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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Äquivalenzrelation
Äquivalenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Äquivalenzrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Di 22.05.2007
Autor: kobo

Aufgabe
In [mm] \IN [/mm] sei die Relation ~ gegeben durch a~b [mm] \gdw \exists [/mm] c [mm] \in \IZ: a=2^{c} [/mm] * b.

Zeigen sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist und bestimmen sie sodann jeweils die Äquivalenzklassen von 1,4,7 und 36.

So logischerweiße muss ich da dann Reflexivität, Symetrie und Tranisitivität bestimmen, richtig?


Für Reflexivität war ich soweit, dass ich wohl für c = 0 setzen muss, oder?

Für Symetrie. Weiß ich leider nicht wie ich da anfangen soll, gleiches gilt für Transitivität....


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Äquivalenzrelation: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Di 22.05.2007
Autor: kornfeld

Hallo KOBO

Die Reflexivitaet ist richtig. Symmetrie: Beachte dass [mm] $c\in\IZ$ [/mm] erlaubt sind, dass heisst, dass auch negative Potenzen zulaessig sind. Transitivitaet: was passiert bei [mm] $2^{c_1}2^{c_2}$? [/mm]

Viel Erfolg

Kornfeld

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Äquivalenzrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Di 22.05.2007
Autor: kobo

Danke erstmal für die Tipps :)

Meinst du bei der Symetrie für c = -1 setzen?

Dann würde da ja aber stehen [mm] a/2^{-1} [/mm] = b also 2*a=b. Aber das drückt doch keine Symetrie aus, oder?

Oder kann ich für c einfach -1*c einsetzen? (Ich denke ja mal nicht.)


Zur Tranisitivität...

also (a,b)~(b,d)

und somit [mm] (a=2^{c_{1}}*b) \wedge (b=2^{c_{1}}*d) [/mm]

Wie rechne ich dort dann weiter?






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Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Di 22.05.2007
Autor: schachuzipus

Hallo kobo,

also zur Symmetrie:

Mit a~b gilt [mm] $\exists c\in\IZ: a=2^c\cdot{}b$ [/mm]

Womit müsste man das denn dann multiplizieren, damit wieder b rauskommt?

Mit [mm] 2^{-c}, [/mm] denn aus [mm] $a=2^c\cdot{}b$ [/mm] folgt [mm] $2^{-c}\cdot{}a=2^{-c}\cdot{}2^c\cdot{}b=b$, [/mm] also b~a

zur Transitivität:

Das haste falsch aufgeschrieben, meinst aber glaube ich das richtige ;-)

Seien also a~b und b~c. Das ist die Vor. Zu zeigen ist dann a~c

Dann haste das richtig erkannt, dass sich a und b schreiben lassen als [mm] $a=2^{c_1}\cdot{}b$ [/mm] und [mm] $b=2^{c_2}\cdot{}c$ [/mm]


Drücke doch mal $b$ im ersten Ausdruck durch den zweiten aus ....


LG

schachuzipus

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Äquivalenzrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Di 22.05.2007
Autor: kobo

Ja, habe das gemeint, wollte nur nicht c nehmen, da das schon verwendet wird...


also man hat dann:
[mm] a=2^{c_{1}}*2^{c_{2}}*c [/mm]
[mm] a=2^{(c_{1}+c_{2})}*c [/mm]

Richtig so? Und wie behandelt man dann [mm] c_{1}+c_{2} [/mm] ? Wird das einfach als c gesetzt?



Ok, das wäre ja dann mal gelöst... bedanke ich mich für die Hilfe. Nur wie sieht es mit den Äquivalenzklassen 1, 4, 7 und 36 aus? Versteh nicht so ganz was damit gemeint ist.


Gruß


Bezug
                                        
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Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Mi 23.05.2007
Autor: kornfeld

Hallo!
Das bedeutet, dass du die Klassen charakterisieren sollst, di 1, 4, 7 und 36 als Repraesentanten haben. Ich gib dir mal die KLassen von 2 und 3 an, damit du weisst, was ich meine

[mm] [2]=2^{\IZ} [/mm] 2= [mm] 2^{\IZ + 1}=2^{\IZ}*1=[1] [/mm]
[mm] [3]=2^{\IZ} [/mm] 3 [mm] =\{3,6,12,...,3/2,3/4,3/8\} [/mm]

Kornfeld  


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Bezug
Äquivalenzrelation: Dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:12 Do 24.05.2007
Autor: kobo

Ah okay, so versteh ich das schon viel besser...ist ja viel einfacher als ich mir das dachte!

Danke für die anschaulichen Beispiele, hat mir sehr weitergeholfen.


Gruß

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