Äquivalenzklassen skizzieren < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Ich soll für f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] die Äquivalenzklassen [(0,0)], [(1,1)], [(1,-2)], [(-1,2)] bezüglich der Äquivalenzrelation [mm] \sim_{f} [/mm] skizzieren. In den folgenden Fällen:
a) f((x,y)) = xy
b) f((x,y)) = [mm] \bruch{y}{x^{2}+1}
[/mm]
c) f((x,y)) = [mm] \bruch{y}{x^{2}} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0 und 0 für x=0 |
Ist das hier schonmal richtig (für die a)
Für [(0,0)]:
= {(x,0) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | x [mm] \in \IR} [/mm]
Dann wäre das ja die Realteilachse?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 So 16.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Ist das hier schonmal richtig (für die a)
>
> Für [(0,0)]:
>
> [mm]= \{(x,0) \in \IR^{2}\:|\: x \in \IR\}[/mm]
>
> Dann wäre das ja die Realteilachse?
Erstmal befinden wir uns im [mm] $\IR^2$, [/mm] da gibt es keinen Real- und Imaginärteil!
Außerdem stimmt die Aussage oben nicht, es fehlt die Hälfte. Du hast nur eine Teilmenge der Äquivalenzklasse angegeben.
Es ist doch $(a,b) [mm] \sim [/mm] (0,0) [mm] \gdw [/mm] ab = 0$. Was folgt damit?
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..bin mir jetzt nicht genau sicher, was du meinst.
Ich schreibs mal so hin wie in der Uni vorgemacht:
f((x,y)) := xy
[mm] [(0,0]_{~}
[/mm]
= [mm] f^{-1}({f(0,0)}), [/mm] wobei {f(0,0)} = 0
= {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | xy = 0}
= {(x,0) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | x [mm] \in \IR}
[/mm]
Nur damit du siehst wie ich das gesehn habe. Ist das denn falsch?
Jetzt zu deinem:
Es würde doch folgen, dass a oder b 0 sind. Und was sagt mir das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 So 16.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
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> Ich schreibs mal so hin wie in der Uni vorgemacht:
>
> f((x,y)) := xy
>
> [mm][(0,0]_{~}[/mm]
>
> = [mm]f^{-1}({f(0,0)}),[/mm] wobei {f(0,0)} = 0
>
> = [mm]{(x,y) \in \IR^{2} | xy = 0\}[/mm]
>
> = [mm]\{(x,0) \in \IR^{2} | x \in \IR\}[/mm]
>
> Nur damit du siehst wie ich das gesehn habe. Ist das denn
> falsch?
Ja, der letzte Schritt ist Quatsch, es muss nicht y=0 gelten, es kann genauso x=0 sein.
>
> Jetzt zu deinem:
>
> Es würde doch folgen, dass a oder b 0 sind. Und was sagt
> mir das?
>
Naja, dass alle $(0,y), y [mm] \in \IR$ [/mm] und alle $(x,0), x [mm] \in \IR$ [/mm] in der Äquivalenzklasse liegen.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:04 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
ACH SO. Also salopp formuliert die Koordiantenachsen?
Wie wäre es denn bei [(1,1)]
Da kann ich aber schreiben (?):
{(x,1/x) ...}
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> ACH SO. Also salopp formuliert die Koordiantenachsen?
>
Hallo,
ja. Und die malst Du dann ganz salopp bunt an, denn Du sollst ja skizzieren.
Übrigens rate ich Dir, von allzu saloppen Formulierungen Abstand zu nehmen, jedenfalls wenn es darum geht, Deinen Korrektoren und Chefs etwas mitzuteilen.
Diese bemühen sich nämlich, den Ersties das exakte Formulieren beizubringen, weswegen man bei ihnen mit Lässigkeit keinen Blumentopf gewinnen kann.
> Wie wäre es denn bei [(1,1)]
>
> Da kann ich aber schreiben (?):
>
> {(x,1/x) ...}
Du meinst es richtig. Schreiben könntest Du so:
[(1,1)] = [mm] \{ (x, 1/x)| x\in \IR \ \{0\} \}.
[/mm]
Das Skizzieren sollte kein Problem sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ja, natürlich hast du recht.
Ich meine mit "salopp" lediglich, dass ich HIER exakte Formulierungen weglasse, da mir manchmal auch nur ein Grundgedanke fehlt.
In den Übungen schreibe ich natürlich alles nochmal genau hin.
Aber hast schon recht.
Noch eine kurze Frage: Wie sieht das dann bei der c aus? Diese Funktion ist ja stückweise definiert. Muss ich das dann getrennt machen, also einmal für x [mm] \not= [/mm] 0 und dann für x=0?
EDIT: Ist das bei [(0,0)] bei der c dann nur der Nullpunkt. Hier ist x ja 0 und daher wird die Funktion auf den Wert 0 gesetzt (egal welches Argument). Stimmt das?
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> Noch eine kurze Frage: Wie sieht das dann bei der c aus?
> Diese Funktion ist ja stückweise definiert. Muss ich das
> dann getrennt machen, also einmal für x [mm]\not=[/mm] 0 und dann
> für x=0?
>
> EDIT: Ist das bei [(0,0)] bei der c dann nur der Nullpunkt.
> Hier ist x ja 0 und daher wird die Funktion auf den Wert 0
> gesetzt (egal welches Argument). Stimmt das?
Hallo,
schauen wir mal...
Du möchtest die Äquivalenzklasse [(0,0)] bzgl der Relation [mm] \sim_f [/mm] skizzieren für
> > > > > c) f((x,y)) = $ [mm] \bruch{y}{x^{2}} [/mm] $ für x $ [mm] \not= [/mm] $ 0 und 0 für x=0
In dieser Äquivalenzklasse sind all die Punkte (x,y), für welche f(x,y)=f(0,0)=0 ist.
Der Punkt (0,0) ist sicher drin in [(0,0)], aber ist das wirklich der einzige?
Es steht doch ausdrücklich da, daß der Funktionswert =0 ist, sobald x=0. Aber mir sind noch ein paar mehr Punkte bekannt mit x=0, als der eine, den Du nennst.
Und das ist noch längst nicht alles: für welche Paare (x,y) mit ist denn
[mm] \bruch{y}{x^{2}}=0? [/mm] Daläßt sich noch einiges finden...
Gruß v. Angela
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