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Äquivalenzklassen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 So 08.07.2018
Autor: MatheSckell

Aufgabe
Betrachten Sie die Gruppe der [mm] (\IZ, [/mm] +). Seien m und n aus [mm] \IZ. [/mm]
Wir definieren m R n falls 5|(m-n).
Zeigen Sie, dass die so definierte Relation eine Äquivalenzrelation ist und bestimmen Sie die Äquivalenzklassen.
Diese Äquivalenzklassen bilden eine Partition von [mm] \IZ. [/mm] Begründen Sie diese Aussage.

Ich habe bisher die Eigenschaften der Äquivalenzrelation (reflexiv, symmetrisch, transitiv) gezeigt.
Ich verstehe nicht, wie man von dieser Relation auf Äquivalenzklassen kommt. Es geht doch nur um "Teilbarkeit durch 5 "...
Durch die "Lösung" weiß ich, dass diese Äquivalenzklassen wohl die Restklassen sind (meine Dozentin schreibt sie in eckige Klammern: [0][1][2][3][4]). Aber woher dieser (aus meiner Sicht) Gedankensprung?

Weiterhin wird danach gefragt, wieso diese Äquivalenzklassen eine Partition von [mm] \IZ [/mm] bilden. Ich habe zwar eine Lösung, wundere mich aber wie man darauf kommt so etwas zu tun und würde mich daher über einen frischen Ansatz (den ich dann hoffentlich besser nachvollziehen kann) freuen.

        
Bezug
Äquivalenzklassen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 So 08.07.2018
Autor: fred97


> Betrachten Sie die Gruppe der [mm](\IZ,[/mm] +). Seien m und n aus
> [mm]\IZ.[/mm]
>  Wir definieren m R n falls 5|(m-n).
>  Zeigen Sie, dass die so definierte Relation eine
> Äquivalenzrelation ist und bestimmen Sie die
> Äquivalenzklassen.
>  Diese Äquivalenzklassen bilden eine Partition von [mm]\IZ.[/mm]
> Begründen Sie diese Aussage.
>  Ich habe bisher die Eigenschaften der Äquivalenzrelation
> (reflexiv, symmetrisch, transitiv) gezeigt.
> Ich verstehe nicht, wie man von dieser Relation auf
> Äquivalenzklassen kommt. Es geht doch nur um "Teilbarkeit
> durch 5 "...
> Durch die "Lösung" weiß ich, dass diese
> Äquivalenzklassen wohl die Restklassen sind (meine
> Dozentin schreibt sie in eckige Klammern: [0][1][2][3][4]).
> Aber woher dieser (aus meiner Sicht) Gedankensprung?


Das ist  kein Gedankensprung. Aequivalenklasse und Restklasse ist das selbe.


>  
> Weiterhin wird danach gefragt, wieso diese
> Äquivalenzklassen eine Partition von [mm]\IZ[/mm] bilden.

Dazu ist zu zeigen : zwei  verschiedene Aequivalenklassen sind disjunkt und die Vereinigung aller Aequivalenklassen ist  die Menge der ganzen Zahlen.


Ich habe

> zwar eine Lösung, wundere mich aber wie man darauf kommt
> so etwas zu tun und würde mich daher über einen frischen
> Ansatz (den ich dann hoffentlich besser nachvollziehen
> kann) freuen.


Bezug
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