Äquivalenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Habe folgende Aufgabe zu lösen (also besser gesagt: Habe die Lösung schon gesehen, aber ich möchte den Ansatz verstehen).
Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf X. Für x [mm] \in [/mm] X heißt [mm] \overline{x}:= [/mm] {y [mm] \in [/mm] Y | x ~ y } die von x erzeugte Äquivalenzklasse.
Zeige: Für x,y [mm] \in [/mm] X sind folg. Aussagen äquivalent:
i) x ~ y
ii) [mm] \overline{x} [/mm] ~ [mm] \overline{y}
[/mm]
iii) [mm] \overline{x}\cap\overline{y} \not=\emptyset
[/mm]
Frage 1: Was bedeutet: [mm] \overline{x}:= [/mm] { y [mm] \in [/mm] Y | x ~ y } ?
Frage 2: Wie geht man so eine Aufgabe an?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Di 09.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Habe folgende Aufgabe zu lösen (also besser gesagt: Habe
> die Lösung schon gesehen, aber ich möchte den Ansatz
> verstehen).
>
> Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf X. Für x [mm]\in[/mm] X heißt
> [mm]\overline{x}:=\{y \in Y | x \sim y \}[/mm] die von x erzeugte
> Äquivalenzklasse.
> Zeige: Für x,y [mm]\in[/mm] X sind folg. Aussagen äquivalent:
>
> i) x ~ y
> ii) [mm]\overline{x}\sim \overline{y}
[/mm]
> iii) [mm]\overline{x}\cap\overline{y} \not=\emptyset
[/mm]
>
> Frage 1: Was bedeutet: [mm]\overline{x}:=\{ y \in Y | x \sim y \}[/mm]
> ?
> Frage 2: Wie geht man so eine Aufgabe an?
>
Zu Frage 1:
[mm]\overline{x}:= \{ y \in Y | x \sim y \} [/mm] bedeutet schlicht, dass das die Menge aller y aus Y ist, die mit x in der gegebenen Relation stehen. Das ist also nicht ein Element, sondern eine ganze Menge von Elementen.
Ein kleiner Hinweis für die Beweise: Weil ~ eine Äquivalenzrelation ist, gilt natürlich auch die Symmetrie, also wenn x~y, dann auch y~x.
Dann folgt für deine Äquivalenzklasse:
[mm]\overline{x}:= \{ y \in Y | x \sim y \} [/mm] und
[mm]\overline{y}:= \{ x \in X | y \sim x \} [/mm].
Und das ist wegen der Symmetrie gleich, weil jedes Element aus [mm]\overline{x}[/mm] auch Element aus [mm]\overline{y} ist[/mm] (hier spielt auch die Transitivität der Äquivalenzrelation eine Rolle).
Zu Frage 2:
Ich würde bei soetwas mit einem Ringschluss arbeiten. Das heißt ich zeige:
aus i) folgt ii)
aus ii) folgt iii)
aus iii) folgt i).
Ich hoffe du weist wie man das macht. Du musst dabei so vorgehen, dass du alles das, aus dem gefolgert wird als gegeben angenommen wird. Dann musst du das umformen und auf die Folgerung schließen.
Ich hoffe das hilft dir erstmal,
Gruß Micha 
|
|
|
|
