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| Aufgabe | Sei [mm] \IZ [/mm] die Menge der ganzen Zahlen, sei n eine natürliche feste Zahl. Für [mm] x,y\el\ \IZ [/mm] gelte x~y <=> n ist ein Teiler von x-y
(also [mm] \exists\ z\el\ \IZ [/mm] mit n*z=x-y) |
Hallo,
mein Ansatz:
1. Reflexivität:
z.z.: x [mm] \sim [/mm] x
[mm] \Rightarrow [/mm] z.z.: [mm] \exists [/mm] a [mm] \in \IZ [/mm] , so dass a*n=x-x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] wähle: a=0 [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] reflexiv
2. Symmetrie:
z.z.: x [mm] \sim [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \sim [/mm] x
z.z.: [mm] \exists [/mm] a' [mm] \in \IZ [/mm] , so dass a' *n=y-x
an=x-y [mm] \gdw [/mm] -an=-x+y=y-x
sei a'=-a [mm] \in \IZ \Rightarrow [/mm] symmetrisch
3. Transitivität:
z.z.: x [mm] \sim [/mm] y und y [mm] \sim [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] z
an=x-y [mm] \gdw [/mm] y=x-an und a'n=y-z [mm] \gdw [/mm] y=a'n+z
[mm] \Rightarrow [/mm] x-an=a'n+z [mm] \gdw [/mm] (a'+a)n=x-z
sei a'+a=a'' [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a''n=x-z [mm] \Rightarrow [/mm] transitiv
Stimmt das bis dahin?
Und nun suche ich ein Repräsentantensyst...
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> Sei [mm]\IZ[/mm] die Menge der ganzen Zahlen, sei n eine natürliche
> feste Zahl. Für [mm]x,y\el\ \IZ[/mm] gelte x~y <=> n ist ein
> Teiler von x-y
> (also [mm]\exists\ z\el\ \IZ[/mm] mit n*z=x-y)
> Hallo,
>
> mein Ansatz:
>
> 1. Reflexivität:
>
> z.z.: x [mm]\sim[/mm] x
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] z.z.: [mm]\exists[/mm] a [mm]\in \IZ[/mm] , so dass a*n=x-x=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] wähle: a=0 [mm]\in \IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] reflexiv
>
>
> 2. Symmetrie:
>
> z.z.: x [mm]\sim[/mm] y [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\sim[/mm] x
>
> z.z.: [mm]\exists[/mm] a' [mm]\in \IZ[/mm] , so dass a' *n=y-x
>
> an=x-y [mm]\gdw[/mm] -an=-x+y=y-x
> sei a'=-a [mm]\in \IZ \Rightarrow[/mm] symmetrisch
>
>
> 3. Transitivität:
>
> z.z.: x [mm]\sim[/mm] y und y [mm]\sim[/mm] z [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\sim[/mm] z
>
> an=x-y [mm]\gdw[/mm] y=x-an und a'n=y-z [mm]\gdw[/mm] y=a'n+z
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x-an=a'n+z [mm]\gdw[/mm] (a'+a)n=x-z
>
> sei a'+a=a'' [mm]\in \IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a''n=x-z [mm]\Rightarrow[/mm] transitiv
>
> Stimmt das bis dahin?
Hallo,
Du hast bis hierher alles richtig überlegt und rausgefunden
Der Aufschrieb ist noch nicht ganz lehrbuchmäßig - aber wir lassen ihn jetzt mal so.
>
> Und nun suche ich ein Repräsentantensyst...
Woran scheitert die Suche?
An dieser Stelle wäre es sinnvoll, wenn Du sagen würdest, was überhaupt ein Repräsentantensystem ist, und weshalb Du mit dem Finden Schwierigkeiten hast.
Wir betrachten die Aufgabejetzt mal für ein konkretes n, etwa n=4.
Für alle [mm] x,y\in \IZ [/mm] sei also [mm] x\sim [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] 4|(x-y).
Nun muß man erstmal über Äquivalenzklassen nachdenken:
welche Zahlen liegen in derselben Äquivalenzklasse wie
die 0
die 1
die 2
die 3
die 4
die 5 ?
