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Äquivalenzrelationen: Zeigen mit ~
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Sa 08.11.2014
Autor: Valkyrion

Aufgabe
(a)Zeige, dass auf der Menge ℕ × ℕ durch (n,m) ∼ (k,l) ∶⇔ n + l = k + m eine Äquivalenzrelation gegeben ist.

(b)Zeichne eine günstig gewählte endliche Teilmenge von
ℕ×ℕ und markiere in deiner Zeichnung, welche Elemente von
ℕ × ℕ durch ∼ äquivalent sind.
(c) Sei nun M ≔ ℕ × ℕ_{/∼}. Zeige, dass durch die Vorschrift [mm] [(m,n)]_{∼}+ [(k,l)]_{∼}=[(m [/mm] + k, [mm] n+l)]_{∼} [/mm] eine Verknüpfung + auf M definiert ist.
(d)Zeige: Zu jedem k ∈ M gibt es ein Element −k ∈ M, sodass
k +(−k) = [(1, [mm] 1)]_{∼} [/mm] gilt.
(e)Finde eine injektive Abbildung i ∶ ℕ → M, sodass M wie folgt als disjunkte Vereinigung geschrieben werden kann:
M = i(ℕ) ∪ {[(1, [mm] 1)]_{~}} [/mm] ∪ {−k ∣k ∈ i(ℕ)}
(f)Zeige, dass(M,+) eine Gruppe ist.

Das sind Übungsaufgaben aus einem Mathematik-Lehramtsstudium; Erst mal muss ich sagen, dass ich doch ziemlich geschockt bin wie kompliziert abstrakt und unverständlich man auch einfachste Sachverhalte formulieren kann; Desweiteren verstehe ich nicht was es mir bringt, diese Sachverhalte in dieser abstrakten Form zu lernen, an Schüler werde ich das so sicherlich nicht weitergeben.
So genug ausgekotzt; Zu den Aufgaben:
(In der Vorlesung dazu haben wir die Peanoschen Axiome behandelt; Die 0 ist bei uns keine natürliche Zahl!)

zu a) hier würde ich zeigen:
Reflexivität: (n,m)~(n,m) & (k,l)~(k,l) bzw. n+l=n+l & k+m=k+m
Symmetrie: (n,m)~(k,l) & (k,l)~(n,m) bzw. (n+l=k+m) = (k+m=n+l) oder muss ich hier zeigen: n+l =k+m = l+k = m+k

zu b) Sei [mm] R\subseteq [/mm] ℕ × ℕ ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Es sind immer diejenigen Zahlenpaare zueinander äquivalent deren Paarelemente dengleichen Abstand zueinander haben: also: (2,3)~(4,5),(2,3)~(6,7), (2,3)~(3,4), (2,3)~(4,5), (2,5)~(7,10); nicht aber (2,3)~(5,8) oder (2,3)~(4,6)

zu c) m,n,k,l [mm] \in \IN; [/mm] & (m+k), (n+l) [mm] \in \IN \Rightarrow [/mm] Verknüpfung + ist auf M definiert.

d) k + das inverse k  = der Äquivalenzklasse von (1,1)? Was heißt das?
zu e) ? (also injektiv und disjunkte Vereinigung sind klar)
zu f) Mit dem inversen Element erhält man ja die 0 als Ergebnis; das neutrale Element wäre + 0; Aber in unserer Vorlesung haben wir die Natürlichen Zahlen als ohne 0 definiert. Also kann man doch nur noch über die Assoziativität zeigen, dass es sich um eine Gruppe handelt. Da weiß ich aber auch nicht, wie ich das angehen soll


        
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Äquivalenzrelationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Sa 08.11.2014
Autor: abakus


> zu a) hier würde ich zeigen:
> Reflexivität: (n,m)~(n,m) & (k,l)~(k,l) bzw. n>
> +l=n+l & k+m=k+m

Was willst du hier mit zwei verschiedenen Zahlenpaaren?
Es gilt  (n,m)~(n,m),
weil n+m=m+n gilt.
Auch die Symmetrie musst du nochmal überarbeiten.

