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Forum "Sonstiges" - Äquivalenzrelation
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Äquivalenzrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 Mo 31.10.2011
Autor: EvelynSnowley2311

Aufgabe
Sei n [mm] \in \IN [/mm] und sei A eine Menge mit n Elementen. Wie viele Elemente kann eine Äquivalenzrelation in A mindestens und höchstens erhalten?


vlt ganz trivial aber ist die Antwort auf diese frage n?^^

        
Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:01 Mo 31.10.2011
Autor: TheBozz-mismo

Hallo
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und sei A eine Menge mit n Elementen. Wie
> viele Elemente kann eine Äquivalenzrelation in A
> mindestens und höchstens erhalten?
>  vlt ganz trivial aber ist die Antwort auf diese frage n?^^

Du gibst eine Antwort, aber es gibt ja 2 Fragen.
1) Wie viele Elemente kann A mindestens enthalten?
2) Wie viele Elemente kann A höchstens enthalten?

Dir sind die 3 Eigenschaften einer Äuivalenzrelation klar? Genau die helfen dir zur Beantwortung der Frage.

Wenn man mal keine Ahnung hat, dann kann man sich überlegen: Ist die Menge A mit einem Element eine Äquivalenzrelation?

Gruß
TheBozz-mismo

PS: Ist das wirklich die gesamte Aufgabenstellung bzw. sind keine näheren Angaben zur Äquivalenzraltion(wie sie definiert ist) gegeben?

Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrelation: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:05 Mo 31.10.2011
Autor: EvelynSnowley2311

heihei, ja das ist die volle aufgabenstellung^^.
naja bei einer äquivalenzrelation müssten ja mind wegen der transitivität 3 elemente enthalten sein oder?
nach oben hin würde ich trotzdem sagen dass es keine grenze gibt.

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzrelation: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:24 Mi 02.11.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:41 Di 01.11.2011
Autor: fred97

Eine Äquivalenzrelation R ist, wie jede Relation in A, eine Teilmenge von $A [mm] \times [/mm] A.$

Damit hat R höchstens [mm] n^2 [/mm] Elemente. Frage: gibt es eine Äquivalenzrelation R mit genau [mm] n^2 [/mm] Elementen ?


Da (a,a) [mm] \in [/mm] R für jedes a [mm] \in [/mm] A, hat R mindestens n Elemente. Frage: gibt es eine Äquivalenzrelation R mit genau n Elementen ?

FRED


Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:48 Di 01.11.2011
Autor: EvelynSnowley2311

heihei,

also müsste bei mindestens ja n+1 oder? falls n = 1 ist und mit einem element gehts ja nicht.

bei höchstens mit diesem [mm] n^{2} [/mm] würde ich schon sagen dass es eine Relation mit dieseer Anzahl geben kann, ich mein wieso nicht?^^


Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Di 01.11.2011
Autor: fred97


> heihei,
>  
> also müsste bei mindestens ja n+1 oder?

Nein.


Ist aRb : [mm] \gdw [/mm] a=b eine Ä.-relation auf A ? Wenn ja, wieviele El. hat sie ?

>  falls n = 1 ist
> und mit einem element gehts ja nicht.
>  
> bei höchstens mit diesem [mm]n^{2}[/mm] würde ich schon sagen dass
> es eine Relation mit dieseer Anzahl geben kann, ich mein
> wieso nicht?^^

Dann gib doch eine an !

FRED

>  


Bezug
                                
Bezug
Äquivalenzrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:01 Di 01.11.2011
Autor: EvelynSnowley2311

also wenn a=b dann muss es doch mindestens ein Element geben, also sagen wir da wir bei natürlichen Zahlen sind mind 1.

bei [mm] n^2 [/mm] muss ich wirklich eine konkrete Zahl festlegen? ist nach obenhin die Anzahl nicht unbeschränkt? also [mm] \infty [/mm] ?

Bezug
                                        
Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:13 Di 01.11.2011
Autor: fred97


> also wenn a=b dann muss es doch mindestens ein Element
> geben, also sagen wir da wir bei natürlichen Zahlen sind
> mind 1.

????

Nochmal: A hat n Elemente.

Setzt man [mm] R:=\{(a,a): a \in A\}, [/mm] so hat R ebenfalls n Elemente. Ist R eine Ä-Rel. auf A ?  Ja ! Prüfe es nach.

Wegen der Reflexivität einer Ä.-Rel., ist [mm] \{(a,a): a \in A\} [/mm] in jeder Ä.Rel. enthalten.

Fazit : eine Ä.Rel. auf A hat mindestens n Elemente und es gibt eine Ä.Rel. mit genau n Elementen.


>  
> bei [mm]n^2[/mm] muss ich wirklich eine konkrete Zahl festlegen? ist
> nach obenhin die Anzahl nicht unbeschränkt? also [mm]\infty[/mm] ?

Nein ! AxA hat genau [mm] n^2 [/mm] Elemente. Und jede Ä.Rel. ist in AxA enthalten, somit hat jede Ä.Rel. höchstens [mm] n^2 [/mm] Elemente.

Ist vieleicht AxA selbst ein Ä.Rel. ? Prüfs mal nach !

FRED




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