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Äquivalenzrelation Wkeitfkt: Tipp, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Do 19.11.2020
Autor: TS85

Aufgabe
[mm] (\Omega,P) [/mm] diskrete WRaum mit Wkeitsfunktion [mm] p:\Omega \rightarrow [/mm] [0,1] und ~ eine Äquivalenzrelation auf [mm] \Omega. [/mm]
[mm] \Omega' [/mm] die Menge der Äquivalenzklassen.
[mm] p':\Omega' \rightarrow[0,1] [/mm] wird durch p'([x]):= [mm] \summe_{y \in [x]}p(y) [/mm]
für x [mm] \in \Omega [/mm] gebildet. p'  ist wohldefiniert mit [0,1].

a) Zz, dass p' eine Wkeitsfunktion auf [mm] \Omega' [/mm] definiert. P sei die zug. Wkeitsverteilung.

b) Annahme, [mm] (\Omega,P) [/mm] ist Laplace-Raum. Z.z., dass [mm] (\Omega',P') [/mm]
genau dann Laplace-Raum ist, wenn alle Äquivalenzklassen gleiche Mächtigkeit besitzen.

Hallo,

die Übungsaufgabe geht eigentlich noch weiter mit dem Bezug auf die Urnenmodell (I,II,III,IV), hier ist mir allerdings grob ein Lösungsweg bekannt.

Bei den anderen beiden Teilaufgaben fehlt mir allerdings vollkommen ein vergleichbarer Ansatz.

zu a)
[mm] P'([x])=p'(\{b \in A | b \sim x\})=\summe_{y\in\{b \in A | b \sim x\})}p(y)=1, [/mm]
mit [mm] P'(\Omega)=1, [/mm] da [mm] \Omega [/mm] abz. nicht-leere Menge.

zu b) Vermutlich muss hier iwie benutzt werden, dass sich die Äquivalenzklassen mit gleicher Kardinalität injektiv (?) auf [mm] (\Omega,P) [/mm] abbilden lassen

Lösungsvorschläge wären hilfreich..

        
Bezug
Äquivalenzrelation Wkeitfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Do 19.11.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> zu a)
>  [mm]P'([x])=p'(\{b \in A | b \sim x\})=\summe_{y\in\{b \in A | b \sim x\})}p(y)=1,[/mm]

Das sind alles triviale Umformungen bis auf das letzte Gleichheitszeichen, was im Allgemeinen falsch ist.

Was willst du hier eigentlich zeigen?
Zu zeigen ist doch:
i) $p'([x]) [mm] \ge [/mm] 0$
ii) [mm] $\summe_{[x] \in \Omega'} [/mm] p'([x]) = 1$

Zeige das.

> zu b) Vermutlich muss hier iwie benutzt werden, dass sich
> die Äquivalenzklassen mit gleicher Kardinalität injektiv
> (?) auf [mm](\Omega,P)[/mm] abbilden lassen

Nö.
Schreibe hin: Was bedeutet es, dass [mm] $\Omega$ [/mm] ein Laplace-Raum ist?
Nimm dazu an, dass die Mächtigkeit von [mm] $\Omega$ [/mm] gleich $n$ ist.

Welchen Wert hat dann $p'([x])$?

Soll nun [mm] $\Omega'$ [/mm] ebenfalls ein Laplace-Raum sein, was weißt du dann über zwei beliebige Werte [mm] $p'([x_1])$ [/mm]  und [mm] $p'([x_2])$? [/mm]
Was bedeutet das also für [mm] $[x_1]$ [/mm] und [mm] $[x_2]$? [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrelation Wkeitfkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Fr 20.11.2020
Autor: TS85

Bei i) komme ich auf diese Weise aber wieder nur auf Umformung,
da nach Aufgabenstellung doch bereits [mm] p'([x])\ge [/mm] 0 gilt, d.h.

p'([x]) = [mm] \summe_{y \in [x]}\underbrace{p(y)}_{\ge 0}\ge [/mm] 0

ii) [mm] \summe_{[x] \in \Omega'}p'([x])=\summe_{[x] \in \Omega'}\summe_{y \in [x]}p(y)=\summe_{y \in \Omega'}p(y)\underbrace{=}_{?}\summe_{x \in \Omega}p(x)=P(\Omega)=1 [/mm]

Warum gilt das? Reicht das Argument, dass [x] die Äquivalenzklasse von x ist?

b.)
Dass alle Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeiten besitzen (Laplace-Raum)
mit p'([x])=1/n. Wenn alle Äquivalenzklassen gleiche Kardinalität haben, ist
[mm] (\Omega',P') [/mm] auch ein Laplace Raum. Was soll hier denn gezeigt werden?

