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| Aufgabe | Seien X, Y nichtleere Mengen und f : X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Definiere eine geeignete Äquivalenzrelation ~ auf X, so dass die Abbildung
phi : X/~ [mm] \to [/mm] Y
[x] [mm] \mapsto [/mm] f(x)
wohldefiniert und injektiv ist und begründe eine Definition.
Wann ist die Abbildung auch surjektiv. |
Hallo Community,
zunächste den zweiten Aufgabeteil.
Die Abbildung ist surjektiv, wenn f(x) = Y.
Und als Äquivalenzrelation habe ich für a, b [mm] \in [/mm] X
a ~ b [mm] :\gdw [/mm] f(a) = f(b)
definiert.
Schwanke aber noch mit der anderen Lösung:
a ~ b [mm] :\gdw [/mm] a= b
Nun meine Frage dazu:
Wenn die ganze Äquivalenzklasse auf f(x) abgebildet wird. Ist das dann
injektiv, wenn die Äquivalenzklasse mehrere Repräsentaten hat?
Oder darf wirklich nur einer darin enthalten sein. (Das wäre Möglichkeit zwei.) Sonst würde ich mit der ersten Lösung alle Elemente zu einer
Äquivalenzklasse zusammenfassen, die das gleiche Bild haben.
Was von der Vorraussetzung gefordert wird.
Was sagt ihr dazu?
Und worauf bezieht sich das "wohldefiniert"? Auf die Funktion oder auf
die Äquivalenzrelation?
mfg
oktollber
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> Seien X, Y nichtleere Mengen und f : X [mm]\to[/mm] Y eine
> Abbildung. Definiere eine geeignete Äquivalenzrelation ~
> auf X, so dass die Abbildung
> phi : X/~ [mm]\to[/mm] Y
> [x] [mm]\mapsto[/mm] f(x)
> wohldefiniert und injektiv ist und begründe eine
> Definition.
> Wann ist die Abbildung auch surjektiv.
> Hallo Community,
>
Hallo,
> zunächste den zweiten Aufgabeteil.
> Die Abbildung ist surjektiv, wenn f(x) = Y.
Moment! es geht doch um die Surjektivität von [mm] \phi.
[/mm]
[mm] \phi [/mm] ist surjektiv genau dann, wenn [mm] \phi(X/~)=Y [/mm] gilt,
wenn es also zu jedem [mm] y\in [/mm] Y ein [mm] x\in [/mm] X gibt mit [mm] \phi[x]=y.
[/mm]
Mehr kann man im Moment nicht sagen, da die Äquivalenzrelation [mm] \sim [/mm] noch nicht definiert ist.
>
> Und als Äquivalenzrelation habe ich für a, b [mm]\in[/mm] X
> a ~ b [mm]:\gdw[/mm] f(a) = f(b)
> definiert.
Eine Äquivalenzrelation ist das schonmal.
Zur Wohldefiniertheit von [mm] \phi:
[/mm]
man muß sicherstellen, daß, sofern [x]=[y] auch [mm] \phi([x])=\phi([y]),
[/mm]
daß der Funktionswert also unabhängig ist von der Wahl des Repräsentanten der Äquivalenzklasse.
Gucken wir mal. Sei [x]=[y]. Dann ist [mm] x\sim [/mm] y, also f(x)=f(y).
[mm] \phi([x])=f(x)=f(y)=\phi([y]).
[/mm]
Alles in Butter mit der Wohldefiniertheit.
Injektivität: Zu prüfen ist, ob aus [mm] \phi([x])=\phi([y]) [/mm] folgt, daß [x]=[y].
das machst Du am besten mal:
Sei [mm] \phi([x])=\phi([y]) [/mm] ==> ...=... usw.
>
> Schwanke aber noch mit der anderen Lösung:
> a ~ b [mm]:\gdw[/mm] a= b
Eine Äquivalenzrelation ist das.
Wie sehen die Äquivalenzklassen aus? Wieviel Elemente sind in [a]?
Nun kannst Du ja auch versuchen, die Wohldefiniertheit und Injektivität zu prüfen.
Ich hoffe, daß Deine weiteren Fragen mit meinen Ausführungen beantwortet wurden.
Gruß v. Angela
>
> Nun meine Frage dazu:
> Wenn die ganze Äquivalenzklasse auf f(x) abgebildet wird.
> Ist das dann
> injektiv, wenn die Äquivalenzklasse mehrere
> Repräsentaten hat?
> Oder darf wirklich nur einer darin enthalten sein. (Das
> wäre Möglichkeit zwei.) Sonst würde ich mit der ersten
> Lösung alle Elemente zu einer
> Äquivalenzklasse zusammenfassen, die das gleiche Bild
> haben.
> Was von der Vorraussetzung gefordert wird.
>
> Was sagt ihr dazu?
>
> Und worauf bezieht sich das "wohldefiniert"? Auf die
> Funktion oder auf
> die Äquivalenzrelation?
>
> mfg
> oktollber
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