Äquivalenzrelation < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Do 26.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel für einen [mm] \IK [/mm] - Vektorraum V, einen Unterraum U und zwei verschiedene Elemente v und w in [mm] V\setminus [/mm] W, sodass v+U=w+U ist |
Hallo Forum,
dieses ist eine kleine Übungsaufgabe und wie sich der eine oder andere wohl schon gedacht hat, beginne ich gerade, mich mit Äquivalenzrelationen zu beschäftigen.
Hier meine Lösung und es wäre schön, wenn jemand schreiben würde, ob meine Lösung so korrekt ist.
Dann hätte ich noch eine Frage: Wäre hier eine Lösung der Aufgabe in [mm] \IR^n [/mm] auch möglich?
Danke, Micha
Sei [mm] V=\IF_2^{3} [/mm] und sein U ein Unterraum von [mm] \IF_2^{3} [/mm] mit Basis [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}.
[/mm]
Dann besteht U aus [mm] U=\left\lbrace \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \right\rbrace
[/mm]
Seien weiter [mm] v=\vektor{1\\0\\1} \isnot w=\vektor{1\\1\\1} [/mm] mit v,w [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus [/mm] U.
Es ist U+v = [mm] \left\lbrace \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \right\rbrace [/mm] und es ist
[mm] U+w=\left\lbrace \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1} \right\rbrace
[/mm]
Damit ist U+v=U+w.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Do 26.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Micha,
> Geben Sie ein Beispiel für einen [mm]\IK[/mm] - Vektorraum V, einen
> Unterraum U und zwei verschiedene Elemente v und w in
> [mm]V\setminus[/mm] W, sodass v+U=w+U ist
> Hallo Forum,
> dieses ist eine kleine Übungsaufgabe und wie sich der
> eine oder andere wohl schon gedacht hat, beginne ich
> gerade, mich mit Äquivalenzrelationen zu beschäftigen.
>
> Hier meine Lösung und es wäre schön, wenn jemand
> schreiben würde, ob meine Lösung so korrekt ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, ist sie!
> Dann hätte ich noch eine Frage: Wäre hier eine Lösung
> der Aufgabe in [mm]\IR^n[/mm] auch möglich?
Ja. Z.B. [mm] $V=\IR^2$, $U=\langle(0,1)\rangle$, [/mm] $v=(1,0)$, $w=(1,1)$. Wie lauten dann $v+U$ und $w+U$?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Do 26.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Tobias,
vielen Dank für deine Antwort. Die Gedanken zu [mm] \IR^n [/mm] hab ich mir auch schon gemacht. In [mm] \IF_2 [/mm] empfand ich dann die Lösung aber eindeutiger. Also hier meine Versuch zu deinem Vorschlag.
> Ja, ist sie!
>
Das Zeichen sehe ich gerne 
> > Dann hätte ich noch eine Frage: Wäre hier eine Lösung
> > der Aufgabe in [mm]\IR^n[/mm] auch möglich?
> Ja. Z.B. [mm]V=\IR^2[/mm], [mm]U=\langle(0,1)\rangle[/mm], [mm]v=(1,0)[/mm], [mm]w=(1,1)[/mm].
> Wie lauten dann [mm]v+U[/mm] und [mm]w+U[/mm]?
>
[mm] U+v=\left\lbrace \vektor{1 \\ a} | a \in \IR \right\rbrace
[/mm]
[mm] U+w=\left\lbrace \vektor{1 \\ a+1} | a \in \IR \right\rbrace
[/mm]
Jetzt müßte man noch argumentieren, daß a [mm] \in (-\infty,\infty) [/mm] und (a+1) [mm] \in (-\infty,-\infty) [/mm] ist. Damit ist U+v=U+w.
Ich bin da noch etwas unbeholfen. Wie könnte man das eleganter ausdrücken?
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Do 26.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > Dann hätte ich noch eine Frage: Wäre hier eine Lösung
> > > der Aufgabe in [mm]\IR^n[/mm] auch möglich?