Wo bleibt übrigens dein Nachweis der Transitivität?

Gruß Abakus

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Äquivalenzrelationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:59 Sa 08.11.2014
Autor: Valkyrion

???

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Äquivalenzrelationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:03 Sa 08.11.2014
Autor: abakus

Ich musste nochmal editieren, weil die Zitierfunktion nicht funktionierte.

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Äquivalenzrelationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:40 Sa 08.11.2014
Autor: Valkyrion

Mein Problem ist halt, das ich mit dieser ganzen formellen abstrakten Schreibweise nicht wirklich klar komm;

Es gilt  (n,m)~(n,m),

> weil n+m=m+n gilt.

Ist das jetzt der Nachweis der Reflexivität?
Was ist mit (k,l)? Was ist mit der rechten Seite der Äquivalenzrelation (also dem n+l bzw. dem k+m)?


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Äquivalenzrelationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:59 Sa 08.11.2014
Autor: chrisno

Gehe zurück auf Los. Wie ist die Reflexivität definiert? Mit dieser Definition sollte sich Deine Frage klären, wenn nicht, frag weiter.

Es ist schade, wenn Du nicht vor dem Studienbeginn erfahren hast, was in dem Studium passiert. Als Lehrer sollst Du die Dinge so gut verstehen, dass Du die Fehler in den Schulbüchern bemerkst und Dir selbst Gedanken machen kannst, welche didaktische Reduktion für welche Altersstufe angemessen ist.

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Äquivalenzrelationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:39 Sa 08.11.2014
Autor: Valkyrion

Also ich gehe jetzt mal davon aus, dass das der Nachweis für die Reflexivität ist. Die Frage für (k,l) bleibt; Muss ich das für (k,l) anlog auch noch hinschreiben? (ich nehme an, da bei der Rflexivität ja jedes Objekt zu sich selbst äquivalent sein soll)

Sieht dann der Nachweis für die Symmetrie so aus?:
(n, m) ∼ (k, l) ∶⇔ n + l = k + m
[mm] \Rightarrow [/mm] (k, l) ∼ (n, m) ∶⇔ k + m = n + l

Bezug
                                
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Äquivalenzrelationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:55 So 09.11.2014
Autor: angela.h.b.


> Also ich gehe jetzt mal davon aus, dass das der Nachweis
> für die Reflexivität ist.

Hallo,

besser wäre es, Du würdest verstehen, daß abakus Dir die Reflexivität vorgemacht hat...

Was ist für die Refelxivität zu zeigen? Daß jedes Element der Menge in Relation zu sich selber steht.

abakus hat ein beliebiges Element [mm] (n,m)\in\IN\times\IN [/mm] hergenommen und mithilfe der Def. für [mm] \sim [/mm] gezeigt, daß es in Relation zu sich selber steht.

> Die Frage für (k,l) bleibt;
> Muss ich das für (k,l) anlog auch noch hinschreiben?

"Natürlich" nicht. Sonst müßtest Du das ja auch für (a,z) machen und für (p,k) und für [mm] (\Theta, [/mm] A)...
Wofür sollte das gut sein? Es sind bloß andere Variablen.
Das (n,m) steht doch für ein ganz beliebiges Paar von natürlichen Zahlen.
Wenn Du den Nachweis für jedes Element einzeln führen willst, mußt Du ihn für unendlich viele Zahlenpaare führen, etwa für (1,2), (4711, 815), (815,4711) , (3,17). Du würdest niemals fertig werden, und es wäre schade, wenn Du Deine begrenzte Lebenszeit dafür verschwenden würdest, denn die Tätigkeit ist langweilig und wenig erhellend.
Also sagt man: ich nehme das Zahlenpaar (n,m) und zeige, daß es in Relation zu sich selber steht.
Du kannst Dein Zahlenpaar aber auch (a,b) nennen, wenn es Dir besser gefällt.