Das sollte Dich ein Stückchen vorwärts bringen.
LG Angela
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Also das Repräsentantensyst. beinhaltet doch aus jeder Ä.klasse ein Element, also einen Repräsentanten, oder?
Die Idee des konkreten Probierens hatte ich auch schon, das sieht dann so bei mir aus:
[mm] A_{0}= [/mm] { 20, 16, 12, 8, 4, 0, -4, -8,.... }
[mm] A_{1}= [/mm] { 17, 13, 9, 5, 1, -3, -7, -11,... }
[mm] A_{2}= [/mm] { 18, 14, 10, 6, 2, -2, -6, -10,... }
[mm] A_{3}= [/mm] { 19, 15, 11, 7, 3, -1, -5,... }
[mm] A_{4}= [/mm] { 20, 16, 12, 8, 4, 0, -4,... } also wiederholt sich das ab hier wieder alles.
Wenn ich nun [mm] A_{0} [/mm] bis [mm] A_{3} [/mm] betrachte, dann ist die Menge {0, 1, 2, 3} ein mögliches RS, oder?
Genau so gut kann ich doch auch {4, 5, 6, 7} ein mögliches RS sein, oder?
Und allg könnte man es formulieren als {0,1,..., n-1}.
Danke für die Hilfe. :)
Ach ja, wo hakt es denn noch am Formalismus meiner Notation?
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> Also das Repräsentantensyst. beinhaltet doch aus jeder
> Ä.klasse ein Element, also einen Repräsentanten, oder?
>
> Die Idee des konkreten Probierens hatte ich auch schon, das
> sieht dann so bei mir aus:
>
> [mm]A_{0}=[/mm] { ...,20, 16, 12, 8, 4, 0, -4, -8,.... }
>
> [mm]A_{1}=[/mm] {..., 17, 13, 9, 5, 1, -3, -7, -11,... }
>
> [mm]A_{2}=[/mm] {..., 18, 14, 10, 6, 2, -2, -6, -10,... }
>
> [mm]A_{3}=[/mm] {..., 19, 15, 11, 7, 3, -1, -5,... }
>
> [mm]A_{4}=[/mm] { ...,20, 16, 12, 8, 4, 0, -4,... } also wiederholt sich
> das ab hier wieder alles.
Hallo,
genau.
Es gibt 4 Äquivalenzklassen, nämlich
> [mm] $A_{0}$ [/mm] bis [mm] $A_{3}$.
[/mm]
> Wenn ich nun [mm]A_{0}[/mm] bis [mm]A_{3}[/mm] betrachte, dann ist die Menge
> {0, 1, 2, 3} ein mögliches RS, oder?
Ja.
>
> Genau so gut kann ich doch auch {4, 5, 6, 7} ein mögliches
> RS sein, oder?
Ja.
>
> Und allg könnte man es formulieren als {0,1,..., n-1}.
Ja.
>
> Danke für die Hilfe. :)
> Ach ja, wo hakt es denn noch am Formalismus meiner
> Notation?
Ich zeige Dir anhand der Symmetrie, wie in etwa ich es schreiben würde:
> 2. Symmetrie:
> z.z.: x $ [mm] \sim [/mm] $ y $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ y $ [mm] \sim [/mm] $ x,
dh.
>z.z.:
Wenn [mm] x\sim [/mm] y, dann
$ [mm] \exists [/mm] $ a' $ [mm] \in \IZ [/mm] $ , so dass a' *n=y-x
Beweis: Seien x,y [mm] \in \IZ [/mm] und [mm] x\sim [/mm] y.
Nach Def.der Relation gibt es ein [mm] a\in \IZ [/mm] :
> an=x-y
> $ [mm] \gdw [/mm] $ (-a)*n=-an=-x+y=y-x
> sei [mm] a'\red{:}=-a [/mm] .
Es ist [mm] a'\in \IZ,
[/mm]
also ist [mm] y\sim [/mm] x
> [mm] \Rightarrow [/mm] $
die Relation [mm] \sim [/mm] ist
> symmetrisch.
LG Angela
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