> > Ja. Z.B. [mm]V=\IR^2[/mm], [mm]U=\langle(0,1)\rangle[/mm], [mm]v=(1,0)[/mm],
> [mm]w=(1,1)[/mm].
> > Wie lauten dann [mm]v+U[/mm] und [mm]w+U[/mm]?
> >
> [mm]U+v=\left\lbrace \vektor{1 \\ a} | a \in \IR \right\rbrace[/mm]
>
> [mm]U+w=\left\lbrace \vektor{1 \\ a+1} | a \in \IR \right\rbrace[/mm]
> Jetzt müßte man noch argumentieren, daß a [mm]\in (-\infty,\infty)[/mm]
> und (a+1) [mm]\in (-\infty,-\infty)[/mm] ist. Damit ist U+v=U+w.
>
> Ich bin da noch etwas unbeholfen. Wie könnte man das
> eleganter ausdrücken?
Wir wollen die Gleichheit der beiden Mengen $v+U$ und $w+U$ zeigen. Also zeigen wir nacheinander [mm] $v+U\subseteq [/mm] w+U$ und [mm] $w+U\subseteq [/mm] v+U$.
Etwa Ersteres: Sei [mm] $x\in [/mm] v+U$. Dann existiert nach deiner obigen Überlegung ein [mm] $a\in\IR$ [/mm] mit $x=(1,a)$. Wir müssen [mm] $x\in [/mm] w+U$ zeigen, also nach deiner obigen Überlegung ein [mm] $a'\in\IR$ [/mm] mit $x=(1,a'+1)$ finden. Für $a':=a-1$ gilt tatsächlich wie gewünscht $x=(1,a)=(1,(a-1)+1)=(1,a'+1)$.
Schaffst du [mm] $w+U\subseteq [/mm] v+U$ jetzt selbst?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 26.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
>
> Schaffst du [mm]w+U\subseteq v+U[/mm] jetzt selbst?
>
Ich denke schon:
Wir wollen zeigen, dass w+U [mm] \subseteq [/mm] v+U ist.
Sei dazu y [mm] \in [/mm] w+U mit [mm] y=\vektor{1 \\ a+1} [/mm] |a [mm] \in \IR. [/mm] Sei b [mm] \in \IR [/mm] mit b:=a-1 so ist
[mm] y=\vektor{1\\a+1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ (b-1)+1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\b}
[/mm]
Es ist also y [mm] \in [/mm] v+U und damit w+U [mm] \subseteq [/mm] v+U
PS: Ich wollte eigentlich anstelle von b eine a mit Überstrich verwenden. Wie kann ich das denn erzeugen?
Danke Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Do 26.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Schaffst du [mm]w+U\subseteq v+U[/mm] jetzt selbst?
> >
> Ich denke schon:
>
> Wir wollen zeigen, dass w+U [mm]\subseteq[/mm] v+U ist.
> Sei dazu y [mm]\in[/mm] w+U
Dann gibt es ein [mm] $a\in\IR$
[/mm]
> mit [mm]y=\vektor{1 \\ a+1}[/mm]
> Sei
> b [mm]\in \IR[/mm] mit b:=a-1 so ist
> [mm]y=\vektor{1\\a+1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ (b-1)+1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\b}[/mm]
Das mittlere Gleichheitszeichen stimmt nicht.
Du suchst ein [mm] $b\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\vektor{1\\a+1}=\vektor{1\\b}$. [/mm] Diese Gleichung ist gleichbedeutend mit $b=a+1$. Wähle also für den Beweis $b:=a+1$ anstelle von $b:=a-1$.
> Es ist also y [mm]\in[/mm] v+U und damit w+U [mm]\subseteq[/mm] v+U
Ansonsten stimmt es.
> PS: Ich wollte eigentlich anstelle von b eine a mit
> Überstrich verwenden. Wie kann ich das denn erzeugen?
\overline{a} liefert [mm] $\overline{a}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Do 26.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
> > > Schaffst du [mm]w+U\subseteq v+U[/mm] jetzt selbst?