> (ich
> nehme an, da bei der Rflexivität ja jedes Objekt zu sich
> selbst äquivalent sein soll)

Ja. Es ist für unendlich viele Elemente zu zeigen. Daher machen wir das lieber mit Variablen, asl daß wir jedes mögliche Zahlenpaar untersuchen.


>

> Sieht dann der Nachweis für die Symmetrie so aus?:
> (n, m) ∼ (k, l) ∶⇔ n + l = k + m
> [mm]\Rightarrow[/mm] (k, l) ∼ (n, m) ∶⇔ k + m = n + l

Nicht ganz, aber Du bist schon nah dran.

Zunächst mal: bei der Symmetrie ist zu untersuchen, ob, wenn zwei Elemente zueinander in Relation stehen, sie auch "andersrum" in Relation stehen.
Die Elemente Deiner Menge sind Zahlenpaare.

Seien (n,m) und (k,l) Zahlenpaare aus [mm] \IN\times\IN, [/mm]
welche zueinander in Relation stehen, für welche also [mm] (n,m)\sim [/mm] (k,l) gilt.
Zu zeigen: dann ist auch  [mm] (k,l)\sim [/mm] (n,m).

Beweis:
Seien [mm] (n,m),(k,l)\in \IN\times\IN [/mm] mit
[mm] (n,m)\sim [/mm] (k,l).
==> n+l=m+k [mm] \qquad [/mm] nach Def. von [mm] \sim [/mm]
==> l+n=k+m  [mm] \qquad [/mm] Rechnen in den nat. Zahlen
==> k+m=l+n [mm] \qquad [/mm] Eigenschaft von =
==> [mm] (k,l)\sim(n,m) \qquad [/mm] Def. von [mm] \sim [/mm]

Beachte, wie ich hier aus der Voraussetzung durch begründete Schritte  am Ende die zu zeigende Behauptung
bekomme.


Jetzt fehlt noch die Transitivität:

Behauptung: wenn man drei Zahlenpaare (n,m), (k,l) und (p,q) hat, für welche
[mm] (n,m)\sim(k,l) [/mm] und [mm] (k,l)\sim(p,q) [/mm] gilt,
so gilt auch [mm] ((n,m)\sim(p,q). [/mm]

Beweis:
Seien (n,m), (k,l) und [mm] (p,q)\in \IN\times\IN [/mm] mit
[mm] (n,m)\sim(k,l) [/mm] und [mm] (k,l)\sim(p,q) [/mm]

==>...
==>...
... ... ... ... ... ...
==> [mm] (n,m)\sim(p,q) [/mm]

LG Angela

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Äquivalenzrelationen: Nachweis der Transitivität
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 So 09.11.2014
Autor: Valkyrion

Nachweis der Transitivität:
Seien (n,m), (k,l) & (p,q) [mm] \in \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] mit (n,m) [mm] \sim (k,l):\gdw [/mm] n+l=k+m & (k,l) [mm] \sim (p,q):\gdw [/mm] k+q=p+l

Dann gilt:
(n,m) [mm] \sim (k,l)\gdw [/mm] n+l=k+m [mm] \gdw [/mm] k = n+l+(-m) [mm] \gdw [/mm] n+l-m+q=p+l [mm] \gdw [/mm] n+q=p+m [mm] \gdw [/mm] (n,m) [mm] \sim [/mm] (p,q)

Darf ich das "-" verwenden oder "existiert" das in dieser Aufgabe noch gar nicht?

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Äquivalenzrelationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:08 Mo 10.11.2014
Autor: leduart

Hallo
1. zu b) zeichnen. die menge, die du hingeschrieben hast ist aus [mm] \IN [/mm] nicht  aus [mm] \IN\times \IN [/mm]
ausserdem soööst du das zeichnen also zeichne in die y-y Ebene ein Girrer mit Punkten (q,q) bis z.B (10,10= für dich vielleicht erstmal markiere äquivalente Punkte in rot, grün, blau. dann solltest du sehen, dass sie auf bestimmten Linien liegen, die du dann alle einzeichnen kannst mit den Worten alle zueinander äquivalenten Punkte liegen auf.....

jetzt zum nächsten
da -m nicht in N liegt kann man es nicht verwenden.

