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| Aufgabe | | Hi ich wollte gerne wissen ob mir jemand erklären kann was denn genau Äquivalenzklassen sind? |
Äquivalenz ist im Prinzip eine Form der Gleichheit. Man abstrahiert von allem, was für den untersuchten Gegenstand nicht von Interesse ist. Das heißt, man identifiziert Objekte, die sich nur "unwesentlich" unterscheiden. Folgendes Beispiel.
Ich definieren für Zahlenpaare [mm] $(a,b),(c,d)\in \IZ \times \IZ^{\star}$ [/mm] (wobei [mm] $\IZ^{\star} [/mm] = [mm] \IZ \setminus\{0\}$)
[/mm]
[mm] $(a,b)\sim [/mm] (c,d) [mm] \gdw [/mm] ad = bc$
Und die Äquivalenzklasse, in der $(a,b)$ liegt, bezeichnen wir einmal nicht mit eckigen Klammern, sondern schreiben sie zur Abwechslung so:
[mm] $\{a\}/\{b\} [/mm] = [mm] \{ (c,d) \in \IZ \times \IZ^{\star} | (c,d) \sim (a,b) \}
[/mm]
Und jetzt bestimme einmal die Äquivalenzklasse
[mm] $\{2\}/\{3\} [/mm] = [mm] \{ ..............................\}$
[/mm]
Also ist es
[mm] $\{2\}/\{3\} [/mm] = [mm] \{4/6, 6/9,...\}$
[/mm]
Das ist eine Äquivalenzklasse gibt es noch andere?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Sa 04.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eine viel benutzte Aequivalenzklasse in [mm] \N [/mm] ist die der Zahlen, die durch p teilbar sind. aso fuer p=2 sind alle geraden Zahlen aequivalent, fuer p=7 alle durch 7 teilbaren Zahlen, also liegen (7,14,21,..) in derselben Aequivalenzklasse, ebenso alle Zahlen, die bei Division durch 7 den Rest 1 lassen, also (1,8,15,..) die den Rest 2 lassen, (2,9,16,...)
Du kannst etwa auch die Menge aller lebenden Menschen in Aequivalenzklassen einteilen: ne einfach ist weiblich und maennlich, eine andere waere Alter kleiner gleich 20 Jahre, usw. du suchst einfach eine gemeinsame Eigenschaft, die man eindeutig fesstellen kann (blond waere etwa nicht eindeutig festzulegen)
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Sa 04.09.2010 | | Autor: | Anfaenger7 |
super danke ;)
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Wenn du eine Menge von Objekten betrachtest, kannst du zwischen ihnen oft bestimmte Beziehungen feststellen. Z.B. kann ein Element größer als ein anderes sein (Körpergröße, Flächeninhalt, Umfang...), teurer oder gleichwertig usw. Diese Beziehung nennt man in der Mathematik Relation.
Von diesen Relationen gibt es nun verschiedene Sorten. Eine Ordnungsrelation hat z.B. die Eigenschaft, die man als lineares Hintereinanderreihen bezeichnen könnte, so als ob man die Dinge der Größe nach ordnet. Man verlangt dann, dass man von jedem Paar a und b sagen kann, dass [mm] a\le [/mm] b oder b [mm] \le [/mm] a ist. Außerdem muss gelten: Ist a [mm] \le [/mm] b und b [mm] \le [/mm] c, so ist a [mm] \le [/mm] c.
Für die Teilbarkeit gilt z.B. letzteres: Ist a Teiler von b und b Teiler von c, so ist auch a Teiler von c. Aber es ist weder 5 Teiler von 7 noch 7 Teiler von 5, so dass nicht auf jedes Paar diese Ordnungsrelation zutrifft.
Das Beispiel A hat Angst vor B, B hat Angst vor c und C hat Angst vor A zeigt, dass eine vermeintliche Ordnung auch zu einem Kreis führen kann und somit keine Ordnungsrelation ist.
Bei einer Äquivalenzrelation gilt nun einfach nur: Steht a in einer gewissen Beziehung zu b, so steht b in der selben Beziehung zu a (keiner kommt vor dem anderen, beide sind gleichwertig). Außerdem gilt auch hier: ist a äquivalent zu b und b äquivalent zu c, so ist auch a äquivalent zu c (meine Freunde sind auch deine Freunde). Ein Beispiel wäre: Alle Vektoren, die zueinander parallel sind. Sie bilden eine für sich abgeschlossene Äquivalenzklasse. Kein Vektor ist (bei dieser Eigenschaft) wertvoller, sinnvoller ... als ein anderer, alle sind untereinander gleichartig, wenn man einen kennt (Repräsentant), kennt man alle. So bilden alle Vektoren mit jeweils der selben Richtung eine Äquivalenzklasse, die sich von jeder anderen solchen Äquivalenzklasse (andere Richtung) abgrenzt. Der Durchschnitt solcher Klassen ist also leer.
Ein anderes Beispiel ist die Äquivalenzrelation: a [mm] \sim [/mm] b genau dann, wenn a die selben Primfaktoren hat wie b (nur in anderer Häufigkeit). demnach sind 50 und 40000 äquivalent 50 und 25 nicht (50 hat noch 2 als Primfaktor).
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