Äquivalenzrelation < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Di 19.04.2011 | | Autor: | noname2k |
Hallo,
ich muss bei einer Aufgabe zeigen das eine Äquivalenzrelation definiert wird.
Sei N={1,2,3,...} die Menge der natürlichen Zahlen. Es soll gezeigt werden das,
(a,b)~(c,d)⇔b−a=d−c
für Paare (a,b)∈ [mm] \IN [/mm] × [mm] \IN
[/mm]
eine Äquivalenzrelation ~ definiert wird.
Dazu muss ich ja zeigen das die Reflexivität, Symmetrie und Transivität gilt.
Ich weiß jetzt nur nicht genau wie ich da ran gehe.
Reflexivität: a~a
Symmetrie: a~b = b~a
Transivität: a~b und b~c => a~c
War es das schon oder was muss noch gemacht werden?
Ich danke schonmal für Eure Hilfe.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/%C3%84quivalenzrelation-52
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Hallo noname2k und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo,
>
> ich muss bei einer Aufgabe zeigen das eine
> Äquivalenzrelation definiert wird.
> Sei N={1,2,3,...} die Menge der natürlichen Zahlen. Es
> soll gezeigt werden das,
>
> (a,b)~(c,d)⇔b−a=d−c
>
> für Paare (a,b)∈ [mm]\IN[/mm] × [mm]\IN[/mm]
> eine Äquivalenzrelation ~ definiert wird.
>
> Dazu muss ich ja zeigen das die Reflexivität, Symmetrie
> und Transivität gilt.
> Ich weiß jetzt nur nicht genau wie ich da ran gehe.
>
> Reflexivität: a~a
>
> Symmetrie: a~b = b~a
>
> Transivität: a~b und b~c => a~c
>
> War es das schon oder was muss noch gemacht werden?
Das sind die Punkte, die du zeigen musst!
Bewiesen hast du gar nix, nur hingeschrieben, was zu zeigen ist.
Mache dir klar, dass die oben def. Relation [mm]\sim \ \subset \ \IN^2\times\IN^2[/mm] ist.
Wenn du also schreibst [mm]a\sim b[/mm] bedeutet das [mm](a_1,a_2)\sim(b_1,b_2)[/mm]
Du musst nun die 3 Punkte, die du oben hingeschrieben hast, anhand der konkret hier definierten Relation nachrechnen bzw. nachprüfen.
Etwa Reflexivität: Gilt [mm](a_1,a_2)\sim (a_1,a_2)[/mm] ?
Schreib hin, was das bedeutet, dann siehst du, dass es gilt!
> Ich danke schonmal für Eure Hilfe.
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/%C3%84quivalenzrelation-52
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Di 19.04.2011 | | Autor: | noname2k |
Danke. Ist der Ansatz in etwa richtig?
Reflexivität: $ [mm] (a_1,a_2)\sim (a_1,a_2) [/mm] $
$ [mm] a_1 [/mm] - [mm] a_2 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] - [mm] a_1 [/mm] $ da es die selben Zahlen sind.
Symmetrie: $ [mm] (a_1,a_2)\sim(b_1,b_2) [/mm] $
$ [mm] a_2-a_1=b_2-b_1 [/mm] $
Transivität: $ [mm] (a_1,a_2)\sim(b_1,b_2)\wedge(b_1,b_2)\sim(c_1,c_2)\Rightarrow(a_1,a_2)\sim(c_1,c_2) [/mm] $
$ [mm] a_2-a_1=b_2-b_1 \wedge b_2-b_1=c_2-c_1 \Rightarrow a_2-a_1=c_2-c_1 [/mm] $
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Hallo noname2k,
!> Danke. Ist der Ansatz in etwa richtig?
