matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenRelationenÄquivalenzklassen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Relationen" - Äquivalenzklassen
Äquivalenzklassen < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Relationen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Äquivalenzklassen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 So 23.07.2017
Autor: sae0693

Aufgabe
Es sei [mm] \IC [/mm] die Menge der komplexen Zahlen. Auf [mm] \IC \times \IC [/mm] sei die folgende Relation R definiert: [mm] z_{1}Rz_{2} \gdw |z_{1}|z_{2}. [/mm]

a) Weisen Sie nach, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
b) Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von R und geben Sie eine geometrische Beschreibung dieser Äquivalenzklassen in der Zahlenebene.

a)

R ist reflexiv, weil (x,x) [mm] \in [/mm] R ist, da der Betrag aus [mm] z_{1} [/mm] = [mm] z_{2} [/mm] ist.
R ist symmetrisch, weil (x,y) [mm] \in [/mm] R und (y,x) [mm] \in [/mm] R sind. x und y sind hier identisch, demnach sind beide vorhanden.
R ist transitiv, weil (x,y) [mm] \in [/mm] R, (y,z) [mm] \in [/mm] R und (x,z) [mm] \in [/mm] R, da x = y = z.

Demnach ist R eine Äquivalenzrelation.

b)
Was bedeutet dies nun für die Äquivalenzklassen von R? Theoretisch habe ich ja unendlich viele Äquivalenzklassen, weil es unendlich viele komplexe Zahlen gibt, korrekt? Demnach hätte ich etwas wie:

[mm] [x_{i}] [/mm] = {x [mm] \in \IC [/mm] | [mm] x_{i} [/mm] ~ R y }
für alle - [mm] \infty [/mm] < x < [mm] \infty [/mm]

Ist das falsch?

Zur geometrischen Beschreibung: Es würde sich eine diagonale durch den Punkt (0,0) eines Koordinatensystems bilden, welche von [mm] ]-\infty;\infty[ [/mm] geht. Oder?


        
Bezug
Äquivalenzklassen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:01 Mo 24.07.2017
Autor: angela.h.b.


> Es sei [mm]\IC[/mm] die Menge der komplexen Zahlen. Auf [mm]\IC \times \IC[/mm]
> sei die folgende Relation R definiert: [mm]z_{1}Rz_{2} \gdw |z_{1}|z_{2}.[/mm]

Hallo,

sollte es so heißen:

Auf [mm]\IC \times \IC[/mm]
sei die folgende Relation R definiert:
[mm]z_{1}R z_{2} \gdw |z_{1}|=|z_{2}|.[/mm]

Es ist kein Fehler, sich hiermit zu beschäftigen, und wenn die Aufgabenstellung dann doch anders war, kommst Du damit dann vllt. sogar allein zurecht.

Es wird hier definiert, daß zwei komplexe Zahlen in Relation zueinander stehen, wenn ihre Beträge gleich sind.
Weißt Du, wie man komplexe Zahlen in die Gaußsche Zahlenebene einträgt?
z=4+3i wäre beim Punkt (4|3), der Betrag von z, also |z|=|4+3i| ist der Abstand von (4|3) vom Koordinatenursprung.
Wie groß ist er?
Wo liegen in der Gaußebene all die Zahlen, die denselben Betrag wie z haben?

Nehmen wir jetzt mal z=4+3i und z'=2+5i und schauen, ob zRz' oder anders geschrieben: ob [mm] (z,z')\in [/mm] R.
Es ist |z|=|4+3i|=5, es ist [mm] |z'|=|2+5i|=\wurzel{29}. [/mm]
Also ist [mm] |z|\not=|z'| [/mm] und somit [mm] (z,z')\notin [/mm] R.

Kannst Du komplexe Zalen sagen, die in Relation zu z=4+3i stehen?


Nach diesen Überlegungen kann es losgehen.

>  
> a) Weisen Sie nach, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
>  b) Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen von R und geben
> Sie eine geometrische Beschreibung dieser
> Äquivalenzklassen in der Zahlenebene.
>  a)
>
> R ist reflexiv, weil (x,x) [mm]\in[/mm] R ist, da der Betrag aus
> [mm]z_{1}[/mm] = [mm]z_{2}[/mm] ist.

Es stimmt, daß R reflexiv ist, aber Deine Begründung ist nicht nachvollziehbar.

So geht es:

Sei [mm] x\in \IC. [/mm]
Dann ist [mm] (x,x)\in \IR, [/mm] denn es ist |x|=|x|.
Also ist R reflexiv.

>  R ist symmetrisch, weil (x,y) [mm]\in[/mm] R und (y,x) [mm]\in[/mm] R sind.
> x und y sind hier identisch, demnach sind beide vorhanden.

