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| Aufgabe | X, Y nicht-leeren Mengen. $ f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y $ Abb.
Definiere $R= [mm] \{(x_{1},x_{2}) \in X \times X : f(x_{1})=f(x_{2})\}$
[/mm]
Bestimme alle Äquivalenzklassen, wenn f injektiv ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle miteinander,
ich habe ein Problem damit die Äquivalenzklassen zu bestimmen. (In einem vorherigen Schritt sollte gezeigt werden, dass R eine Äquivalenzrelation ist, das war kein Problem.)
Wenn f injektiv ist, dann wird jedes $y [mm] \in [/mm] Y$ höchstens einmal "getroffen". D.h. dann ja wiederum, dass zwei Elemente [mm] $x_{1}$ [/mm] und [mm] $x_{2}$ [/mm] nur äquivalent sind, wenn [mm] $x_{1}=x_{2}$.
[/mm]
Eine Äquivalenzklasse ist eine Klasse von Elementen, die äquivalent zueinander sind. x ist äquivalent zu x, y zu y, ... Wie "bastel" ich mir jetzt daraus eine Äquivalenzklasse? Oder habe ich schon einen groben Denkfehler in meinen Überlegungen?
Beste Grüße!
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> X, Y nicht-leeren Mengen. [mm]f: X \rightarrow Y[/mm] Abb.
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> Definiere [mm]R= \{(x_{1},x_{2}) \in X \times X : f(x_{1})=f(x_{2})\}[/mm]
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> Bestimme alle Äquivalenzklassen, wenn f injektiv ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo alle miteinander,
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> ich habe ein Problem damit die Äquivalenzklassen zu
> bestimmen. (In einem vorherigen Schritt sollte gezeigt
> werden, dass R eine Äquivalenzrelation ist, das war kein
> Problem.)
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> Wenn f injektiv ist, dann wird jedes [mm]y \in Y[/mm] höchstens
> einmal "getroffen". D.h. dann ja wiederum, dass zwei
> Elemente [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] nur äquivalent sind, wenn
> [mm]x_{1}=x_{2}[/mm].
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Genau. Das bedeutet, daß wir in R nur Paare der Bauart (x,x) mit [mm] x\in [/mm] X haben, daß also [mm] R=\{(x,x)| x\in X\}.
[/mm]
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> Eine Äquivalenzklasse ist eine Klasse von Elementen, die
> äquivalent zueinander sind. x ist äquivalent zu x, y zu
> y, ... Wie "bastel" ich mir jetzt daraus eine
> Äquivalenzklasse? Oder habe ich schon einen groben
> Denkfehler in meinen Überlegungen?
Eigentlich nicht.
Du mußt Dich nur trauen zuzulassen, daß jede Äquivalenzklasse nur ein Element enthält.
Die Menge der Äquivalenzklassen ist hier eine Menge, die aus lauter einelementigen Mengen besteht.
Ich kenne Eure Schreibweisen nicht.
In "meiner" wäre für alle [mm] x\in [/mm] X
[mm] [x]=\{x\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Beste Grüße!
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| Aufgabe | | Bestimme alle Äquivalenzklassen, wenn f konstant ist. |
Hallo Angela,
danke für deine Antwort. Beruhigt mich ja, dass ich keinen groben Denkfehler gemacht habe ;). Deine Schreibeweise ist die gleiche, die wir benutzen,.
Die Aufgabe hat noch einen zweiten Teil (s. oben).
Meine Lösung:
Wenn f konstant ist, gilt für alle $x [mm] \in [/mm] X$ dass $f(x)=c$.
Ist dann meine Äquivalenzklasse:
[mm] $[x]=\{x|f(x)=c\}$?
[/mm]
Viele Grüße!
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Hallo,
> Bestimme alle Äquivalenzklassen, wenn f konstant ist.
> Meine Lösung:
> Wenn f konstant ist, gilt für alle [mm]x \in X[/mm] dass [mm]f(x)=c[/mm].
>
> Ist dann meine Äquivalenzklasse:
> [mm][x]=\{x|f(x)=c\}[/mm]?
Es gibt nur eine einzige Äquivalenzklasse und diese beinhaltet, wie du richtig erkannt hast, den gesamten Definitionsbereich von f.
LG
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