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> Reflexivität: [mm](a_1,a_2)\sim (a_1,a_2)[/mm]
> [mm]a_\red{2} - a_\red{1} = a_2 - a_1[/mm]
> da es die selben Zahlen sind.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Symmetrie: [mm](a_1,a_2)\sim(b_1,b_2)[/mm]
> [mm]a_2-a_1=b_2-b_1[/mm]
Ich sehe nirgens, dass du [mm] (b_1,b_2)\sim(a_1,a_2) [/mm] schlussfolgerst. Das ist aber im Prinzip klar, nachdem du obige Gleichung aufgeschrieben hast.
>
> Transivität:
> [mm](a_1,a_2)\sim(b_1,b_2)\wedge(b_1,b_2)\sim(c_1,c_2)\Rightarrow(a_1,a_2)\sim(c_1,c_2)[/mm]
> [mm]a_2-a_1=b_2-b_1 \wedge b_2-b_1=c_2-c_1 \Rightarrow a_2-a_1=c_2-c_1[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Di 19.04.2011 | | Autor: | noname2k |
> >
> > Symmetrie: [mm](a_1,a_2)\sim(b_1,b_2)[/mm]
> > [mm]a_2-a_1=b_2-b_1[/mm]
> Ich sehe nirgens, dass du [mm](b_1,b_2)\sim(a_1,a_2)[/mm]
> schlussfolgerst. Das ist aber im Prinzip klar, nachdem du
> obige Gleichung aufgeschrieben hast.
> >
Symmetrie:
$ [mm] (a_1,a_2)\sim(b_1,b_2) [/mm] $
$ [mm] a_2-a_1=b_2-b_1 [/mm] $
$ [mm] (b_1,b_2)\sim(a_1,a_2) [/mm] $
$ [mm] b_2-b_1=a_2-a_1 [/mm] $
Ist es so besser wenn ich beides hinschreibe oder hast du etwas anderes gemeint?
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> > >
> > > Symmetrie: [mm](a_1,a_2)\sim(b_1,b_2)[/mm]
> > > [mm]a_2-a_1=b_2-b_1[/mm]
> > Ich sehe nirgens, dass du [mm](b_1,b_2)\sim(a_1,a_2)[/mm]
> > schlussfolgerst. Das ist aber im Prinzip klar, nachdem du
> > obige Gleichung aufgeschrieben hast.
> > >
>
> Symmetrie:
> [mm](a_1,a_2)\sim(b_1,b_2)[/mm]
> [mm]a_2-a_1=b_2-b_1[/mm]
>
> [mm](b_1,b_2)\sim(a_1,a_2)[/mm]
> [mm]b_2-b_1=a_2-a_1[/mm]
>
> Ist es so besser wenn ich beides hinschreibe oder hast du
> etwas anderes gemeint?
Es war schon ok, aber extrem knapp. Deswegen war mein Vorschlag wenigstens noch die Schlussfolgerung hinzuschreiben 
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Di 19.04.2011 | | Autor: | noname2k |
> > > >
> > > > Symmetrie: [mm](a_1,a_2)\sim(b_1,b_2)[/mm]
> > > > [mm]a_2-a_1=b_2-b_1[/mm]
> > > Ich sehe nirgens, dass du [mm](b_1,b_2)\sim(a_1,a_2)[/mm]
> > > schlussfolgerst. Das ist aber im Prinzip klar, nachdem du
> > > obige Gleichung aufgeschrieben hast.
> > > >
> >
> > Symmetrie:
> > [mm](a_1,a_2)\sim(b_1,b_2)[/mm]
> > [mm]a_2-a_1=b_2-b_1[/mm]
> >
> > [mm](b_1,b_2)\sim(a_1,a_2)[/mm]
> > [mm]b_2-b_1=a_2-a_1[/mm]
> >
> > Ist es so besser wenn ich beides hinschreibe oder hast du
> > etwas anderes gemeint?
> Es war schon ok, aber extrem knapp. Deswegen war mein
> Vorschlag wenigstens noch die Schlussfolgerung
> hinzuschreiben
>
> LG
>
Ok, dann werd ich das jetzt mal alles aufschreiben ;)
Ich danke Euch für die Hilfe.
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