Äquivalenzklassen < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Mo 07.01.2008 | | Autor: | iMeN |
| Aufgabe | Man untersuche, ob folgende binäre Relationen Äquivalenzrelationen über der Menge [mm] \IR [/mm] sind und veranschauliche gegebenfalls die Äquivalenzklassen
xRy [mm] \gdw [/mm] [x] = [y], wobei [z] die größte ganze Zahl k mit [mm] k\le [/mm] z bedeutet. |
Dass R eine Äquivalenzrelation ist habe ich nachgewiesen, sie ist reflexiv, symmetrisch, transitiv.
Problem habe ich jetzt mit Äquivalenzklassen.
z.B die Zahlen 1,9 und 1,567 stehen in Relation zueinander, denn ihre größte gemeinsame ganze Zahl ist 1.
Welche Zahl ist nun Vertreter der Äquivalenzklasse?
ist die 1 der Vertreter aller Zahlen zwischen 1 und <2.
oder ist 1,567 Vertreter aller Zahlen die die 1 als größte gemeinsame Zahl haben?
Und wie stelle ich gegebenfalls Äquivalenzklassen dar?
Gruß
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Di 08.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
wenn Du eine Zahl $x [mm] \in \IR$ [/mm] hast, so gibt es ja genau ein $z [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $z [mm] \le [/mm] x < z+1$ (das $z$ ist hier nichts anderes als $[x]$). Das heißt, sinnvoll wäre es, wenn man hier die Äquivalenzklassen durch die ganzen Zahlen repräsentieren würde. Wie ich das genau meine:
Siehe dazu unten [mm] $(\*)$.
[/mm]
Prinzipiell ist ja hier, wenn ich die zu x gehörige Äquivalenzklasse mit ÄK(x) bezeichne, per Definitionem einfach
[mm] ÄK$(x)=\{y \in \IR: [x]=[y]\}$ [/mm]
D.h. wenn $z=[x]$, also z die größte ganze Zahl [mm] $\le [/mm] x$ ist, kann man schreiben:
[mm] ÄK$(x)=\{y \in \IR: [x]=[y]\}=\{y \in \IR: z=[y]\}=[z,z+1[$ $(=\{t \in \IR: z \le t < z+1\})$
[/mm]
D.h. um dann ÄK$(x)$ zu repräsentieren, kannst Du jede Zahl aus dem Intervall $[z,z+1[$ wählen, es gilt dann nämlich für jedes $r [mm] \in [/mm] [z,z+1[$:
ÄK(x)=ÄK(r), also insbesondere ÄK(x)=ÄK(z)=ÄK$([x])$.
Wenn man also alle Äquivalenzklassen aufzählen wollte, so wäre das z.B. mit
[mm] $(\*)$ [/mm] ÄK$(z)=[z,z+1[$ ($z [mm] \in \IZ$)
[/mm]
getan.
Du könntest aber durchaus auch anstatt ÄK($z$) ($z [mm] \in \IZ$) [/mm] für die Äquivalenzklassen dann beispielsweise auch
[mm] ÄK$\left(z+\frac{1}{2}\right)$ [/mm] ($z [mm] \in \IZ$)
[/mm]
schreiben, man bekommt aber in jedem Fall heraus, dass es abzählbar unendlich viele Äquivalenzklassen gibt.
Natürlich könnte man auch sagen:
Ich schreibe nicht ÄK$(1)$, sondern ÄK$(1,1)$, und anstatt ÄK$(2)$ schreibe ich ÄK$(2,01347)$, anstatt ÄK$(3)$ schreibe ich [mm] ÄK$(\pi)$, [/mm] aber mit solch willkürlich gewählten Repräsentanten, die ja in der Klammer nach dem ÄK immer stehen, ist es dann schwierig, alle Äquivalenzklassen sinnvoll aufzuzählen.
Und die Variante [mm] $(\*)$ [/mm] ist sicherlich die naheliegendste 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:47 Di 08.01.2008 | | Autor: | iMeN |
| Aufgabe | Man untersuche, ob folgende binäre Relation Äquivalenzrelation über der Mendge X ist und veranschauliche ggf. die Äquivalenzklassen.
X sei Menge aller Geraden g in der Ebene: g1 [mm] \cap [/mm] g2 = [mm] \emptyset [/mm] oder g1=g2 |
Also ist X Menge aller parallelen Geraden einer Ebene, dies ist eine Äquivalenzrelation.
Die Äquivalenzklassen dazu sind:
[mm] [g]_{R} [/mm] = {b | b [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] bRa} , d.h. alle Geraden die g nicht schneiden, und jede dieser Geraden ist Vertreter der ÄK(g) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Di 08.01.2008 | | Autor: | zahllos |
X ist die Menge aller Geraden in der Ebene und Du hast gezeigt, dass die hier betrachtete Relation eine Äquivalenzrelation ist.
Jede Äquivalenzklasse besteht aus einer Schar zueinander paralleler Geraden. Also kannst Du als Repräsentant einer Äquivalenzklasse einen besonders einfachen Vertreter dieser Schar wählen, z.B. die Gerade durch den Ursprung. Die Menge aller Äquivalenzklassen dieser Relation ist somit die Menge aller Ursprungsgeraden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Di 08.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm][g]_{R} = \{b | b \in[/mm] X [mm]\wedge bRa\}[/mm] , d.h. alle Geraden die
> g nicht schneiden, und jede dieser Geraden ist Vertreter
> der ÄK(g) ?
hier solltest Du ein wenig aufpassen, denn g ist natürlich auch in der Äquivalenzklasse, die g repräsentiert. D.h. die letzte Menge ist die Menge aller Geraden, die $g$ nicht schneidet oder eben die Gerade $g$, m.a.W. die Menge aller zu $g$ echt parallele Geraden und g selbst, bzw. die Menge aller zu g parallelen Geraden.
Ein Beispiel für den euklidischen Anschauungsraum [mm] $\IR^2$:
[/mm]
Ist [mm] $g=\{(x,y) \subset \IR^2: y=5x+3 \mbox{ für alle } x \in \IR\}$, [/mm] so ist
[mm] $[g]_R=\{M(g)_r \subset \IR^2, r \in \IR\}=\bigcup_{r \in \IR} \{M(g)_r\}$ [/mm] mit [mm] $M(g)_r:=\{(x,y) \subset \IR^2: y=5x+r \mbox{ für alle } x \in \IR\}$ [/mm]
Und die Gerade [mm] $M(g)_0=\{(x,y) \subset \IR^2: y=5x\}$ [/mm] ist dann der erwähnte "naheliegende" Repräsentant dieser Äquivalenzklasse, das ist nämlich gerade die (einzige) Gerade dieser Äquivalenzklasse, die durch den Ursprung geht.
Also für unser spezielles g:
[mm] $[g]_R$ [/mm] ist die Menge aller zu $g$ parallelen Geraden. Die Äquivalenzklasse kann durch die Wahl eines festen $r$ dann hier mit der Geraden [mm] $M(g)_r$ [/mm] repräsentiert werden, insbesondere könnte man für $r=3$ dann [mm] $[g]_R$ [/mm] mit $g$ selbst repräsentieren (es ist [mm] $M(g)_3=g$). [/mm] Naheliegend ist es aber, die Äquivalenzklasse mit [mm] $M(g)_0$ [/mm] zu repräsentieren (das wäre die angesprochene Ursprungsgerade).
Gruß,
Marcel
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