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| Aufgabe | Für [mm] x,y\in\IR^2 [/mm] sei x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw x_1y_2 [/mm] = [mm] x_2y_1
[/mm]
(a) Warum ist [mm] \sim [/mm] keine Äquivalenzrelation auf [mm] \IR^2 [/mm] ?
(b) Zeigen Sie, dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IR^2 [/mm] \ {0} ist. Geben Sie die Äquivalenzklassen an. |
Hallo! 
Ich benötige dringend Starthilfe bei dieser Aufgabe.
Die Defintion aus der Vorlesung:
"Eine Relation [mm] \sim [/mm] auf X heißt Äquivalenzrelation, wenn für alle x,y,z [mm] \in [/mm] X gilt:
(Ä1) x [mm] \sim [/mm] y (Reflexivität)
(Ä2) x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] y [mm] \sim [/mm] x (Symmetrie)
(Ä3) x [mm] \sim [/mm] y [mm] \wedge [/mm] y [mm] \sim [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] z (Transitivität)"
bringt mich nicht weiter.
Sorry, wenn ich ohne einen besseren Ansatz eine Diskussion starte, aber das mache ich bestimmt nicht aus Faulheit, sondern weil ich einfach nicht weiter weiß...
Vielen Dank für Eure Mühe und Euer Verständnis.
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco!
> Für [mm]x,y\in\IR^2[/mm] sei x [mm]\sim[/mm] y [mm]:\gdw x_1y_2[/mm] = [mm]x_2y_1[/mm]
>
> (a) Warum ist [mm]\sim[/mm] keine Äquivalenzrelation auf [mm]\IR^2[/mm] ?
> (b) Zeigen Sie, dass [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation auf
> [mm]\IR^2[/mm] \ {0} ist. Geben Sie die Äquivalenzklassen an.
> Hallo!
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> Ich benötige dringend Starthilfe bei dieser Aufgabe.
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> Die Defintion aus der Vorlesung:
> "Eine Relation [mm]\sim[/mm] auf X heißt Äquivalenzrelation, wenn
> für alle x,y,z [mm]\in[/mm] X gilt:
>
> (Ä1) x [mm]\sim[/mm] y (Reflexivität)
> (Ä2) x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] y [mm]\sim[/mm] x (Symmetrie)
> (Ä3) x [mm]\sim[/mm] y [mm]\wedge[/mm] y [mm]\sim[/mm] z [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\sim[/mm] z
> (Transitivität)"
>
> bringt mich nicht weiter.
> Sorry, wenn ich ohne einen besseren Ansatz eine Diskussion
> starte, aber das mache ich bestimmt nicht aus Faulheit,
> sondern weil ich einfach nicht weiter weiß...
Eine Äquivalenzrelation ist einfach eine besondere Art von Relation, wo man nicht nur schreibt: Hier, x und y stehen in Beziehung wenn [mm] $x_1y_2 [/mm] = [mm] x_2y_1$ [/mm] gilt, sondern sie hat noch zusätzliche Eigenschaften, die du oben aufgelistet hast.
Deine erste Aufgabe, a), lautet du sollst begründen warum es sich nicht um eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IR^{2} [/mm] handelt.
Bei b) wird geschrieben, dass es eine ist, wenn die x und y aus [mm] $\IR^{2}\textbackslash \{(0,0)\}$ [/mm] kommen.
Also muss es offenbar zu Problemen kommen, wenn man mit (0,0) bei dieser Relation rumspielt!
Du musst nun einen Widerspruch herbeiführen, d.h. zeigen, dass wenigstens eine der drei Bedingungen für eine Äquivalenzrelation nicht erfüllt ist.
Mein Tipp: Nimm dir die Transitivität vor, und wähle y = (0,0), und x und z beliebig
Bei b) musst du nun nachweisen, dass es sich dann um eine Äquivalenzrelation handelt, d.h. dass die Eigenschaften für beliebige Elemente aus [mm] $\IR^{2}\textbackslash \{(0,0)\}$ [/mm] erfüllt werden.
Grüße,
Stefan
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Vielen Dank, Stefan.
Ich gehe dann wie folgt vor:
Bezüglich der Teilaufgabe (a):
Beweis durch Prüfen auf Transitivät.
Bedingung für Transitivität:
x [mm] \sim [/mm] y und y [mm] \sim [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] z
Setze für y = 0 , für x = 2 , für z = 3
2 [mm] \sim [/mm] 0 und 0 [mm] \sim [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 [mm] \sim [/mm] 3
Ich habe das Gefühl, dass das nicht wirklich mathematisch korrekt ist, was ich schreibe...?
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> Ich gehe dann wie folgt vor:
> Bezüglich der Teilaufgabe (a):
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> Beweis durch Prüfen auf Transitivät.
> Bedingung für Transitivität:
> x [mm]\sim[/mm] y und y [mm]\sim[/mm] z [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\sim[/mm] z
>
> Setze für y = 0 , für x = 2 , für z = 3
> 2 [mm]\sim[/mm] 0 und 0 [mm]\sim[/mm] 3 [mm]\Rightarrow[/mm] 2 [mm]\sim[/mm] 3
>
> Ich habe das Gefühl, dass das nicht wirklich mathematisch
> korrekt ist, was ich schreibe...?