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzrelation Wkeitfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Fr 20.11.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Bei i) komme ich auf diese Weise aber wieder nur auf
> Umformung,
>  da nach Aufgabenstellung doch bereits [mm]p'([x])\ge[/mm] 0 gilt,
> d.h.
>  
> p'([x]) = [mm]\summe_{y \in [x]}\underbrace{p(y)}_{\ge 0}\ge[/mm] 0

[ok]

> ii) [mm]\summe_{[x] \in \Omega'}p'([x])=\summe_{[x] \in \Omega'}\summe_{y \in [x]}p(y)[/mm]

Bis hier hin alles ok

> [mm] $=\summe_{y \in \Omega'}p(y)$ [/mm]

Das stimmt nicht und macht auch keinen Sinn.
Warum?
Ist $y [mm] \in \Omega'$ [/mm] macht $p(y)$ gar keinen Sinn, denn $p$ bildet ja von [mm] $\Omega$ [/mm] nach $[0,1]$ und nicht aus [mm] $\Omega'$ [/mm]

> [mm]\underbrace{=}_{?}\summe_{x \in \Omega}p(x)=P(\Omega)=1[/mm]

Das stimmt wieder.

Also zusammengefasst:
[mm]\summe_{[x] \in \Omega'}p'([x])=\summe_{[x] \in \Omega'}\summe_{y \in [x]}p(y)\underbrace{=}_{?}\summe_{x \in \Omega}p(x)=P(\Omega)=1[/mm]

Und wie du gut erkannt hast, liegt der Knackpunkt hier in der mit "?" bezeichneten Gleichung.

> Warum gilt das? Reicht das Argument, dass [x] die Äquivalenzklasse von x ist?

Nein.
Die Menge der Äquivalenzklassen ist eine Partition von [mm] $\Omega$. [/mm]
Was bedeutet das?
Zwei elementare Eigenschaften sind in dem Begriff "Partition" enthalten, welche?


> b.)
>  Dass alle Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeiten
> besitzen (Laplace-Raum)  mit p'([x])=1/n.

Nein, das stimmt im Allgemeinen nicht.
Ist [mm] $|\Omega| [/mm] = n$ und [mm] $\Omega$ [/mm] ein Laplace-Raum, so gilt $p(x) = [mm] \frac{1}{n}$ [/mm]
Aber im Allgemeinen ist [mm] $p'([x])\not=\frac{1}{n}$. [/mm]

Wovon hängt es denn ab, wie groß $p'([x])$ ist?

Mach doch mal ein Beispiel, nimm bspw: [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,4,5,6\}, [/mm] p(x) [mm] \equiv \frac{1}{6}$ [/mm]

Betrachte einmal die Äquivalenzrelation: [mm]x\sim y \gdw 2|(x-y)[/mm] und einmal die Äquivalenzrelation [mm]x \sim y \gdw (x,y) \in \{1,2\}^2 \vee (x,y) \in \{3,4,5,6\}^2[/mm]

Wie sieht jeweils [mm] $\Omega'$ [/mm] aus, d.h. wie viele Elemente hat [mm] $\Omega'$ [/mm] und was ist die Wahrscheinlichkeit p' für jedes der Elemente?

>  Wenn alle Äquivalenzklassen gleiche Kardinalität haben, ist
>  [mm](\Omega',P')[/mm] auch ein Laplace Raum.

Ja, die Richtung ist ja auch trivial, interessant ist hier die Rückrichtung, nämlich:
Ist [mm](\Omega',P')[/mm] ein Laplace Raum, so haben alle Äquivalenzklassen gleiche Kardinalität.

Gruß,
Gono

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Äquivalenzrelation Wkeitfkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:54 Sa 21.11.2020
Autor: TS85

Hier würde ich beim ? jetzt argumentieren, dass
gilt
[mm] ...\summe_{[x]\in \Omega'}\summe_{y \in [x]}p(y)=p(\bigcup_{[x] \in \Omega'}\bigcup_{y \in [x]}y)=p(\bigcup_{x\in \Omega}x)=... [/mm]
da Äquivalenzrelation auf [mm] \Omega [/mm] gegeben und die Menge der Äquivalenzrelationen bildet eine Partition von [mm] \Omega, [/mm] d.h. es liegen paarweise disjunkte Teilmengen vor.