Ihr hattet dich sicher das  additive Inverse zu m bezeichnet mit (-m) mit m+(-m)=0
dann solltest du es so verwenden  also nicht m-m sondern m+(-m)
ich würde noch Zwischenschritte einsetzen  z,B
n+l+(-m)=k+m +(-m) usw

das rote war falsch
da -m nicht in N liegt kann man es nicht verwenden.
du musst also geschickt addieren.
wenn du das paar als Bruch schreibst und mal statt +
wie zeigst du a/b=c/d imd c/d=e/g  dass a/b=e/f wenn du nur weisst, zwei Brüche   a/b ,c/d  sind gleich wenn gilt
a*d=b*c
erstz das = durch [mm] \sim [/mm] und das * durch + dann hast du dasselbe wie deine Äquovalenz
Dann kommst du vielleicht auf die Idee Hauptnenner

Im täglichen Leben kommen immer wieder Äquivalenzklassen vor wenn du zwischen geraden und ungearden Zahlen und durch 13 Teilbare Zahlen usw. Menschen werden so eingeteilt in Männer und Frauen Deuitsche und Franzosen und Polen usw. in der Schule kommen sie auch vor
alele Brüche, die man als r*p(r*q schreiben kann sind eine Äquivalenzklasse mit der Relation (p,q)=(m,n) falls m*q=p*n
also [mm] 3/9\sim 1/3\sim [/mm] 222/666 usw
Schüler finden anfangs nicht, dass 1/3 und 222/666 "gleich! sind sie sehen zu verschieden aus, dann lernen sie es schließlich, weil man ea ihnen beitrimmt.
abstrakte Begriffe wie Funktion, Abbildung müssen Schüler verstehen.
Wenn du LehrerIn werden willst und den S wirklich Mathe und nicht nur Rechnen und "umformeln" beibringen willst solltest du mit etwas abstrakteren Begriffen umgehen können, und bald merken wie man sich durch die Benutzung an sie gewöhnt, und nicht nur gerade das, was du den S dann später beibringst.
Was willst du Schülern antworten die sagen warum soll ich differenzieren und integrieren können, ich will mal Arzt , Kaufmann usw werden? wirkliche mathematik kann man nur lehren, wenn man über das grade zu vermittelnde rausschauen kann, sonst bleibt man Rechen -und UmformungslehrerIn (von denen gibts leider ne Menge, vielleicht hattest du so jemand in der Schule.?)
womit ich dir recht gebe ist , dass manche Profs  den Übergang von Schule zu Uni zu abrupt machen und für den Anfang zu wenige Beispiele um die Definitionen als wichtig zu empfinden..
Aber bitte versuche Mathe zu lernen und nicht nur zweckgebundenes direkt für die Schule wichtiges. Dazu gibts dann (hoffentlich gute) Didaktik Veranstaltungen.
Gruß leduart

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Äquivalenzrelationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:22 Mo 10.11.2014
Autor: tobit09

Hallo Valkyrion!


leduart hat dir ja schon geschrieben, dass du Subtraktion beliebiger natürlicher Zahlen noch gar nicht zur Verfügung hast.


Aber sicherlich weißt du, dass für alle natürliche Zahlen $n,m,k$ gilt:

      [mm] $n+k=m+k\quad\Longrightarrow\quad [/mm] n=m$.


Diese Regel können wir zum Transitivitäts-Nachweis verwenden:

> Nachweis der Transitivität:
>  Seien (n,m), (k,l) & (p,q) [mm]\in \IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] mit (n,m) [mm]\sim (k,l):\gdw[/mm]
> n+l=k+m & (k,l) [mm]\sim (p,q):\gdw[/mm] k+q=p+l

Addierst du nun beide Gleichungen, so erhältst du:

      $(n+l)+(k+q)=(k+m)+(p+l)$.

Unter Anwendung des Assoziativ- und Kommutativgesetzes für natürliche Zahlen erhalten wir:

      $(n+q)+(k+l)=(m+p)+(k+l)$.

