Äquivalenzklassen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 So 05.02.2006 | | Autor: | gosch |
| Aufgabe | Es sei [mm] \mathit{L: V \to W} [/mm] eine lineare Abbildung.
Eine Äquivalenzrelation [mm] \sim [/mm] auf [mm] \mathit{V} [/mm] ist gegeben durch: [mm] \mathit{v \sim w \gdw L(v) = L(w)}.
[/mm]
Die Äquivalenzklassen sind genau von der Form [mm] \mathit{ker(L) + v := \{u + v | u \in ker(L)\}}.
[/mm]
Gib eine Bijektion von [mm] \mathit{Bild(L)} [/mm] auf die Menge [mm] \overline{V} [/mm] der Äquivalenzklassen an. |
Guten Abend,
[mm] \mathit{Bild(L) = \{L(v) | v \in V\}} [/mm] und [mm] \mathit{Ker(L) = 0}, [/mm] also [mm] \mathit{L} [/mm] ist injektiv- so viel weiss ich, aber Bijektion von Bild(L) auf die Menge der Äquivalenzklassen....
Danke im Voraus für Tipps.
Gruß, Gosch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 So 05.02.2006 | | Autor: | t.sbial |
Wenn ihr den 1. Isomorphiesatz schon hattet, was ich schwer hoffe, dann ist das eine direkte Anwedung davon. Man beachte, dass [mm] \overline{V}=V [/mm] /ker(L). Damit gilt Bild(L) [mm] \cong \overline{V}. [/mm] Den passenden Isom. kann man auch leicht angeben.
Gruß
T.Sbial
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:07 So 05.02.2006 | | Autor: | gosch |
Hallo T.Sbial
kann ich also schreiben: [mm] $\mathit{\overline{L}:V{Ker(L) \to Bild(L), v*Ker(L) \to L(v)}}$ [/mm] ? Ich sollte aber Bijektion von [mm] $\mathit{Bild(L)}$ [/mm] auf die Menge [mm] $\mathit{\overline{V}}$ [/mm] doch geben.
Gosch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Mo 06.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
ich verstehe leider die Formel nicht wirklich - was ist denn v*ker(L) ?!?
falls die Frage noch aktuell ist, könntest du bitte nochmal etwas Erläuterungen dazu geben?
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 So 05.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> [mm]\mathit{Bild(L) = \{L(v) | v \in V\}}[/mm] und [mm]\mathit{Ker(L) = 0},[/mm]
> also [mm]\mathit{L}[/mm] ist injektiv- so viel weiss ich, aber
> Bijektion von Bild(L) auf die Menge der
> Äquivalenzklassen....
wieso ist jetzt der Kern von L trivial ?!? es geht hier nicht um die Bijektivität von L, sondern um die von [mm] $\phi$, [/mm] wobei:
[mm] $\phi [/mm] : [mm] \Bild(L) \to \overline{V}$ [/mm] mittels [mm] $\phi (L(v))=v+\ker(L)$
[/mm]
du musst also von dieser Abbildung zeigen, dass sie injektiv und surjektiv ist - dies geht vielleicht am einfachsten durch widerspruch !
angenommen [mm] $\phi$ [/mm] wäre nicht injektiv, also zwei verschiedene Elemente L(v) und L(w) aus dem Bild von L bilden auf die gleiche Äquivalenzklasse ab, sind also äquivalent nach der Definition in der Aufgabenstellung , was folgt also für L(v) und L(w) im Gegensatz zu unserer Annahme?
Surjektivität ist offensichtlich:
jede Äquivalenzklasse v+ker(L) wird natürlich durch L(v) getroffen...
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 So 05.02.2006 | | Autor: | gosch |
Hallo DaMenge,
es folgt daraus, dass [mm] \mathit{L(v) = L(w)} [/mm] ist, wir haben aber angenommen, dass [mm] \mathit{L(v) \not= L(w)}- [/mm] das führt zum Widerspruch.
Danke,
Gruß,
Gosch
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