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Forum "Relationen" - Äquivalenzrelation beweisen
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Äquivalenzrelation beweisen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Di 13.10.2015
Autor: MinLi

Aufgabe
Gegeben sei die Menge X und die Teilmenge Y [mm] \subset [/mm] X. Auf der Potenzmenge P(X) gibt es folgende Relation:
[mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in [/mm] P(X): A [mm] \sim [/mm] B [mm] :\gdw [/mm] ((A\ B) [mm] \cup [/mm] (B\ A)) [mm] \subset [/mm] Y.
Zeigen Sie, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Guten Tag,

Ich soll die obige Aufgabe lösen aber leider komme ich bei der Transitivität nicht weiter. Reflexivität und Symmetrie habe ich geschafft, aber bei der Transitivität fehlt mir der Ansatz.
Nach Voraussetzung gilt bei der Transitivität A [mm] \sim [/mm] B und B [mm] \sim [/mm] C und dann soll man damit A [mm] \sim [/mm] C zeigen.
Ich habe das dann folgendermaßen ausgeschrieben: ((A\ B) [mm] \cup [/mm] (B\ A)) [mm] \subset [/mm] Y und ((B\ C) [mm] \cup [/mm] (C\ B)) [mm] \subset [/mm] Y. Dann gilt ja auch dass die Vereinigung dieser beiden Teilmengen in Y ist und wegen der Kommutativität und Assoziativität der Vereinigung bin ich dann auf ((A\ B) [mm] \cup [/mm] (B\ C)) [mm] \cup [/mm] ((C\ B) [mm] \cup [/mm] (B\ A)) [mm] \subset [/mm] Y gekommen. Und dann weiß ich nicht mehr richtig weiter.
Bitte nur einen kleinen Tipp geben, ich würde es am liebsten selbst ausschreiben.

Viele Grüße, MinLi.

        
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Di 13.10.2015
Autor: UniversellesObjekt

Es kann helfen, etwas umzuformen:

[mm] $(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\subseteq [/mm] Y$
[mm] $(A\setminus B)\subseteq [/mm] Y$ und [mm] $B\setminus A\subseteq [/mm] Y$
[mm] $A\subseteq B\cup [/mm] Y$ und [mm] $B\subseteq A\cup [/mm] Y$
[mm] $A\cup Y\subseteq B\cup [/mm] Y$ und [mm] $B\cup Y\subseteq A\cup [/mm] Y$
[mm] $A\cup Y=B\cup [/mm] Y$

Dass [mm] $A\sim B\iff A\cup Y=B\cup [/mm] Y$ eine Äquivalenzrelation ist, ist viel leichter zu beweisen.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
        
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Di 13.10.2015
Autor: tobit09

Hallo MinLi!


> Reflexivität und
> Symmetrie habe ich geschafft, aber bei der Transitivität
> fehlt mir der Ansatz.
> Nach Voraussetzung gilt bei der Transitivität A [mm]\sim[/mm] B und
> B [mm]\sim[/mm] C und dann soll man damit A [mm]\sim[/mm] C zeigen.
>  Ich habe das dann folgendermaßen ausgeschrieben: ((A\ B)
> [mm]\cup[/mm] (B\ A)) [mm]\subset[/mm] Y und ((B\ C) [mm]\cup[/mm] (C\ B)) [mm]\subset[/mm] Y.
> Dann gilt ja auch dass die Vereinigung dieser beiden
> Teilmengen in Y ist und wegen der Kommutativität und
> Assoziativität der Vereinigung bin ich dann auf ((A\ B)
> [mm]\cup[/mm] (B\ C)) [mm]\cup[/mm] ((C\ B) [mm]\cup[/mm] (B\ A)) [mm]\subset[/mm] Y gekommen.

[ok] Gute Grundlage; das lässt sich weiterführen.


Wo wollen wir hin?
Wir wollen

(*)       [mm] $(A\setminus C)\cup(C\setminus A)\subseteq [/mm] Y$

zeigen.


Dazu zeigen wir zunächst

(**)      [mm] $A\setminus C\subseteq (A\setminus [/mm] B) [mm] \cup(B\setminus [/mm] C)$.

Mit analogem Beweis oder aus Symmetriegründen erhalten wir auch

(***)      [mm] $C\setminus A\subseteq (C\setminus B)\cup(B\setminus [/mm] A)$.


Gerüst zum Nachweis von (**):
Sei [mm] $x\in A\setminus [/mm] C$.
Zu zeigen ist [mm] $x\in (A\setminus B)\cup(B\setminus [/mm] C)$.
Unterscheide dazu die Fälle [mm] $x\in [/mm] B$ und [mm] $x\notin [/mm] B$.


Kannst du (**) mit diesem Gerüst selbst beweisen und/oder (*) aus (**),(***) und deiner Überlegung aus deiner Ausgangsfrage folgern?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Mi 14.10.2015
Autor: MinLi

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe zu deinem Lösungsvorschlag noch eine Frage:

Zu (**): sei x [mm] \in [/mm] A\ C und ich unterscheide die zwei Fälle:

1.Fall: x [mm] \in [/mm] B, dann gilt x [mm] \in [/mm] A, x [mm] \not\in [/mm] C und x [mm] \in [/mm] B.

2. Fall: x [mm] \not\in [/mm] B, dann gilt x [mm] \in [/mm] A, x [mm] \not\in [/mm] C und x [mm] \not\in [/mm] B.

Kann man nun aus dem ersten Fall folgern dass x [mm] \in [/mm] B\ C? Und was mache ich dann mit x [mm] \in [/mm] A? Wenn man das so schließen kann, dann kann ich aus dem 2.Fall folgern dass x [mm] \in [/mm] A\ B und daraus würde dann folgen dass A [mm] \C \subseteq [/mm] (A\ B) [mm] \cup [/mm] (B\ C).

Viele Grüße, MinLi

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzrelation beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Mi 14.10.2015
Autor: tobit09


> Zu (**): sei x [mm]\in[/mm] A\ C und ich unterscheide die zwei
> Fälle:
>  
> 1.Fall: x [mm]\in[/mm] B, dann gilt x [mm]\in[/mm] A, x [mm]\not\in[/mm] C und x [mm]\in[/mm]
> B.
>  
> 2. Fall: x [mm]\not\in[/mm] B, dann gilt x [mm]\in[/mm] A, x [mm]\not\in[/mm] C und x
> [mm]\not\in[/mm] B.
>  
> Kann man nun aus dem ersten Fall folgern dass x [mm]\in[/mm] B\ C?

Ja, denn [mm] $x\in B\setminus [/mm] C$ bedeutet nach Definition von [mm] $B\setminus [/mm] C$ ja gerade: [mm] $x\in [/mm] B$ und [mm] $x\notin [/mm] C$. Beides liegt im 1. Fall vor.


> Und was mache ich dann mit x [mm]\in[/mm] A?

Das benötigst du im 1. Fall gar nicht (aber im 2. Fall).


> Wenn man das so
> schließen kann, dann kann ich aus dem 2.Fall folgern dass
> x [mm]\in[/mm] A\ B

[ok]


> und daraus würde dann folgen dass A [mm]\setminus C \subseteq[/mm]
> (A\ B) [mm]\cup[/mm] (B\ C).

[ok]

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