Wende nun die eingangs von mir genannte Regel an.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                        
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Äquivalenzrelationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:07 Mo 10.11.2014
Autor: Valkyrion

zu Aufgabe c) Wass muss ich denn zeigen, um zu zeigen, dass eine Verknüpfung definiert ist? Oder geht es hier mehr drum zu zeigen, dass durch die Addition natürlicher Zahlen auch wieder nur natürliche Zahlen herauskommen. Wie schreibe ich das dann formell korrekt hin? Seien m, n, k, l [mm] \in \IN \Rightarrow [/mm] m+k, bzw. n+l [mm] \in \IN [/mm]

zu d) sei k =1; 1 [mm] +(-1)=[(1,1)]_{\sim} [/mm]

k+1: k+1 [mm] +(-(k+1))=k+1-k-1=[(1,1)]_{\sim} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] k+(-k) = [mm] [(1,1)]_{\sim} [/mm]
zu e) sei l [mm] \in \IN; i(\IN)= [/mm] l+3

Bezug
                                                
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Äquivalenzrelationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:51 Mo 10.11.2014
Autor: leduart

Hallo
welche Eigenschaften hattet ihr den für Verknüpfungen? a+(b+c) 0=((a+b)+c
oder aus a+b=a+c folgt b=c, oder a+b=b+a)
alle eigenschaften, die ihr hattet musst du nachweisen. dass da nur Zahlen aus [mm] \N [/mm] stehen ist trivial,

zu d) da steht [mm] k\in [/mm] M also ist es ein Zahlenpaar k= (m,n)  oder [mm] (k_1,k_2)du [/mm] sollst zeigen dass es ein Paar [mm] (k_3,k_4,) [/mm]  gibt so dass [mm] (k_1,k_2)+(k_3,k_4)=[(1,1) [/mm] ]ist dann nennt er dieses [mm] (k_3,k_4)=-k [/mm]
ich denke die Klammern sollen sagen, dass du nicht (1,1) sondern ein Element der Äquivalenzklasse zu der (1,1) gehört, und das sind alle Paare (n,n) denn [mm] \(n,n)\sim [/mm] (1,1)wegen n+1=n+1
Gruß leduart



Bezug
                                                
Bezug
Äquivalenzrelationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:08 Mo 10.11.2014
Autor: tobit09


> zu Aufgabe c) Wass muss ich denn zeigen, um zu zeigen, dass
> eine Verknüpfung definiert ist? Oder geht es hier mehr
> drum zu zeigen, dass durch die Addition natürlicher Zahlen
> auch wieder nur natürliche Zahlen herauskommen. Wie
> schreibe ich das dann formell korrekt hin? Seien m, n, k, l
> [mm]\in \IN \Rightarrow[/mm] m+k, bzw. n+l [mm]\in \IN[/mm]

Ja, das ist in der Tat notwendig dafür, dass durch die Vorschrift aus der Aufgabenstellung eine Verknüpfung auf $M$ definiert werden kann.

Es gibt aber noch ein weiteres Problem:

Wir müssen ja eigentlich für alle [mm] $A,B\in [/mm] M$ erklären, was $A+B$ sein soll.
Die Vorschrift dafür lautet nun bei vorgegebenen [mm] $A,B\in [/mm] M$:
WÄHLE natürliche Zahlen $m,n$ mit [mm] $A=[(m,n)]_\sim$ [/mm] und natürliche Zahlen $k,l$ mit [mm] $B=[(k,l)]_\sim$. [/mm]
Solche Zahlen existieren wegen [mm] $A,B\in M=(\IN\times\IN)/\sim$, [/mm] aber sie sind keineswegs eindeutig.
Trotzdem soll nun A+B für ein eindeutiges Element von M stehen, das durch [mm] $[(m+k,n+l)]_\sim$ [/mm] gegeben ist.
Das kann nur dann funktionieren, wenn dieses Element unabhängig von der genauen Wahl von $m,n$ und $k,l$ ist.

