Äquivalenzrelation zeigen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Jule2 |
| Aufgabe | Auf der Menge der ganzen Zahlen [mm] \IZ [/mm] sei eine Relation R wie folgt gegeben.
Für [mm] m;n\varepsilon \IZ [/mm] gilt mRn, falls m-n gerade ist.
Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
Bestimmen Sie außerdem die Restklassen (oder Äquivalenzklassen)
[mm] \left[ 0 \right] [/mm] und [mm] \left[ 1 \right] [/mm] |
Hallo zusammen!
Also um zu zeigen ob R eine Äquivalenzrelation ist muss ich auf
-symmetrie
-reflexivität
-transitivität
prüfen!
Da m-n gerade sein soll hab ich mir gedacht ich schreibe
m-n=2k für [mm] k\varepsilon\IZ
[/mm]
Dann zuerst auf symmetrie prüfen:
m-n=n-m
m-n=2k
-2k=-m+n
2k=m+n
Reflexivität:
m-m=0
Ist refelxiv da 0=2k gilt!
Transitivität:
m-n=2k und n-p=2k [mm] \Rightarrow [/mm] m-p=2k
so hier nun mein erstes problem ich weiss das entweder m, n und p ungerade oder gerade sind und somit auch m-p gerade sein muss aber wie zeig ich dass ?
Und nun zu den Restklassen hab mir gedacht
[mm] \left[ 0 \right]:=\{2k | k\varepsilon\IZ\}
[/mm]
[mm] \left[ 1 \right]:=\{2k-1 | k\varepsilon\IZ\}
[/mm]
Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte!
Grüße Jule
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Hallo Jule,
sagen wirs mal so: zuviel k.
> Auf der Menge der ganzen Zahlen [mm]\IZ[/mm] sei eine Relation R wie
> folgt gegeben.
> Für [mm]m;n\varepsilon \IZ[/mm] gilt mRn, falls m-n gerade ist.
> Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
> Bestimmen Sie außerdem die Restklassen (oder
> Äquivalenzklassen)
> [mm]\left[ 0 \right][/mm] und [mm]\left[ 1 \right][/mm]
> Hallo zusammen!
> Also um zu zeigen ob R eine Äquivalenzrelation ist muss
> ich auf
>
> -symmetrie
> -reflexivität
> -transitivität
> prüfen!
Sind das nur notwendige oder (in der Kombination) auch hinreichende Bedingungen?
> Da m-n gerade sein soll hab ich mir gedacht ich schreibe
> m-n=2k für [mm]k\varepsilon\IZ[/mm]
Das fängt gut an! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann zuerst auf symmetrie prüfen:
> m-n=n-m
> m-n=2k
> -2k=-m+n
Fein. Letzteres ist eine Äquivalenzumformung.
> 2k=m+n
Dies dagegen nicht.
Wenn m-n=2k ist, dann ist n-m=(-2)*k=2*(-k), und damit ebenso gerade.
> Reflexivität:
> m-m=0
> Ist refelxiv da 0=2k gilt!
Schon, aber nur für k=0.
> Transitivität:
> m-n=2k und n-p=2k [mm]\Rightarrow[/mm] m-p=2k
> so hier nun mein erstes problem ich weiss das entweder m,
> n und p ungerade oder gerade sind und somit auch m-p gerade
> sein muss aber wie zeig ich dass ?
Hier wird es am deutlichsten.
Sei m-n=2s und n-p=2t, dann ist m-2=2s+2t=2(s+t), also gerade.
> Und nun zu den Restklassen hab mir gedacht
> [mm]\left[ 0 \right]:=\{2k | k\varepsilon\IZ\}[/mm]
> [mm]\left[ 1 \right]:=\{2k-1 | k\varepsilon\IZ\}[/mm]
Gut gedacht.
Grüße
reverend
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