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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 So 07.11.2010 | | Autor: | erisve |
| Aufgabe | Sei F:A [mm] \to [/mm] B und ~ eine Äquivalenzrelation auf B . Zeigen Sie dass durch a~ Fa' [mm] \gdw [/mm] F(a)~F(a`) eine Äquivalenzrelation auf A definiert ist. Bestimmen Sie ~F explizit und skizzieren Sie die Äquivalenzklasse
(a) [mm] F:\IR \to \IZ [/mm] F(r)= [r]= max (z [mm] \in \IZ [/mm] | z [mm] \le [/mm] r)
m~n [mm] \gdw [/mm] 2 | m-n [mm] \gdw [/mm] m [mm] \equiv [/mm] n(2) |
Hallo auch,
diese Aufgabe bringt mich grad leicht zum Verzweifeln...
dass obiges eine Äquivalenzrelation sein muss, da die drei Eigenschaften erfüllt sind ist mir noch relativ klar, aber wie genau soll man ~F bestimmen? Ist es einfach die Identität oder eine Indikatorfunktion,
noch weniger verstehe ich den zweiten Aufgabenteil, nur das erst mit der unteren Gaußklammer das könnte ich ja zeichnen aber was hat das bitteschön mit modulo zu schafften????
bin für jeden hinweis dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 So 07.11.2010 | | Autor: | moudi |
> Sei F:A [mm]\to[/mm] B und ~ eine Äquivalenzrelation auf B . Zeigen
> Sie dass durch a~ Fa' [mm]\gdw[/mm] F(a)~F(a') eine
> Äquivalenzrelation auf A definiert ist. Bestimmen Sie ~F
> explizit und skizzieren Sie die Äquivalenzklasse
> (a) [mm]F:\IR \to \IZ[/mm] F(r)= [r]= max (z [mm]\in \IZ[/mm] | z [mm]\le[/mm] r)
> m~n [mm]\gdw[/mm] 2 | m-n [mm]\gdw[/mm] m [mm]\equiv[/mm] n(2)
> Hallo auch,
> diese Aufgabe bringt mich grad leicht zum Verzweifeln...
> dass obiges eine Äquivalenzrelation sein muss, da die
> drei Eigenschaften erfüllt sind ist mir noch relativ klar,
Die Aequivalenzrelation auf A ist so definiert, dass zwei Elemente in A aequivalent sind, wenn ihre Bilder in B aequivalent sind. Jetzt kann du einfach die Axiome fuer eine Aequivalenzrelation nachpruefen.
> aber wie genau soll man ~F bestimmen? Ist es einfach die
> Identität oder eine Indikatorfunktion,
Siehe oben. Elemente in A sind in derselben Aequivalenzklasse wenn ihre Bilder in derselben Aequivalenzklasse von B sind. Deshalb sind die Aequivalenzklassen von A gerade die "Urbilder" der Aequivalenzklassen von $B$. Ist [b] die Menge der zu b aequivalenten Elemente in B und gilt f(a)=b, dann ist [mm] $[a]=f^{-1}([b])$.
[/mm]
> noch weniger verstehe ich den zweiten Aufgabenteil, nur
> das erst mit der unteren Gaußklammer das könnte ich ja
> zeichnen aber was hat das bitteschön mit modulo zu
> schafften????
b) ist eine Illustration von a. In [mm] $\mathbb [/mm] Z$ schaut man sich die Aequivalenzrelation [mm] $m\sim n\Leftrightarrow [/mm] 2|(m-n)$ und zieht diese mittels $F(x)=[x]$ auf [mm] $\mathbb [/mm] R$ zurueck, da [mm] $F:\mathbb R\to\mathbb [/mm] Z$. Offenbar sollst du die Aequivalenzklassen auf [mm] $\mathbb [/mm] R$ bestimmen.
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> bin für jeden hinweis dankbar
>
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 So 07.11.2010 | | Autor: | erisve |
Vielen Dank für deine Antwort den ersten Teil habe ich jetzt sehr gut verstanden,
und die Zeichnung sieht das dann so aus, dass ich pro Intervall immer zwischen 0 und 1 wechseln muss?
oder zeichne ich ganz normal die gaußfunktion und unterteile diese in 0 und 1 Aquivalenzklassen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Mo 08.11.2010 | | Autor: | moudi |
Da es in [mm] $\mathbb [/mm] Z$ bezueglich dieser Relation nur 2 Klassen gibt, trifft das auch auf [mm] $\mathbb [/mm] R$ zu. Man kann die Klassen wie folgt einfach charakterisieren:
[mm] $[0]=\{x\in\mathbb R : [x] \mbox{ ist gerade }\}$ [/mm] und
[mm] $[1]=\{x\in\mathbb R : [x] \mbox{ ist ungerade }\}$.
[/mm]
Die ersten eckigen Klammern bezeichnen die Aequivalenzklassen und $[x]$ bezeichnet die Gaussfunktion.
mfG Moudi
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