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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Do 04.11.2010 | | Autor: | vivi |
Hallo,
ich habe eine Aufgabe bearbeitet, bei der es darum geht, Mengen darauf zu prüfen, ob sie eine Ä-Relation definieren und die Ä-Klassen anschließend "geometrisch" zu beschreiben.
Bei der folgenden Aufgabe wurde ich stutzig:
A:= {((x1,x2), (y1,y2)) [mm] \in \IR^{2} [/mm] x [mm] \IR^{2} [/mm] : x1-y1 = x2 - y2}
Ich konnte nachweisen, dass es sich um eine Ä-Relation handelt, habe aber keine Idee, wie sie geometrisch aussehen soll. Bei anderen Ä-Relationen, die auf [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] definiert wurden, hatte ich keine Probleme, weil es in einer Art Ebene war, aber ist [mm] \IR^{2} [/mm] x [mm] \IR^{2} [/mm] nicht ein 4-dimensionaler Raum? Wie soll ich mir da etwas geometrisches vorstellen? Werden hier zwei Ebenen oder so kombiniert? Und auf welche Weise?
Vielen Dank für Eure Hilfe im Voraus,
Vivi :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Do 04.11.2010 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hallo,
>
> ich habe eine Aufgabe bearbeitet, bei der es darum geht,
> Mengen darauf zu prüfen, ob sie eine Ä-Relation
> definieren und die Ä-Klassen anschließend "geometrisch"
> zu beschreiben.
>
> Bei der folgenden Aufgabe wurde ich stutzig:
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> A:= {((x1,x2), (y1,y2)) [mm]\in \IR^{2}[/mm] x [mm]\IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x1-y1 = x2
> - y2}
>
> Ich konnte nachweisen, dass es sich um eine Ä-Relation
> handelt, habe aber keine Idee, wie sie geometrisch aussehen
> soll. Bei anderen Ä-Relationen, die auf [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm]
> definiert wurden, hatte ich keine Probleme, weil es in
> einer Art Ebene war, aber ist [mm]\IR^{2}[/mm] x [mm]\IR^{2}[/mm] nicht ein
> 4-dimensionaler Raum? Wie soll ich mir da etwas
> geometrisches vorstellen? Werden hier zwei Ebenen oder so
> kombiniert? Und auf welche Weise?
Hallo,
ich sehe das so:
zwischen einer Ebene (mit einem eigenen Koordinatensystem) und einer anderen Ebene (ebenfalls mit einem eigenen Koordinatensystem) besteht die Beziehung, dass gewisse Unterschiede in den Koordinaten jeweils gleich sind.
Wie wäre es mit zwei parallelen Ebenen, die (mitsamt ihrer Koordinatensysteme) durch eine Verschiebung im Raum aufeinander abgebildet werden können?
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe im Voraus,
> Vivi :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Fr 05.11.2010 | | Autor: | vivi |
Hallo Abakus,
erst einmal vielen Dank für deine schnelle Antwort :)
Zitat: "...zwischen einer Ebene (mit einem eigenen Koordinatensystem) und einer anderen Ebene (ebenfalls mit einem eigenen Koordinatensystem) besteht die Beziehung, dass gewisse Unterschiede in den Koordinaten jeweils gleich sind.
Wie wäre es mit zwei parallelen Ebenen, die (mitsamt ihrer Koordinatensysteme) durch eine Verschiebung im Raum aufeinander abgebildet werden können?"
Wieso muss man diese Ebenen aufeinander abbilden? Wenn ich die Formel umstelle, erhalte ich ja x1 - x2 = y1 - y2. Sind die Punkte (x1, x2) und (y1,y2) dann nicht ziemlich unabhängig voneinander? Sie liegen auf zwei verschiedenen Ebenen und das einzige was sie gemeinsam haben, ist dass die Differenz zwischen Ihrer x1 (bzw. y1) und x2 (bzw. y2) Koordinate gleich ist. Ich verstehe deswegen nicht, wie ich diese zwei Punkte jetzt miteinander geometrisch verbinden soll - könnte es sein, dass man deswegen beide Punkte "aufeinander legen" möchte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Fr 05.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
>
> erst einmal vielen Dank für deine schnelle Antwort :)
>
> Zitat: "...zwischen einer Ebene (mit einem eigenen
> Koordinatensystem) und einer anderen Ebene (ebenfalls mit
> einem eigenen Koordinatensystem) besteht die Beziehung,
> dass gewisse Unterschiede in den Koordinaten jeweils gleich
> sind.
> Wie wäre es mit zwei parallelen Ebenen, die (mitsamt
> ihrer Koordinatensysteme) durch eine Verschiebung im Raum
> aufeinander abgebildet werden können?"
>
> Wieso muss man diese Ebenen aufeinander abbilden? Wenn ich
> die Formel umstelle, erhalte ich ja x1 - x2 = y1 - y2. Sind
> die Punkte (x1, x2) und (y1,y2) dann nicht ziemlich
> unabhängig voneinander? Sie liegen auf zwei verschiedenen
> Ebenen und das einzige was sie gemeinsam haben, ist dass
> die Differenz zwischen Ihrer x1 (bzw. y1) und x2 (bzw. y2)
> Koordinate gleich ist. Ich verstehe deswegen nicht, wie ich
> diese zwei Punkte jetzt miteinander geometrisch verbinden
> soll - könnte es sein, dass man deswegen beide Punkte
> "aufeinander legen" möchte?