Zu zeigen ist also:
Sind $m',n',k',l'$ weitere natürliche Zahlen mit [mm] $A=[(m',n')]_\sim$ [/mm] und [mm] $B=[(k',l')]_\sim$, [/mm] so stimmt [mm] $[(m'+k',n'+l')]_\sim$ [/mm] mit [mm] $[(m+k,n+l)]_\sim$ [/mm] überein.

Kurz zusammengefasst musst du also zeigen:

Sind $m,n,k,l,m',n',k',l'$ natürliche Zahlen mit

     [mm] $[(m,n)]_\sim=[(m',n')]_\sim$ [/mm]     und     [mm] $[(k,l)]_\sim=[(k',l')]_\sim$, [/mm]

so gilt auch

      [mm] $[(m+k,n+l)]_\sim=[(m'+k',n'+l')]_\sim$. [/mm]



> zu d) sei k =1;

Wenn [mm] $k\in [/mm] M$ gilt, wie in der Aufgabenstellung vorausgesetzt, ist $k$ ein Paar [mm] $(k_1,k_2)$ [/mm] natürlicher Zahlen [mm] $k_1$ [/mm] und [mm] $k_2$ [/mm] und damit sicherlich nicht $k=1$.

Was zu tun ist, hat dir leduart ja schon erklärt.



>  zu e) sei l [mm]\in \IN; i(\IN)=[/mm] l+3

Du meinst $i(l)=l+3$ für alle [mm] $l\in\IN$? [/mm]
Dann wäre $i$ eine Abbildung [mm] $i\colon\IN\to\IN$, [/mm] aber nicht wie gewünscht [mm] $i\colon\IN\to [/mm] M$.

Ich verrate dir mal, wie du i erklären kannst:

      [mm] $i\colon\IN\to M,\quad i(n):=[(n+1,1)]_\sim$. [/mm]

Zeige nun:
1. i ist injektiv
2. Jedes Element von M ist Element von genau einer der Mengen [mm] $i(\IN)$, $\{[1,1]_\sim\}$ [/mm] und [mm] $\{-k\;|\;k\in i(\IN)\}$. [/mm]

Aus 2. lässt sich folgern, dass $M$ die gewünschte Darstellung als disjunkte Vereinigung besitzt.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Äquivalenzrelationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Sa 08.11.2014
Autor: justdroppingby

Als kurze Anmerkung zum Verständnis:
Es hilft hier u.U. folgende illegale Umstellung macht:
$(n,m) [mm] \sim [/mm] (k,l): [mm] \Leftrightarrow [/mm] n+l=m+k [mm] \Leftrightarrow [/mm] n-m=k-l $
(das geht nicht weil das - noch nicht definiert ist)
d.h. (n,m) ist ein Repräsentant der ganzen Zahl n-m.

Bezug
        
Bezug
Äquivalenzrelationen: Sinn der Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:35 Mo 10.11.2014
Autor: tobit09

Hallo nochmal!


>  Das sind Übungsaufgaben aus einem
> Mathematik-Lehramtsstudium;

Aus Interesse frage ich mal nach: Für welche Schulform?


> Erst mal muss ich sagen, dass
> ich doch ziemlich geschockt bin wie kompliziert abstrakt
> und unverständlich man auch einfachste Sachverhalte
> formulieren kann;

Kannst du die Sachverhalte einfacher formulieren?


> Desweiteren verstehe ich nicht was es mir
> bringt, diese Sachverhalte in dieser abstrakten Form zu
> lernen, an Schüler werde ich das so sicherlich nicht
> weitergeben.

1. Stell dir vor, jemand spielt schon länger Klavier und will nun Klavierlehrer werden. Daher fängt er an, Musik zu studieren. Im Musik-Studium muss er erneut selbst Klavierunterricht nehmen. Sein Klavierdozent an der Uni bringt ihm schwierigere Stücke bei, als die, die er vor dem Studium gelernt hat. Da sagt er sich: So schwierige Stücke muss ich doch meinen Klavierschülern gar nicht beibringen. Warum soll ich mir die Mühe machen, diese schwierigeren Stücke zu lernen?

