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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:49 Mo 20.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Wir de finieren die folgende Relation [mm] \equiv [/mm] auf [mm] \IN[/mm]:
Für alle [mm]a, b \in \IN[/mm] gilt:
[mm] a \equiv b [/mm] [mm]\gdw [/mm] es gibt [mm]k, l \in \IN [/mm], sodass [mm]a^2 +5*k = b^2 +5*l[/mm].
Zeigen Sie, dass [mm] \equiv [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IN[/mm] ist und bestimmen Sie die Anzahl der Äquivalenzklassen. |
[mm]a \equiv a[/mm] :[mm]a^2 +5*k = a^2 +5*l[/mm] also k=l
also reflexiv
[mm]a \equiv b[/mm] : [mm]a^2 +5*k = b^2 +5*l[/mm]
[mm]\Rightarrow a^2=b^2+5*l-5*k[/mm]
[mm]b \equiv a[/mm] : [mm]b^2 +5*k = a^2 +5*l[/mm]
also: [mm]b^2 +5*k =b^2+5*l-5*k +5*l[/mm]
[mm]\gdw k=l [/mm]
also auch symmetrisch
[mm]a^2 +5*k = b^2 +5*l[/mm] und [mm]b^2 +5*k = c^2 +5*l[/mm]
[mm]\Rightarrow a^2 +5*k-5l+5k=c^2 +5*l[/mm]
[mm]a^2 +5*(2k)=c^2 +5*(2l)[/mm]
also auch transitiv.
aber bei der Bestimmung der Anzahl der Äquivalenzklassen hab ich keine Ahnung wie man das macht und was das in dem konkreten Fall sein soll. Das hab ich noch nicht verstanden...
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Hallo ella,
schreiben wir die Bedingung:
$ [mm] a^2 +5\cdot{}k [/mm] = [mm] b^2 +5\cdot{}l [/mm] $.
mal ein bisschen um:
[mm] $\gdw a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = 5(l-k)$
(l-k) ist ja nun aus [mm] \IZ, [/mm] so dass wir das umschreiben können zu:
[mm] $\gdw a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = 5z, [mm] z\in\IZ$
[/mm]
oder anders hingeschrieben:
[mm] $a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = 0 [mm] \mod [/mm] 5$
D.h. [mm] a^2 [/mm] und [mm] b^2 [/mm] lassen bei Division durch 5 den gleichen Rest.
MFG,
Gono.
Hilft dir das weiter?
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