Du mußt Dich bei der Argumentation an die Definitionen halten.
Für die Symmetrie ist zu prüfen, ob wenn [mm] (x,y)\in [/mm] R, zwangsläufig auch [mm] (y,x)\in [/mm] R gilt.

Seien [mm] x,y\in \IC [/mm] und [mm] (x,y)\in [/mm] R.
Dann ist |x|=|y|  <==> |y|=|x| <==> ...
Also ...


>  R ist transitiv, weil (x,y) [mm]\in[/mm] R, (y,z) [mm]\in[/mm] R und (x,z)
> [mm]\in[/mm] R, da x = y = z.
>  
> Demnach ist R eine Äquivalenzrelation.

Seien [mm] x,y,z\in \IC [/mm] mit [mm] (x,y)\in [/mm] R und [mm] (y,z)\in [/mm] R.
Zu prüfen ist, ob damit zwangsläufig auch [mm] (x,z)\in [/mm] R.

[mm] (x,y)\in [/mm] R und [mm] (y,z)\in [/mm] R <==> ....
Also ist auch |x|=|z| <==> ...
Also ist R transitiv.


>  
> b)
> Was bedeutet dies nun für die Äquivalenzklassen von R?
> Theoretisch habe ich ja unendlich viele Äquivalenzklassen,
> weil es unendlich viele komplexe Zahlen gibt, korrekt?
> Demnach hätte ich etwas wie:
>  
> [mm][x_{i}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= {x [mm]\in \IC[/mm] | [mm]x_{i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

~ R y }

>  für alle - [mm]\infty[/mm] < x < [mm]\infty[/mm]
>  
> Ist das falsch?

Es ist auf jeden Fall sehr schlampig.
Für jedes [mm] x\in \IC [/mm] ist die zugehörige Äquivalenzklasse durch [mm] [x]:=\{y\in \IC |xRy\} [/mm] beschrieben.

Die Frage ist nun: welche verschiedenen Äquivalenzklassen gibt es?

Vllt. kommst Du hiermit jetzt schon klar, nachdem Du Dich mit dem eingangs betrachteten Beispiel beschäftigt hast.

LG Angela

>  
> Zur geometrischen Beschreibung: Es würde sich eine
> diagonale durch den Punkt (0,0) eines Koordinatensystems
> bilden, welche von [mm]]-\infty;\infty[[/mm] geht. Oder?
>  


Bezug
                
Bezug
Äquivalenzklassen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:19 Di 25.07.2017
Autor: sae0693

Ich hab das jetzt mal paar Tage sacken lassen, um zu prüfen, ob ich es nun verstanden habe.

Ist das so korrekt und ausreichend?

Reflexiv:
Sei x [mm] \in \IC, [/mm] dann ist (x,x) [mm] \in [/mm] R, da |x| = |x|
-> Reflexiv

Symmetrisch:
Sei x,y [mm] \in \IC, [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] R, weil|x| = |y| [mm] \gdw [/mm] |y| = |x| [mm] \gdw [/mm] (y,x) [mm] \in [/mm] R.
-> Symmetrisch

Transitiv:
Sei x,y,z [mm] \in \IC, [/mm] dann ist (x,y) [mm] \in [/mm] R, (y,z) [mm] \in [/mm] R, weil |x| = |y| [mm] \gdw [/mm] |y| = |z|.
Da |x| = |z|, ist (x,z) [mm] \in [/mm] R.
-> Transitiv

Zum Thema Äquivalenzklassen:
Der Betrag aus x bzw. y ist die Hypotenuse, also die Länge des Vektors. Das hilft mir - zumindest aus meiner Sicht - nicht wirklich weiter.



Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzklassen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Di 25.07.2017
Autor: leduart

Hallo sae
wo liegen denn z.B alle z  die zu z=1 äquivalent sind, also |z|=1 oder zu z=2i also |z|=2
Gruß lula

Bezug
                                
Bezug
Äquivalenzklassen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Di 25.07.2017
Autor: sae0693

Genau gespiegelt.
z=1 -> z=-1 und so weiter..

Bezug
                                        
Bezug
Äquivalenzklassen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Di 25.07.2017
Autor: chrisno

nicht nur spiegeln, sondern auch drehen ....

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzklassen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:56 Mi 26.07.2017
Autor: fred97

Isz [mm] $z_0 \in \IC$, [/mm] so bezeichne [mm] $[z_0]$ [/mm] die zu [mm] z_0 [/mm] geh. Äquivalenzklasse, also

[mm] $[z_0]=\{w \in \IC: wRz_0\}$. [/mm]

Im Falle [mm] z_0=0 [/mm] ist [mm] [z_0]=\{w \in \IC: |w|=0\}=\{0\}. [/mm]

Ist [mm] z_0 \ne [/mm] 0, so ist [mm] [z_0] [/mm] die Kreislinie um 0 mit Radius [mm] |z_0|. [/mm]



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Relationen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]