Ich würde ihm antworten: Damit du souverän Klavier unterrichten kannst, musst du selbst ein höheres Können am Klavier haben als das Niveau, auf dem du unterrichten möchtest.

So ähnlich ist es auch beim Mathe Lehren.


2. Bei dieser Aufgabe geht es im Kern darum, aus den natürlichen Zahlen und ihrer Addition die ganzen Zahlen mit ihrer Addition zu konstruieren.
Etwas ähnliches musst du durchaus auch in der Schule tun: Die Schüler kennen gewisse Zahlbereiche und sollen nun einen größeren Zahlenbereich (anknüpfend an ihre Vorerfahrungen aus dem Alltag) kennen lernen.

Wenn es um die Einführung negativer Zahlen geht, wirst du vermutlich als Lehrer zu jeder positiven bekannten Zahl n eine "neue Zahl" "-n" einführen (die 0 ist wohl schon längst eingeführt worden).
Wie wirst du die Addition erklären? Vermutlich mit Fallunterscheidung (wobei natürlich alle Fälle an Anwendungsbeispielen motiviert werden):
Für positive Zahlen m und n:

       [mm] $m+(-n):=\begin{cases}m-n&\text{ für }m\ge n\\-(n-m)&\text{ für }m        $(-n)+m:=m+(-n)$
       $(-m)+(-n):=-(m+n)$
       $(-n)+0:=-n$
       $0+(-n):=-n$.

In dieser Art könnte man natürlich auch ganz formal die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen konstruieren.

Aber versuche jetzt mal, das Assoziativgesetz der Addition für die so ganzen Zahlen zu zeigen!
Da wären ganz schön viele Fälle zu unterscheiden...
(Also lass den Versuch doch lieber, wenn du mit deiner Zeit Besseres anzufangen weißt... ;-) )

Man kann sich bei der Konstruktion der ganzen Zahlen mit ihrer Addition mit einem Trick behelfen (der spätestens bei Einführung der rationalen Zahlen kaum zu vermeiden ist): Man definiert die ganzen Zahlen und ihre Addition als die Menge M aus der Aufgabenstellung mit ihrer dort definierten Addition.

Inwiefern passen die so konstruierten ganze Zahlen zur "Schuldefinition"?
(Ich gehe mal nicht näher auf die Addition ein, sondern nur auf die Menge selbst.)
Schauen wir uns dazu Aufgabenteil e) an.
Darin zeigt man, dass es genau drei verschiedene Arten von "Zahlen" in M gibt:

i) Die "Zahlen" der Form $i(n)$ für die Zahlen [mm] $n\in\IN$. [/mm]
Da i injektiv ist, liefern verschiedene natürliche Zahlen [mm] $n,m\in\IN$ [/mm] auch verschiedene Elemente [mm] $i(n),i(m)\in [/mm] M$.
Wenn wir zwischen n und $i(n)$ nicht näher unterscheiden, "sind" die Zahlen der Form $i(n)$ also gerade die natürlichen Zahlen.

ii) Die "Zahl" [mm] $[(1,1)]_\sim$, [/mm] die wir auch 0 nennen können.
Bei f) wirst du zeigen, dass sich diese "Zahl" bei der Addition tatsächlich so verhält, wie wir es von der Zahl 0 erwarten.

iii) Die Zahlen $-k$ für Zahlen der Form $k=i(n)$ für natürliche Zahlen $n$.
Wenn wir wie unter i) vorgeschlagen nicht zwischen n und $i(n)$ unterscheiden, handelt es sich also um die Zahlen der Form $-n$ für natürliche Zahlen n.

Kurz: $M$ besteht (wenn man nicht zwischen n und $i(n)$ unterscheidet) aus den natürlichen Zahlen, der 0 und den Gegenzahlen der natürlichen Zahlen.
Genauso wie man es von den ganzen Zahlen erwartet!