> > >
> > Ich denke schon:
> >
> > Wir wollen zeigen, dass w+U [mm]\subseteq[/mm] v+U ist.
> > Sei dazu y [mm]\in[/mm] w+U
> Dann gibt es ein [mm]a\in\IR[/mm]
> > mit [mm]y=\vektor{1 \\ a+1}[/mm]
>
> > Sei
> > b [mm]\in \IR[/mm] mit b:=a-1 so ist
> > [mm]y=\vektor{1\\a+1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ (b-1)+1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\b}[/mm]
>
> Das mittlere Gleichheitszeichen stimmt nicht.
>
> Du suchst ein [mm]b\in\IR[/mm] mit [mm]\vektor{1\\a+1}=\vektor{1\\b}[/mm].
> Diese Gleichung ist gleichbedeutend mit [mm]b=a+1[/mm]. Wähle also
> für den Beweis [mm]b:=a+1[/mm] anstelle von [mm]b:=a-1[/mm].
>
> > Es ist also y [mm]\in[/mm] v+U und damit w+U [mm]\subseteq[/mm] v+U
> Ansonsten stimmt es.
>
>
> > PS: Ich wollte eigentlich anstelle von b eine a mit
> > Überstrich verwenden. Wie kann ich das denn erzeugen?
> [mm][code]\overline{a}[/code][/mm] liefert [mm]\overline{a}[/mm].
Ach natürlich. Mit b=a-1 hab ich die Rechnung nur komplizierter (und falsch) gemacht.
Vielen Dank für deine Hilfe und auch für die Schreibweise von [mm] \overline{a}
[/mm]
Micha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Do 26.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > Schaffst du [mm]w+U\subseteq v+U[/mm] jetzt selbst?
> > > >
> > > Ich denke schon:
> > >
> > > Wir wollen zeigen, dass w+U [mm]\subseteq[/mm] v+U ist.
> > > Sei dazu y [mm]\in[/mm] w+U
> > Dann gibt es ein [mm]a\in\IR[/mm]
> > > mit [mm]y=\vektor{1 \\ a+1}[/mm]
> >
> > > Sei
> > > b [mm]\in \IR[/mm] mit b:=a-1 so ist
> > > [mm]y=\vektor{1\\a+1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ (b-1)+1}[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\b}[/mm]
> >
> > Das mittlere Gleichheitszeichen stimmt nicht.
> >
> > Du suchst ein [mm]b\in\IR[/mm] mit [mm]\vektor{1\\a+1}=\vektor{1\\b}[/mm].
> > Diese Gleichung ist gleichbedeutend mit [mm]b=a+1[/mm]. Wähle also
> > für den Beweis [mm]b:=a+1[/mm] anstelle von [mm]b:=a-1[/mm].
> >
> > > Es ist also y [mm]\in[/mm] v+U und damit w+U [mm]\subseteq[/mm] v+U
> > Ansonsten stimmt es.
> >
> >
> > > PS: Ich wollte eigentlich anstelle von b eine a mit
> > > Überstrich verwenden. Wie kann ich das denn erzeugen?
> > [mm][code]\overline{a}[/code][/mm] liefert [mm]\overline{a}[/mm].
>
>
> Ach natürlich. Mit b=a-1 hab ich die Rechnung nur
> komplizierter (und falsch) gemacht.
> Vielen Dank für deine Hilfe und auch für die
> Schreibweise von [mm]\overline{a}[/mm]
in dem Zusammenhang hier würde ich eher
[mm] $\underline{a}$ [/mm] (\underline{a})
schreiben. [mm] $\overline{a}$ [/mm] wird gerne für die zu [mm] $a\,$ [/mm] konjugiert komplexe Zahl verwendet
(natürlich kann man hier sagen, dass aus dem Zshg. klar ist, dass das nicht
gemeint ist...)
