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Forum "Algebra" - Äquivalenzrelation
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Äquivalenzrelation: Korrektur Tipp
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:17 Do 09/04/2015
Author: riju

Aufgabe
Untersuchen Sie jeweils, ob R eine Äquivalenzrelation ist.
[mm] R := \{(x,y) \in \IZ \times \IZ : 5|x-y\}[/mm]

Ich würde sagen, dass die Symmetrie verletzt ist. Da wenn x=y ist, ist zwar [mm] (5,0) \in R [/mm], aber [mm] (0,5) \not\in R [/mm].

Oder sehe ich das falsch?

Vielen Dank für die Hilfe.
riju

        
Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:33 Do 09/04/2015
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Oder sehe ich das falsch?

ja, du behauptest $(0,5) [mm] \not\in [/mm] R$.

Es gilt aber [mm] $(0,5)\in [/mm] R$.

Es ist doch $0-5=-5$ und $5|(-5)$

Gruß,
Gono

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Äquivalenzrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:37 Do 09/04/2015
Author: riju

Ok, danke.

Aber was ist denn wenn x=y ist?
Dann wäre doch [mm]x-y=0[/mm] und [mm] 5|0 [/mm], aber 0 ist doch kein Teiler von 5, oder?

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Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:42 Do 09/04/2015
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Aber was ist denn wenn x=y ist?
>  Dann wäre doch [mm]x-y=0[/mm] und [mm]5|0 [/mm]

korrekt und damit ist [mm] $(x,y)\in [/mm] R$

> aber 0 ist doch kein Teiler von 5, oder?

das muss es doch auch gar nicht sein!
Schreiben wir alles mal formal auf:

$(x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \quad\gdw\quad [/mm] 5|(x-y)$

Nun soll auch $(y,x) [mm] \in [/mm] R$ gelten mit

$(y,x) [mm] \in [/mm] R [mm] \quad\gdw\quad [/mm] 5|(y-x)$

und eben nicht $(x-y)|5$

Es bleibt also immer nur dabei zu prüfen, ob 5 einen Ausdruck teilt und nicht ob irgendein Ausdruck auch die 5 teilt.
D.h. die Frage ist nicht "ist die "a|b"-Operation Symmetrisch" sondern "ist die Relation symmetrisch".
Und das ist sie.

Gruß,
Gono.

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Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:56 Fr 10/04/2015
Author: fred97


> Ok, danke.
>  
> Aber was ist denn wenn x=y ist?
>  Dann wäre doch [mm]x-y=0[/mm] und [mm]5|0 [/mm], aber 0 ist doch kein
> Teiler von 5, oder?

Natürlich nicht. Aber 5 ist ein Teiler von 0.

Mach Dir klar, was a|b bedeutet !

FRED


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Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:44 Do 09/04/2015
Author: Marcel

Hallo,

> Untersuchen Sie jeweils, ob R eine Äquivalenzrelation
> ist.
>  [mm]R := \{(x,y) \in \IZ \times \IZ : 5|x-y\}[/mm]
>  Ich würde
> sagen, dass die Symmetrie verletzt ist. Da wenn x=y ist,
> ist zwar [mm](5,0) \in R [/mm], aber [mm](0,5) \not\in R [/mm].
>  
> Oder sehe ich das falsch?

Du bringst was durcheinander: Das, was "symmetrisch" zu

    $(x,y) [mm] \in [/mm] R$ [mm] $\iff$ $5\mid [/mm] (x-y)$

ist, sieht doch so aus:

    $(y,x) [mm] \in [/mm] R$ [mm] $\iff$ [/mm] $5 [mm] \mid (y-x)\,.$ [/mm]

Es ist nicht die Frage, ob aus

    [mm] $5\mid [/mm] (x-y)$

auch

    [mm] $(x-y)\mid [/mm] 5$

folgt, sondern es ist die Frage, ob gilt:

    [mm] $\underbrace{5 \mid (x-y)}_{\iff (x,y) \in R}$ [/mm]

    [mm] $\red{\Longrightarrow}$ $\underbrace{5 \mid (y-x)}_{\iff (y,x) \in R}$ [/mm]

(Also ob der rote Folgerungspfeil geschrieben werden darf!)

Gruß,
  Marcel

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Äquivalenzrelation: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 18:51 Do 09/04/2015
Author: Marcel

Hallo,

> Untersuchen Sie jeweils, ob R eine Äquivalenzrelation
> ist.
>  [mm]R := \{(x,y) \in \IZ \times \IZ : 5|x-y\}[/mm]

manchmal kann es auch helfen, sich erstmal wenigstens ein paar Elemente
von R hinzuschreiben; es ist bspw. (begründe es selbst!)

-    $(0,5) [mm] \in [/mm] R$
-    $(1,6) [mm] \in [/mm] R$
-    $(6,1) [mm] \in [/mm] R$
-    $(12,2) [mm] \in [/mm] R$
-    $(495,55) [mm] \in [/mm] R$
-    $(-12,-17) [mm] \in [/mm] R$
-    $(-104,-129) [mm] \in [/mm] R$

Aber bspw. gilt auch

-    $(-1,7) [mm] \notin [/mm] R$
-    $(11,-132) [mm] \notin [/mm] R$

Was *bzgl. theoretischer Überlegungen* hilfreich sein kann:

    $5 [mm] \mid [/mm] (x-y)$ [mm] $\iff$ $\exists$ [/mm] $k [mm] \in \IZ$: [/mm] $x-y=k*5$ (bzw. $x=y+k*5$)

Gruß,
  Marcel

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Äquivalenzrelation: Missverständnis?
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:53 Do 09/04/2015
Author: HJKweseleit

c
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