Äquivalenzrelation < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Fr 21.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring und R* die Menge seiner (multiplikativ) invertierbaren Elemente. Zeigen
Sie, dass durch
r [mm] \sim [/mm] s , [mm] \exists [/mm] e [mm] \in \IR* [/mm] : s = er
eine Äquivalenzrelation auf R gegeben ist. Gilt r [mm] \sim [/mm] s, so nennt man r s [mm] \in [/mm] R assoziiert.
Bestimmen Sie für die Ringe R = [mm] \IZ [/mm] und R = K[x], wobei K ein Körper ist, die Äquivalenzklasse [r] jedes Elementes r [mm] \in [/mm] R. |
Hallo.
Ich habe die Relation so gezeigt:
(1) refl. [mm] (\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] R: (r,r) [mm] \in [/mm] R)
(r,r) [mm] \in [/mm] R, d.h. [mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] R*: r =er
Wähle e = 1, dann gilt die Reflexivität.
(2) symm. (...)
(r,s) d.h. [mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] R*: s=er
Da e invertiebar, gilt: [mm] e^{-1}s [/mm] = r
Es gibt also ein e*, also [mm] e^{-1} [/mm] ...
(3) trans. (...)
(r,s) d.h. [mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] R*: s=er (I)
(s,t) d.h. [mm] \exists [/mm] e* [mm] \in [/mm] R*: t=e*s (II)
s aus I in II einsetzen: t= e*er
Wähle e**=e*e, dann gibt es ein e ...
Die ... mach ich deswegen, weil der Rest ja "nur" formal wäre und ich das könnte. Nur stimmen die Ansätze bisher?
Kann mir jemand beim rest der Aufgabe helfen (Tipps)? Komme damit nicht wirklich zurecht. Danke vielmals.
|
|
| |
|
Hallo SolRakt
Zur zweiten Aufgabe:
Wenn [mm] R = \IZ [/mm] ist, überleg dir einmal wie dann [mm] R* [/mm] aussieht. Die Menge ist ziemlich klein. Sobald du diese hast, ist es nicht mehr schwer die Äquivalenzklassen anzugeben.
Diese [mm] R* = R[X]* [/mm] Gleichheit gilt, wenn $\ R $ nullteilerfrei ist. Also insbesondere wenn $\ R $ ein Körper ist. Somit hast du auch hier ziemlich schnell die Menge der Einheiten. Daraus kannst du dir dann ebenfalls die Äquivalenzklassen überlegen.
Gruss
physicus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Fr 21.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..zu [mm] \IZ. [/mm] Da wär R* dann doch nur {1} oder? Aber wie schreibt man da die Äquivalenzklasse von R auf? Das versteh ich irgendwie nicht.
Das mit R[x] versteh ich leider auch nicht so wirklich. :(
|
|
|
| |
|
> Hmm..zu [mm]\IZ.[/mm] Da wär R* dann doch nur {1} oder? Aber wie
> schreibt man da die Äquivalenzklasse von R auf? Das
> versteh ich irgendwie nicht.
[mm] \IZ^{\times} = \{1,-1\} [/mm]. Ich hoffe dies ist klar. Nun gut, nim dir jetzt einmal irgendein Element aus $\ [mm] \IZ [/mm] $ her. Z.b. -39. Wir suchen nun ja die folgende Menge:
[mm] [-39] = \{a \in \IZ | a*\IZ^\times=-39\} [/mm]. Wobei $\ [mm] \IZ^\times [/mm] $ für irgendein Element darin steht. In diesem Fall gibt es ja nur zwei. Dann siehst du schnell wie die $\ a $'s aussehen müssen. Wenn dir das klar ist, kannst du dies für ein beliebiges Element anschreiben.
Du sieht also, dass es wichtig ist die Menge $\ [mm] R^\times [/mm] $ zu kennen. Daher mein Tipp bei $\ K[X] $. Er besagt, dass alle Einheiten in $\ K[X] $ gerade die Einheiten in $\ K $ sind und diese kennst du sicher (Def. von Körper!). Wenn du diese gefunden hast, musst du dir erneut überlegen wie deine Äquivalenzklassen aussehen.