Hallo,
es geht um eine Relation zwischen zwei Ebenen. Nimm mal an, in der Ebene z=0 (also in der x-y-Ebene) liegt ein Blatt Papier. Sein Mittelpunkt liegt im Ursprung, die Kanten seien achsenparallel, und die [mm] x_1 [/mm] - und x-2-Achse sind auch auf das Blatt gezeichnet.
Ein zweites Blatt ist zum ersten völlig identisch, nur wird sein Koordinatensystem mit [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] bezeichet. Es liegt auch nicht in der Ebene z=0, sondern etwas höher in der Ebene z=7. Dieses zweite Blatt liegt nun nicht genau über dem ersten, sondern seitlich versetzt (z.B. 5 Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach vorn).
Damit wird natürlich auch das auf dem zweiten Blatt aufgezeichnete Koordinatensystem gegenüber dem ersten Koordinatensystem um 5 bzw. 2 Einheiten seitlich verschoben. Da ist überhaupt nichts "unabhängig voneinander". Jeder Punkt des Blattes 2 ist gegenüber dem entsprechenden Punkte des Blattes 1 um [mm] x_1-y_1 [/mm] Einheiten bzw. um [mm] x_2-y_2 [/mm] Einheiten seitlich verschoben.
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Hallo Abakus,
siehst du das jetzt nicht ein Stück weit komplizierter
als nötig ?
Gruß, Al
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> Hallo,
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> ich habe eine Aufgabe bearbeitet, bei der es darum geht,
> Mengen darauf zu prüfen, ob sie eine Ä-Relation
> definieren und die Ä-Klassen anschließend "geometrisch"
> zu beschreiben.
>
> Bei der folgenden Aufgabe wurde ich stutzig:
>
> $\ A:=\ [mm] \{((x1,x2), (y1,y2))\in \IR^{2} \times \IR^{2} :\quad x1-y1 = x2 - y2\}$
[/mm]
>
> Ich konnte nachweisen, dass es sich um eine Ä-Relation
> handelt, habe aber keine Idee, wie sie geometrisch aussehen
> soll. Bei anderen Ä-Relationen, die auf [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm]
> definiert wurden, hatte ich keine Probleme, weil es in
> einer Art Ebene war, aber ist [mm]\IR^{2}[/mm] x [mm]\IR^{2}[/mm] nicht ein
> 4-dimensionaler Raum? Wie soll ich mir da etwas
> geometrisches vorstellen? Werden hier zwei Ebenen oder so
> kombiniert? Und auf welche Weise?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe im Voraus,
> Vivi :)
Hallo Vivi,
hier musst du dich nicht wirklich mit einem 4-dimensionalen
Raum herumschlagen, sondern kommst durchaus mit Betrachtungen
in der 2-dimensionalen x-y-Ebene aus. Zwei Punkte [mm] P_1(x_1,x_2)
[/mm]
und [mm] P_2(x_2,y_2) [/mm] gelten als äquivalent, wenn [mm] x_1-y_1=x_2-y_2 [/mm] ist.
Mach dir zuerst geometrisch klar, was dies für die gegenseitige
Lage der Punkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] bedeutet.
Betrachte als Vorübung z.B. einmal die Menge [mm] M_0 [/mm] aller
Punkte P(x,y) der Ebene, für welche x-y=0 gilt oder die
Menge [mm] M_4 [/mm] aller Punkte, für welche x-y=4 gilt.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Fr 05.11.2010 | | Autor: | vivi |
Hallo,
danke für deine Antwort :D Ich habe anfangs ebenfalls versucht, es in ein x-y Koordinatensystem zu zeichnen, habe die Zeichnung aber schnell verworfen wegen dem [mm] \IR^{2}
[/mm]
Jedenfalls habe ich mir das gerade nochmals anschaulich gemacht: liege ich richtig, dass die Mengen M4 und M0 durch Geraden mit der Steigung 1 dargstellt werden können (da x-y = 4 äquivalent zu y=x-4)? Lediglich ihre Nullstellen sind versetzt (um 4). Ich habe versucht, dies auf die Aufgabe zu beziehen, habe aber eine Frage: Ist es erlaubt, die x1 mit der y1 und die x2 mit der y2 Achse zu kombinieren? Ich habe mir ein Koordinatensystem aufgemalt (und sie mit x2/y2 und x1/y1) beschriftet und einige Beispielpunkte eingetragen, heraus kam ebenfalls eine solche Gerade. Nur kann die Gerade verschoben sein, je nach Wahl der Punkte. Aber wenn ich einen Punkt P1(x1,x2) gewählt habe, dann muss P2(y1,y2) glaube ich auch auf dieser Geraden durch P1 liegen.
Sind meine Überlegungen so weit richtig oder habe ich irgendwo mal wieder Unsinn gedacht? :D
Grüße,
Vivi
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> Hallo,
>
> danke für deine Antwort :D Ich habe anfangs ebenfalls
> versucht, es in ein x-y Koordinatensystem zu zeichnen, habe
> die Zeichnung aber schnell verworfen wegen dem [mm]\IR^{2}[/mm]
>
> Jedenfalls habe ich mir das gerade nochmals anschaulich
> gemacht: liege ich richtig, dass die Mengen M4 und M0 durch
> Geraden mit der Steigung 1 dargstellt werden können (da
> x-y = 4 äquivalent zu y=x-4)?
Ja.
Jede Äquivalenzklasse entspricht geometrisch einfach
einer der unendlich vielen, zueinander parallelen
Geraden mit Steigung 1.
Zusammen füllt diese Parallelenschar die ganze Ebene
bzw. die Grundmenge [mm] \IR^2 [/mm] aus .
LG Al-Chw.
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