>
Deine Idee ist richtig, nur du bist im [mm] \IR^2. [/mm] Dies bedeutet, dass deine Punkte x, y, z auch [mm] \in \IR^2 [/mm] sein müssen. Zum Mathematischen kann ich dir nur sagen, wie ich es machen würde.
Es gilt x [mm]\sim[/mm] y und y [mm]\sim[/mm] z . Aber x [mm]\sim[/mm] z gilt nicht, was ein Widerspruch zur Transitivität ist.
Grüße Dom
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Danke für den Hinweis.
Beweis durch Prüfen auf Transitivät.
Bedingung für Transitivität:
[mm] x_1x_2 \sim y_1y_2 [/mm] und [mm] y_1y_2 \sim z_1z_2 \Rightarrow x_1x_2 \sim z_1z_2
[/mm]
Setze für [mm] y_1y_2 [/mm] = (0,0) , für [mm] x_1x_2 [/mm] = (2,2) , für [mm] z_1z_2 [/mm] = (3,3)
(2,2) [mm] \sim [/mm] (0,0) und (0,0) [mm] \sim [/mm] (3,3) [mm] \Rightarrow [/mm] (2,2) [mm] \sim [/mm] (3,3)
Ist das soweit richtig...?
Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich weiter vorgehen muss...
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> Danke für den Hinweis.
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> Beweis durch Prüfen auf Transitivät.
> Bedingung für Transitivität:
> [mm]x_1x_2 \sim y_1y_2[/mm] und [mm]y_1y_2 \sim z_1z_2 \Rightarrow x_1x_2 \sim z_1z_2[/mm]
>
> Setze für [mm]y_1y_2[/mm] = (0,0) , für [mm]x_1x_2[/mm] = (2,2) , für
> [mm]z_1z_2[/mm] = (3,3)
> (2,2) [mm]\sim[/mm] (0,0) und (0,0) [mm]\sim[/mm] (3,3) [mm]\Rightarrow[/mm] (2,2)
> [mm]\sim[/mm] (3,3)
>
> Ist das soweit richtig...?
> Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich weiter vorgehen
> muss...
Gut zu erst musst du nun überprüfen ob (2,2) [mm]\sim[/mm] (0,0) und (0,0) [mm]\sim[/mm] (3,3) wirklich stimmen. Dazu schaust du dir die Relation an, wie sie in der Aufgabenstellung beschrieben ist.
Also: [mm] x_1 \* y_2 [/mm] = 2 [mm] \* [/mm] 0 = 0 =2 [mm] \* [/mm] 0 = [mm] x_2 \* y_1. [/mm] Die andere Relation folgt analog. Dann müsste ja nach Transitivität folgen (2,2) [mm]\sim[/mm] (3,3). In diesem Fall stimmt dies, da (3,3) nicht das beste Gegenbeispiel dafür ist. Also musst du nun für (3,3) ein anderes Paar finden, sodass die Relation nicht gilt. Damit hättest du dann gezeigt, dass es keine Relation auf [mm] \IR^2 [/mm] ist.
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> Die andere Relation folgt analog.
Danke soweit Dominik,
das einzige was ich nicht verstehe ist, wie ich dann das (3,3) anhand der Relation aus der Aufgabenstellung berechne, da das ja [mm] z_1z_2 [/mm] ist, was ja in der Angabe nicht vorkommt.
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> > Die andere Relation folgt analog.
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> Danke soweit Dominik,
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> das einzige was ich nicht verstehe ist, wie ich dann das
> (3,3) anhand der Relation aus der Aufgabenstellung
> berechne, da das ja [mm]z_1z_2[/mm] ist, was ja in der Angabe nicht
> vorkommt.
Ok, ich glaube dir ist der Begriff Relation noch nicht so klar. Als Beispiel hierfür eine nicht mathematische Relation.
Unsere Relation soll Verwandtschaft sein. Nun will ich dir kurz alle drei Axiome erklären.
(1) x [mm] \sim [/mm] x (Reflixiv) Dies ist in deinem ersten Beitrag zudem auch falsch. Also ist eine Person zu sich selbst verwand? Antwort ja.
(2) x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] y [mm] \sim [/mm] x (Symmetrie) Auf unser Beispiel bezogen bedeutet dies. Ist Person A mit Person B verwandt, so ist auch Person B mit Person A verwandt. Dies dürfte auch noch klar sein.
(3) x [mm] \sim [/mm] y und y [mm] \sim [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] z (Trans.) Also wenn die Person A mit der Person B verwandt ist und die Person B mit der Person C verwandt sind so folgt, dass auch Person A mit Person C verwandt sind.
Bei deiner Aufgabe hast du nun einen dritten Punkt z. Also (3,3) = [mm] (z_1,z_2). [/mm] Also musst du zeigen:
[mm] x_1 \* z_2 [/mm] = [mm] x_2 \* z_1 [/mm]
Es ist egal ob du [mm] x_1, y_1 [/mm] oder [mm] z_1 [/mm] hast. Es kommt nur darauf an, wenn du zwei Punkte hast und dann die Äquivalenz zeigen sollst, dass du dann den ersten Wert vom ersten Punt mit dem zweiten Wert des zweiten Punktes multiplizieren und umgekehrt auch. Bei beiden Produkten soll das gleiche herauskommen.
Ich hoffe, dass es nun etwas einleuchtender geworden ist
Gruß Dom
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