Gruss
physicus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Fr 21.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> $ [mm] \IZ^{\times} [/mm] = [mm] \{1,-1\} [/mm] $. Ich hoffe dies ist klar.
Ja, ist es. Habs einfach übersehn. ;) Danke.
Ich merke nur immer wieder, dass ich mit diesen Klassen nicht zurechtkomme. :( Aber ich versuchs:
In deinem Beispiel mit -39 müsste kann a doch |39| sein? Wäre dann [r] = {|r|} ???
Oder ist das total falsch?
|
|
|
| |
|
> > [mm]\IZ^{\times} = \{1,-1\} [/mm]. Ich hoffe dies ist klar.
>
> Ja, ist es. Habs einfach übersehn. ;) Danke.
>
Gut
> Ich merke nur immer wieder, dass ich mit diesen Klassen
> nicht zurechtkomme. :( Aber ich versuchs:
>
Man gewöhnt sich schnell daran! Man muss einfach damit arbeiten / üben. :)
> In deinem Beispiel mit -39 müsste kann a doch |39| sein?
> Wäre dann [r] = {|r|} ???
>
> Oder ist das total falsch?
>
Nein das ist absolut richtig! Also wäre hier: [mm] [-39] = \{39,-39\} = [39] [/mm]. Jetzt sollte es kein Problem sein dies für ein allgemeines Element aus $\ [mm] \IZ [/mm] $ hinzuschreiben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Fr 21.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Man gewöhnt sich schnell daran! Man muss einfach damit arbeiten / üben.
Hoffentlich hast du recht xD Ich geb mir auf jeden Fall sehr viel Mühe. Und danke auch für deine Hilfe ;)
> Nein das ist absolut richtig! Also wäre hier: $ [-39] = [mm] \{39,-39\} [/mm] = [39] $.
> Jetzt sollte es kein Problem sein dies für ein allgemeines Element aus $ \
> [mm] \IZ [/mm] $ hinzuschreiben.
So? a sei in [mm] \IZ, [/mm] dann: [a] = {a, -a}
Wegem dem Körper K. Ist da nicht jedes Element außer die 0 muliplikativ invertierbar?
|
|
|
| |
|
>
> So? a sei in [mm]\IZ,[/mm] dann: [a] = {a, -a}
>
Genau!
> Wegem dem Körper K. Ist da nicht jedes Element außer die
> 0 muliplikativ invertierbar?
Richtig!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Fr 21.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke.
Bei K[x] muss doch dann gelten:
[r] ={a [mm] \in [/mm] K[x] | a [mm] \* [/mm] K[x]* = r}
z.B. [-5] ={a [mm] \in [/mm] K[x] | a [mm] \* [/mm] K[x]* = -5}
Also: [r] = [mm] \IR [/mm] \ {0} ???
|
|
|
| |
|
Ganz langsam.
Nimm dir ein allgemeines Element aus $\ K[X] $, das sind Polynome mit Koeffizienten aus $\ K $. Was bedeutet nun deine Relation?
Zwei Polynome $\ f,g [mm] \in [/mm] K[X] $ sind assoziiert $\ [mm] \gdw \exists [/mm] h [mm] \in K^\times [X]=K^\times [/mm] $ so dass folgendes gilt: [mm] K^\times*f = g [/mm].
Überleg dir was das für die Koeffizienten von $\ g $ und $\ f $ bedeutet!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Fr 21.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Nimm dir ein allgemeines Element aus $ \ K[X] $, das sind Polynome mit
> Koeffizienten aus $ \ K $. Was bedeutet nun deine Relation?
Aber bei K[x] sind nur Polynome vom Grad 1 invertierbar, außer g(x)=0, und das ist ja wie im Körper K, wo alle Elemente außer die 0 invertiebar sind.
Seh ich das so richtig?
Das e in meiner Relation müsste also 3,4,5,56, ... sein, aber eben nicht 0. Also e ist ein Element aus dem Körper K.
> Zwei Polynome $ \ f,g [mm] \in [/mm] K[X] $ sind assoziiert $ \ [mm] \gdw \exists [/mm] h [mm] \in [/mm]
> [mm] K^\times [X]=K^\times [/mm] $ so dass folgendes gilt: $ [mm] K^\times\cdot{}f [/mm] = g > $.Überleg dir was das für die Koeffizienten von $ \ g $ und $ \ f $
> bedeutet!
