2, r_3
[/mm]
Sei [mm] [x]:=x+U_a [/mm] und [mm] [y]:=y+U_a
[/mm]
=> (lineare unabhängigkeit) s[x]+t[y]=0 nur für s=t=0
<=> (sx+ty)+ [mm] U_a [/mm] = 0 nur für s=t=0
<=> sx+ty [mm] \in U_a [/mm] nur für s=t=0
=> [mm] \summe_{i=1}^{3} \mu_i r_i [/mm] = sx+ty
Falls diese Gleichung nur für s=t=0 eine Lösung besitzt, dann sind doch [x],[y] linear unabhängig? Denn findet man nichttriviale s,t so dass v:= sx+ty [mm] \in U_a, [/mm] ist doch obige Forderung erfüllt, oder ?
Wie berechnet man das denn jetzt ? Ich bekomme als LGS (Matrixform):
[mm] \pmat{ 1 & 1-a & 3 & 0 & 1 \\ a & 2-a^2 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -a & 1 & 0 \\ 2 & -a & 1 & 1 & -1 }
[/mm]
Danke im vorraus.
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Di 11.07.2006 | | Autor: | maybe. |
hat denn keiner eine antwor parat ?
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Hallo!
Dein Ansatz ist im Prinzip richtig, allerdings hast du dir ein paar Unsauberkeiten erlaubt:
> Seien die Vektoren im EZS von [mm]U_a[/mm] der Reihe nach benannt
> als [mm]r_1, r_2, r_3[/mm]
> Sei [mm][x]:=x+U_a[/mm] und [mm][y]:=y+U_a[/mm]
> => (lineare unabhängigkeit) s[x]+t[y]=0 nur für s=t=0
$[x]$ und $[y]$ sind linear unabhängig, falls $s[x]+t[y]=[0]$ nur für $s=t=0$.
> <=> (sx+ty)+ [mm]U_a[/mm] = 0 nur für s=t=0
Hier gilt dann [mm] $\Leftrightarrow\ [/mm] (sx+ty)+ [mm] U_a [/mm] = [mm] U_a$ [/mm] nur für $s=t=0$
> <=> sx+ty [mm]\in U_a[/mm] nur für s=t=0
> => [mm]\summe_{i=1}^{3} \mu_i r_i[/mm] = sx+ty
>
> Falls diese Gleichung nur für s=t=0 eine Lösung besitzt,
> dann sind doch [x],[y] linear unabhängig? Denn findet man
> nichttriviale s,t so dass v:= sx+ty [mm]\in U_a,[/mm] ist doch obige
> Forderung erfüllt, oder ?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau!
> Wie berechnet man das denn jetzt ? Ich bekomme als LGS
> (Matrixform):
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1-a & 3 & 0 & 1 \\ a & 2-a^2 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -a & 1 & 0 \\ 2 & -a & 1 & 1 & -1 }[/mm]
So ist es (auch wenn das noch kein LGS, sondern nur eine Matrix ist)! Jetzt berechne den Kern dieser Matrix. Denn du hast ja eigentlich folgendes LGS:
[mm]\pmat{ 1 & 1-a & 3 & 0 & 1 \\ a & 2-a^2 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -a & 1 & 0 \\ 2 & -a & 1 & 1 & -1 }\vektor{\mu_1\\\mu_2\\\mu_3\\-s\\-t}=\vektor{0\\0\\0\\0}[/mm].
Jetzt musst du nur noch die [mm] $a\in\IR$ [/mm] suchen, für die der Kern in [mm] $\mathrm{span}\left\{\vektor{1\\0\\0\\0\\0};\vektor{0\\1\\0\\0\\0};\vektor{0\\0\\1\\0\\0}\right\}$ [/mm] liegt, denn dann muss $s=t=0$ sein!
Ist dir die Vorgehensweise jetzt soweit klar?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Mi 12.07.2006 | | Autor: | maybe. |
hallo banachella, vielen dank schon mal, mal sehn ob ich es verstanden habe:
also ich komm nach umformen auf:
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & \bruch{8+6a-2a^2-a^3}{2a} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \bruch{10-a^2}{2a}\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \bruch{-6+2a+a^2}{2a} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \bruch{-10-6a+3a^2+a^3}{2a} }\vektor{\mu_1\\\mu_2\\\mu_3\\-s\\-t}=\vektor{0\\0\\0\\0} [/mm] $
also
=> [mm] \vektor{\mu_1\\\mu_2\\\mu_3\\-s\\-t}= \vektor{(\bruch{-8-6a+2a^2+a^3}{2a})t\\(\bruch{-10+a^2}{2a})t\\(\bruch{+6-2a-a^2}{2a})t\\(\bruch{10+6a-3a^2-a^3}{2a})t \\ t}
[/mm]
und jetzt soll doch der kern (das ist [mm] \vektor{\mu_1\\\mu_2\\\mu_3\\-s\\-t} [/mm] (???)) in
$ [mm] \mathrm{span}\left\{\vektor{1\\0\\0\\0\\0};\vektor{0\\1\\0\\0\\0};\vektor{0\\0\\1\\0\\0}\right\} [/mm] $ liegen. also muss ja gelten
[mm] \bruch{-10-6a+3a^2+a^3}{2a} [/mm] = 0 und
t = 0
wenn aber t=0 ist auch s=0 und somit wären ja [x] und [y] immer l.u. ?
aber was ist denn z.B. mit a =0? das wär ja so bissl illegal oder ?
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Hallo!
> aber was ist denn z.B. mit a =0? das wär ja so bissl
> illegal oder ?
Das ist in der Tat ein bisschen illegal. Deshalb solltest du eine Fallunterscheidung machen.
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & \bruch{8+6a-2a^2-a^3}{2a} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \bruch{10-a^2}{2a}\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \bruch{-6+2a+a^2}{2a} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \bruch{-10-6a+3a^2+a^3}{2a} }\vektor{\mu_1\\\mu_2\\\mu_3\\-s\\-t}=\vektor{0\\0\\0\\0}[/mm]
>
> also
>
> => [mm]\vektor{\mu_1\\\mu_2\\\mu_3\\-s\\-t}= \vektor{(\bruch{-8-6a+2a^2+a^3}{2a})t\\(\bruch{-10+a^2}{2a})t\\(\bruch{+6-2a-a^2}{2a})t\\(\bruch{10+6a-3a^2-a^3}{2a})t \\ t}[/mm]
Dein Rechenweg ist mir zwar nicht ganz klar, aber vielleicht habe ich einfach zu lange kein LGS mehr gelöst. Das Ergebnis stimmt jedenfalls für [mm] $a\ne [/mm] 0$. Dann ist [mm] $\mathrm{Kern}(A)=\mathrm{span}\vektor{\bruch{-8-6a+2a^2+a^3}{2a}\\\bruch{-10+a^2}{2a}\\\bruch{+6-2a-a^2}{2a}\\\bruch{10+6a-3a^2-a^3}{2a}\\ 1}$.
[/mm]
Also gibt es eine Lösung von [mm] $\summe_{i=1}^{3} \mu_i r_i [/mm] =s[x]+t[y]$, bei der [mm] $t\ne [/mm] 0$. Also sind $[x]$ und $[y]$ nicht linear unabhängig.
Kannst du jetzt dasselbe für $a=0$ machen?
Gruß, banachella
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