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Äquivalenzrelation: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 Do 01.11.2012
Autor: rednaxela

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Hallo zusammen, Ich habe gerade mit dem Studium angefangen.
Zur Zeit ist zahlentheorie zwar kein Buch mit sieben Siegeln aber immer noch mit 4 ;)

Wir haben auf unserem Übungsblatt folgenden Aufgabe

[Sei G = (M,*) eine Gruppe und = C G x G eine Relation definiert durch

a=b gdw. existiert ein t € G mit a = t*b*t^-1

Zeigen Sie das = eine Äquvalentrelation auf G bildet]





ACHTUNG ÜBER dem = steht in der Aufgabe noch ein Wellenzeichen


Also ich bin dabei die Symetrie zu prüfen.

Ich habe a = t*b*t^-1 und b=t*c*t^-1

wenn ich jetzt a R b => b R a nehmen

t*b*t^-1 = t*c*t^-1 => t*c*t^-1=t*b*t^-1


wenn ich jetzt t*b*t^-1 und t*c*t^-1 klammer

also
(t*b*t^-1)=(t*c*t^-1) und dann jeweils subtrahiere

-(t*c*t^-1)=-(t*b*t^-1) und dann durch -1 dividiere bekomme ich ja

t*c*t^-1=t*b*t^-1 = t*c*t^-1=t*b*t^-1

Nur irgendwie weiß ich nicht ob das jetzt die Lösung ist oder hab ich mich hier total vertan?




        
Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 Do 01.11.2012
Autor: abakus


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>
> Hallo zusammen, Ich habe gerade mit dem Studium angefangen.
> Zur Zeit ist zahlentheorie zwar kein Buch mit sieben
> Siegeln aber immer noch mit 4 ;)
>
> Wir haben auf unserem Übungsblatt folgenden Aufgabe
>
> [Sei G = (M,*) eine Gruppe und = C G x G eine Relation
> definiert durch
>
> a=b gdw. existiert ein t € G mit a = t*b*t^-1
>  
> Zeigen Sie das = eine Äquvalentrelation auf G bildet]
>  
>
>
>
>
> ACHTUNG ÜBER dem = steht in der Aufgabe noch ein
> Wellenzeichen
>
>
> Also ich bin dabei die Symetrie zu prüfen.
>  
> Ich habe a = t*b*t^-1

Diese Gleichung würde ich jetzt "von links" mit t^-1
multiplizieren, das ergibt
[mm] $t^{-1}$*a=$t^{-1}$*t*b*$t^{-1}$. [/mm]
Da [mm] $t^{-1}$ [/mm] das Inverse von t ist, vereinfacht sich [mm] $t^{-1}*t$ [/mm] zu 1.
Die so erhaltene Gleichung jetzt von rechts mit t multiplizieren...
Gruß Abakus


> und b=t*c*t^-1
>  
> wenn ich jetzt a R b => b R a nehmen
>
> t*b*t^-1 = t*c*t^-1 => t*c*t^-1=t*b*t^-1
>  
>
> wenn ich jetzt t*b*t^-1 und t*c*t^-1 klammer
>
> also
> (t*b*t^-1)=(t*c*t^-1) und dann jeweils subtrahiere
>  
> -(t*c*t^-1)=-(t*b*t^-1) und dann durch -1 dividiere bekomme
> ich ja
>
> t*c*t^-1=t*b*t^-1 = t*c*t^-1=t*b*t^-1
>  
> Nur irgendwie weiß ich nicht ob das jetzt die Lösung ist
> oder hab ich mich hier total vertan?
>
>
>  


Bezug
        
Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Do 01.11.2012
Autor: tobit09

Hallo rednaxela und herzlich [willkommenmr]!


> Also ich bin dabei die Symetrie zu prüfen.
>  
> Ich habe a = t*b*t^-1 und b=t*c*t^-1

Irgendwie bist du wohl halb bei der Transitivität statt der Symmetrie gelandet...

Bei der Symmetrie hast du nur zwei Elemente [mm] $a,b\in [/mm] G$ zu betrachten, die in Relation zueinander stehen, also für die ein [mm] $t\in [/mm] G$ existiert mit [mm] $a=t*b*t^{-1}$. [/mm]
Zu zeigen ist, dass ein Element [mm] $s\in [/mm] G$ existiert mit [mm] $b=s*a*s^{-1}$. [/mm]

Was du tun kannst, um so ein s zu finden, hat dir abakus ja schon verraten.


> t*b*t^-1 = t*c*t^-1

[verwirrt] Warum sollte diese Gleichheite gelten?

> => t*c*t^-1=t*b*t^-1
> wenn ich jetzt t*b*t^-1 und t*c*t^-1 klammer
>
> also
> (t*b*t^-1)=(t*c*t^-1) und dann jeweils subtrahiere
>  
> -(t*c*t^-1)=-(t*b*t^-1)

In beliebigen Gruppen $G$, deren Verknüpfung mit $*$ geschrieben wird, gibt es gar keine Elemente $-g$ für [mm] $g\in [/mm] G$.

> und dann durch -1 dividiere bekomme

In beliebigen Gruppen gibt es kein Gruppenelement -1.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrelation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:06 Do 01.11.2012
Autor: rednaxela

Alles klar, was ich jetzt verstanden habe, ist das ich nicht -1 sagen kann, weil es ja eine beliebige verknüpfung ist und hier kann ich ja dann nur mit Verknüpfungen arbeiten.

Aber warum muss das b=s*a*s^-1 sein?
Kann es auch b=m*a*m^-1 sein?

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Do 01.11.2012
Autor: tobit09


> Aber warum muss das b=s*a*s^-1 sein?
> Kann es auch b=m*a*m^-1 sein?

Zu zeigen:

     Es existiert ein [mm] $s\in [/mm] G$ mit [mm] $b=s*a*s^{-1}$. [/mm]

Genausogut kannst du zeigen:

     Es existiert ein [mm] $m\in [/mm] G$ mit [mm] $b=m*a*m^{-1}$. [/mm]

In beiden Fällen steht ja im Prinzip die gleiche Aussage. Nur ist dem gesuchten Objekt einmal der Name s und einmal der Name m gegeben.

Bezug
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