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Äquivalenzrel. / Ordnungsrel.: Aufgabe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:13 Di 27.12.2011
Autor: WhiteKalia

Aufgabe
Sei $G = (N, T, P, S)$ eine kontextfreie Grammatik. Auf $N$ ist die Relation [mm] \sim [/mm] definiert vermöge
$X [mm] \sim [/mm] Y [mm] :\gdw [/mm] X [mm] \xrightarrow\* [/mm] Y [mm] \wedge [/mm] Y [mm] \xrightarrow\* [/mm] X$.

sowie auf [mm] $N/\sim$ [/mm] die Relation [mm] \rightsquigarrow [/mm] vermöge
$A [mm] \rightsquigarrow [/mm]  B [mm] :\gdw \exists [/mm] X [mm] \in [/mm] A, [mm] \exists [/mm] Y [mm] \in [/mm] B$ mit $(X,Y) [mm] \in [/mm] P$.

Zeigen Sie, dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation und [mm] \rightsquigarrow\* [/mm] eine Ordnungsrelation ist. [mm] (\rightsquigarrow\* [/mm] ist die reflexiv transitive Hülle von [mm] \rightsquigarrow [/mm] .)


Hallo,

hat jmd eine Idee, wie man an diese Aufgabe rangehen könnte? Ich habe so garkeinen Plan und ich muss auch zugeben, dass beweisen nicht gerade zu meinen Stärken zählt.^^

Danke schonmal und nachträglich noch Frohe Weihnachten. =)

glg
Kalia

        
Bezug
Äquivalenzrel. / Ordnungsrel.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Di 27.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Kalia,

nur eine Idee, um mal mit dem ersten Teil anzufangen:


> Sei [mm]G = (N, T, P, S)[/mm] eine kontextfreie Grammatik. Auf [mm]N[/mm] ist
> die Relation [mm]\sim[/mm] definiert vermöge
>  [mm]X \sim Y :\gdw X \xrightarrow\* Y \wedge Y \xrightarrow\* X[/mm].
>  
> sowie auf [mm]N/\sim[/mm] die Relation [mm]\rightsquigarrow[/mm] vermöge
>  [mm]A \rightsquigarrow B :\gdw \exists X \in A, \exists Y \in B[/mm]
> mit [mm](X,Y) \in P[/mm].
>  
> Zeigen Sie, dass [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation und
> [mm]\rightsquigarrow\*[/mm] eine Ordnungsrelation ist.
> [mm](\rightsquigarrow\*[/mm] ist die reflexiv transitive Hülle von
> [mm]\rightsquigarrow[/mm] .)
>  
> Hallo,
>  
> hat jmd eine Idee, wie man an diese Aufgabe rangehen
> könnte? Ich habe so garkeinen Plan und ich muss auch
> zugeben, dass beweisen nicht gerade zu meinen Stärken
> zählt.^^

Um den ersten Teil zu zeigen, musst du ja zeigen, dass [mm]\sim[/mm]

1) reflexiv

2) symmetrisch

3) transitiv

ist.

Mal zu 3):

Nimm dir Nichtterminale [mm]X,Y,Z[/mm] her mit [mm]X\sim Y[/mm] und [mm]Y\sim Z[/mm]

Dann ist nach Def. ([mm]X\overset{\star}{\rightarrow} Y[/mm] und [mm]Y\overset{\star}{\rightarrow} X[/mm]) und ([mm]Y\overset{\star}{\rightarrow} Z[/mm] und [mm]Z\overset{\star}{\rightarrow} Y[/mm])

Also [mm]X\overset{\star}{\rightarrow} Y \overset{\star}{\rightarrow} Z[/mm] und [mm]Z\overset{\star}{\rightarrow} Y \overset{\star}{\rightarrow} X[/mm]

Dh. [mm]X\overset{\star}{\rightarrow} Z[/mm] und [mm]Z\overset{\star}{\rightarrow} X[/mm]

Damit [mm]X\sim Z[/mm]

1) und 2) sollten nicht schwer sein


>  
> Danke schonmal und nachträglich noch Frohe Weihnachten.

Dir auch!

> =)
>  
> glg
>  Kalia

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrel. / Ordnungsrel.: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Mi 28.12.2011
Autor: WhiteKalia

Hallo und danke dir schonmal.^^

Wäre das für die Reflexivität und die Symmetrie jetzt so brauchbar?

reflexiv: $X [mm] \sim [/mm] X$
* wähle NTe $X$ und $Y$ mit $X [mm] \sim [/mm] X$ und $Y [mm] \sim [/mm] Y$
* es gilt : $X [mm] \xrightarrow\* [/mm] X$ und $Y [mm] \xrightarrow\* [/mm] Y$
[mm] \Rightarrow [/mm] jedes NT steht zu sich selbst in Relation
* dann gilt: $X [mm] \sim [/mm] Y$

symmetrische: $X [mm] \sim [/mm] Y$ [mm] \Rightarrow [/mm] $Y [mm] \sim [/mm] X$
* nach Def. bereits gegeben: $X [mm] \xrightarrow\* [/mm] Y$ [mm] \wedge [/mm] $Y [mm] \xrightarrow\* [/mm] X$
[mm] \Rightarrow [/mm] $X [mm] \sim [/mm] Y$ [mm] \Rightarrow [/mm] $Y [mm] \sim [/mm] X$
[mm] \Rightarrow [/mm] Symmetrie

Danke schonmal/nochmal.^^

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzrel. / Ordnungsrel.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Mi 28.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Hallo und danke dir schonmal.^^
>  
> Wäre das für die Reflexivität und die Symmetrie jetzt so
> brauchbar?
>  
> reflexiv: [mm]X \sim X[/mm]
>  * wähle NTe [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] mit [mm]X \sim X[/mm] und [mm]Y \sim Y[/mm]

Wozu brauchst du $Y$ ?

Nimm nur ein bel. [mm] $X\in [/mm] N$

>  
> * es gilt : [mm]X \xrightarrow\* X[/mm] [ok]

>und [mm]Y \xrightarrow\* Y[/mm]

>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] jedes NT steht zu sich selbst in Relation [ok]

>  * dann gilt: [mm]X \sim Y[/mm]

Du willst doch [mm] $X\sim [/mm] X$ haben ...

>  
> symmetrische: [mm]X \sim Y[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]  [mm]Y \sim X[/mm]
>  * nach Def.
> bereits gegeben: [mm]X \xrightarrow\* Y[/mm] [mm]\wedge[/mm]  [mm]Y \xrightarrow\* X[/mm] [ok]

Genau!

>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]  [mm]X \sim Y[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]  [mm]Y \sim X[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
> Symmetrie

Jo!

>  
> Danke schonmal/nochmal.^^

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Äquivalenzrel. / Ordnungsrel.: Rückfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:11 Do 29.12.2011
Autor: WhiteKalia

Hallo,

> Wozu brauchst du $Y$?

Das liegt daran, dass ich immer denke ich müsste alle NTs in dem Fall verwenden, ohne zu berücksichtigen, dass das X ja quasie nur als "Stellvertreter" für alle NTs steht.^^

Danke dir schonmal für diesen ersten Teil der Aufgabe. =)
War ja doch nicht so schwer, wie ich mal wieder dachte.^^

Wie kann ich denn jetzt an den Teil mit der Ordnungsrelation rangehen?

lg
Kalia

Bezug
                                        
Bezug
Äquivalenzrel. / Ordnungsrel.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Sa 31.12.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Äquivalenzrel. / Ordnungsrel.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Do 29.12.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Formale Sprachen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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