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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Niktez |
Hallo, ich soll angeben, ob das eine Äquivalenzrelation ist, und gegebenenfalls die Äquivalenzklasssen bestimmen:
xRy <=> x+2y ist durch 3 teilbar.
ich schaffe es irgendwie nicht, die Symmetrie und Transitivität zu zeigen. Finde aber auch kein Beispiuel zum widerlegen.
Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo, ich soll angeben, ob das eine Äquivalenzrelation
> ist, und gegebenenfalls die Äquivalenzklasssen bestimmen:
>
> xRy <=> x+2y ist durch 3 teilbar.
>
> ich schaffe es irgendwie nicht, die Symmetrie
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es gelte xRy.
Das bedeutet, daß es eine ganze Zahl z gibt mit x+2y=3z.
Nun schauen wir y+2x an.
Es ist y+2x= y + 2(2z - 2y)= ...
Nun überlege Dir, warum das durch 3 teilbar ist.
Gruß v. Angela
und
> Transitivität zu zeigen. Finde aber auch kein Beispiuel zum
> widerlegen.
> Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Niktez |
ok ich glaube, die symmetrie kann man nach dem ansatz von dir so lösen:
y+2x=y+2(3z-2y)=y+6z-4y=6z-3y
und 6z-3y ist durch 3 teilbar, weil beide Summanden durch 3 teilbar sind.
Ist das so richtig?
Aber wie löst man die Transitivität?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Niktez |
ich glaube, die transitivität auch gelöst zu haben:
Sei xRy und yRz => x+2y=3q und y+2z=3p (wir formen beide formeln nach x und z um)
und setzen nun hier ein:
x+2z = 3q-2y + 3p - y= 3(q-y+p) das ist durch 3 teilbar.
Nur was sind die äquivalenzklassen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich glaube, die transitivität auch gelöst zu haben:
>
> Sei xRy und yRz => x+2y=3q und y+2z=3p
Da sollte sicher noch sowas wie $p,q [mm] \in \IZ$ [/mm] (oder [mm] $\IN$ [/mm] oder ähnliches) dabeistehen. Benutze genau Eure Definition, wann man sagt, dass eine Zahl durch eine andere teilbar sei.
> (wir formen beide
> formeln nach x und z um)
>
> und setzen nun hier ein:
>
> x+2z = 3q-2y + 3p - y= 3(q-y+p) das ist durch 3 teilbar.
Weil $(q-y+p) [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
> Nur was sind die äquivalenzklassen?
Nun, bei gegebener Grundmenge $X$ und wenn $R$ eine Äquivalenzrelation auf $X$ ist, so bezeichnet man für $x [mm] \in [/mm] X$ mit
[mm] $$[x]=\{y \in X:\;xRy\}$$
[/mm]
die zu $x$ gehörige Äquivalenzklasse.
Ich nehme mal an, dass oben [mm] $X=\IZ$ [/mm] sei. Dann wäre
[mm] $$[1]=\{y \in \IZ:\;1Ry\}=\{y \in \IZ:\;1+2y\text{ ist durch }3 \text{ teilbar}\}\,.$$
[/mm]
Ich behaupte mal, dass man sich überlegen kann:
[mm] $$[1]=\{1+3k:\;k \in \IZ\}=\{m \in \IZ:\;m-1 \text{ ist durch }3 \text{ teilbar}\}\,.$$
[/mm]
(Natürlich, sofern [mm] $X=\IZ\,.$)
[/mm]
Dann solltest Du Dir noch überlegen, wie hier $[2], [3]$ aussieht und (sofern ich mich nicht vertue) wärst Du dann auch schon fertig. Du soltest dann nur noch kurz begründen, warum 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Niktez |
Danke euch beiden sehr, das hat mir sehr geholfen. Dank euch habe ich die Aufgabe gelöst.
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> ok ich glaube, die symmetrie kann man nach dem ansatz von
> dir so lösen:
>
> y+2x=y+2(3z-2y)=y+6z-4y=6z-3y
>
>
> und 6z-3y ist durch 3 teilbar, weil beide Summanden durch 3
> teilbar sind.
>
> Ist das so richtig?
Hallo,
ja, das ist richtig so.
Gruß v. Angela
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