Hmm..versteh nicht ganz, worauf du hinaus möchtest. Die Koeffizineten von f müssten ein Vielfaches der von g sein.
Aber was hat das mit meiner Äquivalenzklasse zu tun? Danke vielmals.
|
|
|
| |
|
> > Nimm dir ein allgemeines Element aus [mm]\ K[X] [/mm], das sind
> Polynome mit
> > Koeffizienten aus [mm]\ K [/mm]. Was bedeutet nun deine Relation?
Hallo,
>
> Aber bei K[x] sind nur Polynome vom Grad 1 invertierbar,
Nein. Sondern: die vom Grad 0. (Das meinst Du auch.)
> außer g(x)=0,
Ja.
> und das ist ja wie im Körper K, wo alle
> Elemente außer die 0 invertiebar sind.
> Seh ich das so richtig?
Ja.
>
> Das e in meiner Relation müsste also 3,4,5,56, ... sein,
Ogottogott.
Aber einen wahren Kern hat es: würdest Du [mm] \IR[x] [/mm] betrachten, wäre die menge der invertierbaren Elemente [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\}.
[/mm]
> aber eben nicht 0. Also e ist ein Element aus dem Körper
> K.
Ja. Aber nicht die Null in K.
>
> > Zwei Polynome [mm] \ f,g \in[/mm] K[X] [/mm] sind assoziiert $ \ [mm]\gdw \exists[/mm]
> h [mm]\in[/mm]
> > [mm]K^\times [X]=K^\times[/mm] [mm] so dass folgendes gilt: [/mm]
> [mm]K^\times\cdot{}f[/mm] = g > $.Überleg dir was das für die
> Koeffizienten von [mm] \ g [/mm] und [mm] \ f [/mm]
> > bedeutet!
>
> Hmm..versteh nicht ganz, worauf du hinaus möchtest. Die
> Koeffizineten von f müssten ein Vielfaches der von g
> sein.
Ja.
>
> Aber was hat das mit meiner Äquivalenzklasse zu tun?
Wenn ich Dir ein Polynom sage, weißt Du jetzt sofort, was alles in seiner Äquivalenzklasse ist.
Gruß v. Angela
> Danke
> vielmals.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Sa 22.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke erstmal.
Das fällt mir wirklich schwer :(
Wenn ich jetzt das Polynom g(x) = [mm] x^{2} [/mm] + 2x +2 wählen würde, dann wäre [a g(x) | a [mm] \in [/mm] K] meine Äquivalenzklasse???
Ach ja, wegen dem ersten Teil (siehe erster Beitrag) Kann sich das jemand auch mal anschaun und sagen, ob das so ok war. Danke vielmals.
|
|
|
| |
|
> Danke erstmal.
>
> Das fällt mir wirklich schwer :(
>
> Wenn ich jetzt das Polynom g(x) = [mm]x^{2}[/mm] + 2x +2 wählen
> würde, dann wäre [a g(x) | a [mm]\in[/mm] K] meine
> Äquivalenzklasse???
>
Ja im Prinzip schon. Ich hätte es einfach ein wenig "schöner" geschrieben. Für ein $\ g [mm] \in [/mm] K[X] $ mit $\ deg(g)=n $ besteht die entsprechende Äquivalenzklassen aus folgenden Elementen:
Nehmen wir an, dass $\ g $ folgende Darstellung hat:
[mm] g(X) = \summe_{i=0}^{n} a_i*X^i [/mm]
Dann kannst du sicherlich sagen, dass nur Polynome selben Grades in der Äquivalenzklasse liegen können.
[mm] [g] = \{ f = \summe_{i=0}^{n} b_i X^i | \exists c \in K^\times=K\backslash\{0\}, a_i*c=b_i \forall i=0 \dots n\} [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 So 23.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke vielmals für die Hilfe. Aber stimmt mein Anfangsbeitrag bzgl ÄR?
|
|
|
| |
|
> Aber stimmt mein
> Anfangsbeitrag bzgl ÄR?
Hallo,
Die G in Deinem AB bzgl ÄR sind richtig,
Du mußt es halt noch gescheit (=exakt) aufschreiben.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