Wobei es natürlich auch Leute gibt, bei denen [mm] $\underline{a}$ [/mm] eine spezielle Bedeutung
hat (siehe Tensoranalysis etwa...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Do 26.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Tobias,
> vielen Dank für deine Antwort. Die Gedanken zu [mm]\IR^n[/mm] hab
> ich mir auch schon gemacht. In [mm]\IF_2[/mm] empfand ich dann die
> Lösung aber eindeutiger. Also hier meine Versuch zu deinem
> Vorschlag.
>
> > Ja, ist sie!
> >
> Das Zeichen sehe ich gerne
>
> > > Dann hätte ich noch eine Frage: Wäre hier eine Lösung
> > > der Aufgabe in [mm]\IR^n[/mm] auch möglich?
> > Ja. Z.B. [mm]V=\IR^2[/mm], [mm]U=\langle(0,1)\rangle[/mm], [mm]v=(1,0)[/mm],
> [mm]w=(1,1)[/mm].
> > Wie lauten dann [mm]v+U[/mm] und [mm]w+U[/mm]?
> >
> [mm]U+v=\left\lbrace \vektor{1 \\ a} | a \in \IR \right\rbrace[/mm]
>
> [mm]U+w=\left\lbrace \vektor{1 \\ a+1} | a \in \IR \right\rbrace[/mm]
>
> Jetzt müßte man noch argumentieren, daß a [mm]\in (-\infty,\infty)[/mm]
> und (a+1) [mm]\in (-\infty,-\infty)[/mm] ist. Damit ist U+v=U+w.
Tobias hatte das ja schon (formal) korrekt erklärt, indem er
$A=B [mm] \iff [/mm] (A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \wedge [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A)$
bewiesen hat. (Bzw. gesagt hat, was dabei zu tun ist!)
"Kurz" würde es hier eigentlich reichen, zu sagen, dass:
[mm] $\IR\;=\;\{r:\;r \in \IR\}\;=\;\{a+1:\; a \in \IR\}$ [/mm] (ich dürfte auch [mm] $\{r:\;r \in \IR\}\;=\;\{r+1:\; r \in \IR\}$
[/mm]
schreiben, aber auch sowas kann "ungeübte Leser" verwirren...)
(in "trivialer Weise") gilt und dass damit die obige Mengengleichheit auch
"trivial" ist. Aber gerade am Anfang des Studiums ist die Vorgehensweise
von Tobi natürlich besser. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Do 26.09.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Marcel,
vielen Dank für deinen Hinweis. Werde ich berücksichtigen.
In meinem Script wird [mm] \overline{a} [/mm] auch als Restklasse von [mm] \IZ [/mm] modulo [mm] n\IZ [/mm] verwendet. Ich selber finde den Mengenbeweis, den Tobi vorgeschlagen hat recht übersichtich. Hab ich in dem Moment aber nicht dran gedacht.
Grüße,
Micha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Do 26.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Micha,
> Hallo Marcel,
> vielen Dank für deinen Hinweis. Werde ich
> berücksichtigen.
>
> In meinem Script wird [mm]\overline{a}[/mm] auch als Restklasse von
> [mm]\IZ[/mm] modulo [mm]n\IZ[/mm] verwendet.
ja, das kenne ich aus der Zahlentheorie (Müller-Stach, Piontkowski). Ich
habe das - für mich - selber umgeändert in [mm] $^n\overline{a}.$
[/mm]
> Ich selber finde den
> Mengenbeweis, den Tobi vorgeschlagen hat recht
> übersichtich.
Ja klar, wie gesagt: Das ist auch die "ganz klare Geschichte" sozusagen.
Gruß,
Marcel
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> Geben Sie ein Beispiel für einen [mm]\IK[/mm] - Vektorraum V, einen
> Unterraum U und zwei verschiedene Elemente v und w in
> [mm]V\setminus[/mm] W, sodass v+U=w+U ist ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Hallo,
was soll da eigentlich mit W gemeint sein ??
Vermutlich U , oder nicht ?
Falls ja, kann man doch für v ein beliebiges Element
aus V [mm] \setminus [/mm] U nehmen , ferner ein beliebiges Element d
(ungleich dem Nullvektor) in U , und dann w:=v+d setzen.
LG
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