Bei der ersten Relation ist mir etwas unklar, was sie genau aussagt. 2 eingeschränkt auf (x-y)? Wenn ich es wie bei der 2. Relation als eine Art "Differenz von Augenzahlen von 2 Würfeln" interpretieren würde, bekomme
ich [mm] \Omega'=\{-10,-8,...,8,10\} [/mm]
und [mm] \Omega=\{\{1,1\},\{1,2\},...,\{6,6\}\} [/mm] mit 36 Ereignissen. Beim Urbild sind alle Ereignisse gleich wahrscheinlich mit [mm] p(\{\omega_1,\omega_2\})=1/36, [/mm]
bei der Äquivalenzklasse allerdings dann unterschiedlich.

Bei der 2. wäre [mm] \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} [/mm] und [mm] \Omega'=\{\{1,1\},\{1,2\},\{2,1\},\{2,2\}\}\cup\{\{3,3\},\{3,4\},...,\{6,6\}\} [/mm]
Also insgesamt 20 Ereignisse mit [mm] p(\{\omega_1,\omega_2\}=1/20 [/mm]

Abgesehen davon, ob das überhaupt stimmt, was genau bringt mir das nun für die Aufgabe? Ich sehe hier nicht, wie ich das nutzen soll für einen Gegenrichtungsbeweis bei gleicher Kardinalität.

Etwas genaueres wäre nett, bis in den Sonntag hinein nachdenken wäre nicht ganz so schön..

Bezug
                                        
Bezug
Äquivalenzrelation Wkeitfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:23 Sa 21.11.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hier würde ich beim ? jetzt argumentieren, dass
>  gilt
>  [mm]...\summe_{[x]\in \Omega'}\summe_{y \in [x]}p(y)=p(\bigcup_{[x] \in \Omega'}\bigcup_{y \in [x]}y)=p(\bigcup_{x\in \Omega}x)=...[/mm]
>  
> da Äquivalenzrelation auf [mm]\Omega[/mm] gegeben und die Menge der
> Äquivalenzrelationen bildet eine Partition von [mm]\Omega,[/mm]
> d.h. es liegen paarweise disjunkte Teilmengen vor.

Aha! Es liegen paarweise disjunkte Teilmengen vor UND die Vereinigung aller Äquivalenzklassen entspricht [mm] $\Omega$. [/mm]
D.h. insbesondere: [mm] $\bigcup_{[x] \in \Omega'} \{ y | y \in [x]\} [/mm] = [mm] \Omega$ [/mm] als auch, die $[x]$ sind disjunkt.
Damit wäre i) gezeigt.

> Bei der ersten Relation ist mir etwas unklar, was sie genau aussagt. 2 eingeschränkt auf (x-y)?

Nein, | bedeutet "teilt". D.h. "2|(x-y)" bedeutet "2 teilt (x-y)" und damit zerlegt $x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] 2|(x-y)$ die Ausgangsmenge in zwei Äquivalenzklassen, nämlich "ist durch 2 teilbar" und "ist nicht durch 2 teilbar".

Mach dir das klar.

> Bei der 2. wäre [mm]\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}[/mm] und
> [mm]\Omega'=\{\{1,1\},\{1,2\},\{2,1\},\{2,2\}\}\cup\{\{3,3\},\{3,4\},...,\{6,6\}\}[/mm]

[notok]
[mm] $\Omega'$ [/mm] besteht gerade bei dir ja aus 2-Tupeln und NICHT aus Äquivalenzklassen.
Als Tipp: Hier bekommst heraus, dass [mm] $\Omega'$ [/mm] aus 2 Elementen besteht.
Eine Äquivalenzklasse mit 2 Elementen und eine mit 4 Elementen.

Du solltest dringend nochmal das Thema Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen anschauen…
Fang am besten erst mal damit an beider jeder der beiden Äquivalenzrelationen zu bestimmen, welche Elemente äquivalent sind… und dann gibst du die dazugehörigen Äquivalenzklassen an.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
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Äquivalenzrelation Wkeitfkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:39 So 22.11.2020
Autor: TS85

Keine Ahnung, leider haben Äquivalenzklassen relativ wenig mit der Vorlesung zu tun, mit anderen Worten werden wieder Kenntnisse von woanders her vorausgesetzt.
Aufgabe kann ich mir mehr oder weniger schenken, da sowieso nichts sinvolles bei raus kommt..

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