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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Di 03.02.2009 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | In M sei eine Äquivalenzrelation ∼ gegeben und M/ [mm] \sim [/mm] bezeichne die Menge aller
Äquivalenzklassen [x] fur [mm] x\inM. [/mm] Zeigen Sie:
i) Fur je zwei [x],[y] gilt entweder [x] = [y] oder [x] [mm] \cap [/mm] [y] = [mm] \emptyset [/mm] (immer als Teilmenge von M betrachtet).
Diese Aussage kann man also auch so lesen: Die Menge der Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation liefert eine Zerlegung von M (d.h. ein System paarweiser disjunkter Teilmengen von M, deren Vereinigung gerade M ergibt).
ii) Jetzt soll die Umkehrung gezeigt werden: wenn man eine Zerlegung von M (im obigen Sinne) hat, wie kann man dann eine Äquivalenzrelation definieren, so dass die Äquivalenzklassen gerade die Zerlegung liefern? |
Na ja, i) habe ich gemacht (Annahme [mm] t\in[x] [/mm] und [mm] t\in[y], [/mm] daraus ganz einfach folgt, dass x [mm] \sim [/mm] y und daraus folgt, dass [x] = [y]).
Ich habe aber keine Achnung, wie ich mit ii) anfangen soll...
Vieleicht kleiner Hinweis wird mir helfen?:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> In M sei eine Aquivalenzrelation ∼ gegeben und M/
> ∼ bezeichne die Menge aller
> ¨ Aquivalenzklassen [x] fur x ∈ M. Zeigen Sie:
> i) Fur je zwei [x],[y] gilt entweder [x] = [y] oder [x]
> ∩ [y] = ∅ (immer als Teilmenge von M
> betrachtet).
> Diese Aussage kann man also auch so lesen: Die Menge der
> Aquivalenzklassen einer Aquivalenzrelation liefert eine
> Zerlegung von M (d.h. ein System paarweiser disjunkter
> Teilmengen von M, deren Vereinigung gerade M ergibt).
> ii) Jetzt soll die Umkehrung gezeigt werden: wenn man eine
> Zerlegung von M (im obigen Sinne) hat, wie kann man dann
> eine Aquivalenzrelation definieren, so dass die
> Aquivalenzklassen gerade die Zerlegung liefern?
> Na ja, i) habe ich gemacht (Annahme t∈[x] und
> t∈[y], daraus ganz einfach folgt, dass x∼y und
> daraus folgt, dass [x] = [y]).
> Ich habe aber keine Achnung, wie ich mit ii) anfangen
> soll...
> Vieleicht kleiner Hinweis wird mir helfen?:)
Hallo,
in ii) hast Du also eine Menge P von Teilmengen [mm] P_i [/mm] von M, also [mm] P:=\{P_i\subseteq M |i\in I\} [/mm] welche vereinigt M ergeben und paarweise disjunkt sind.
Definiere nun Deine Äquivalenzrelation so:
[mm] x\sim [/mm] y <==> es gibt ein [mm] P_i \in [/mm] P so, daß [mm] x,y\in P_i.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Di 03.02.2009 | | Autor: | waruna |
> Hallo,
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> in ii) hast Du also eine Menge P von Teilmengen [mm]P_i[/mm] von M,
> also [mm]P:=\{P_i\subseteq M |i\in I\}[/mm] welche vereinigt M
> ergeben und paarweise disjunkt sind.
>
> Definiere nun Deine Äquivalenzrelation so:
>
> [mm]x\sim[/mm] y <==> es gibt ein [mm]P_i \in[/mm] P so, daß [mm]x,y\in P_i.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
>
Also ist P eigentlich gleich M, oder?
Vielen Dank fuer schnelle Antwort,
Nina
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> > Hallo,
> >
> > in ii) hast Du also eine Menge P von Teilmengen [mm]P_i[/mm] von M,
> > also [mm]P:=\{P_i\subseteq M |i\in I\}[/mm] welche vereinigt M
> > ergeben und paarweise disjunkt sind.
> >
> > Definiere nun Deine Äquivalenzrelation so:
> >
> > [mm]x\sim[/mm] y <==> es gibt ein [mm]P_i \in[/mm] P so, daß [mm]x,y\in P_i.[/mm]
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> > Gruß v. Angela
> >
> >
>
> Also ist P eigentlich gleich M, oder?
Hallo,
vielleicht meinst Du es richtig, es ist jedoch P nicht =M.
P ist eine Menge, welche als Elemente Teilmengen (!) von M enthält.
Wenn man nun alle Teilemengen vereinigt, kommt M heraus, und aufgrund der Tatsache, daß die Teilmengen paarweise disjunkt sind, liegt jedes Element von M in genau einer der Teilmengen.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank fuer schnelle Antwort,
> Nina
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