Diesen Trick zur Einführung der ganzen Zahlen wirst du sicherlich nicht deinen Schülern beibringen.
Aber du weißt nun bzw. nach Lösung der Aufgabe, dass es eine elegante Methode gibt, die ganzen Zahlen ohne Fallunterscheidungen aus den natürlichen Zahlen zu konstruieren, so dass sich z.B. das Assoziativgesetz der Addition ganzer Zahlen leicht auf das Assoziativgesetz der Addition natürlicher Zahlen zurückführen lässt.
Du wirst den Schülern also nicht erklären, dass die Gültigkeit des Assoziativgesetzes für die Addition möglicherweise negativer Zahlen durch eine große Anzahl an unterschiedenen Fällen bewiesen wurde.
(Möglicherweise wirst du nur sagen, "Man kann sich dieses Assoziativgesetz überlegen, wollen das aber nicht tun.", ohne zu erklären, dass der elegante Beweis das Schulniveau übersteigt.)

Du weißt durch die Konstruktion auch: Wenn es eine Menge gibt, die zu unserer Anschauung der natürlichen Zahlen passt (und das nimmt man gemeinhin an), gibt es auch eine zugehörige Menge M, die zu unserer Anschauung ganzer Zahlen passt.
Ich finde es beruhigend, dass man die ganzen Zahlen (und auch die rationalen Zahlen und im Rahmen einer Mengenlehre auch die reellen Zahlen) aus den natürlichen Zahlen konstruieren kann.
Das sichert uns, dass wir auf sicherem Boden arbeiten, wenn wir in der Schule die Zahlbereiche erweitern.


Viele Grüße
Tobias

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Äquivalenzrelationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 Mo 10.11.2014
Autor: Valkyrion

>>  Kannst du die Sachverhalte einfacher formulieren?
z. B.   k+(-k)= k - k = 0; k + 0 = k

>
> >Zur Sinnfrage: vlt. stört mich auch einfach nur diese beispiellose (bitte wörtlich nehmen; scheinbar sind explizite Beispiele irgendwie böse oder so) Hochschullehre kombiniert mit kaum nicht-mathematischen / umgangssprachlichen Erklärungen. Wenn es sich dann noch um eine Vorlesung handelt, in der man mit dem Abschreiben kaum hinterherkommt, der Dozent nicht gerade leserlich schreibt (man dann aber richt entscheiden soll ob der Exponent oder Index nun 2 oder z ist bzw. n oder u oder eine Menge [mm] \le [/mm] oder [mm] \subseteq [/mm] einer anderen Menge ist; Dabei würde ich mich gerne mehr auf des Verstehen als auf das Abpinseln des Tafelanschriebs konzentrieren; Beides gleichzeitig krieg ich halt nicht hin; Bin ich nicht mutlitaskingfähig genug.

Warum steht da jetzt zum Beispiel in Aufgabe d [mm] k+(-k)=[(1,1)]_\sim [/mm] und nicht = 0? Was ist die zusätzliche Info, die ich da rausziehen kann?

Am besten begreife ich einen Stoff an Beispielen oder an Lösungen von Aufgaben. Schreib mir doch mal eine,  wie in e geforderte injektive Abbildung (ich weiß klingt jetzt nach: Mach Du die Arbeit! Stimmt ja auch! Aber ich werde mir das schon anschauen und ich möchte schon verstehen wie man zu dieser Lösung kommt (Ne Klausur mit ner ähnlichen aber natürlich nicht derselben Aufgabe kommt ja auch noch irgendwann). Es geht mir nicht nur drum zu erfahren: Dafür musst Du dies oder das zeigen! sondern vor allem wie man das dann auch auch explizit hinschreibt. Ich kann höchstens vorschlagen, um dem Verdacht/Vorwurf der Arbeitsabnahme zu entkräften nur vorschlagen, dass ich dann auch versuchen werde weitere entsprechende Abbildungen zu finden.

>  

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Äquivalenzrelationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Di 11.11.2014
Autor: tobit09


> >>  Kannst du die Sachverhalte einfacher formulieren?

Welche Sachverhalte sind dir genau unklar?


>  z. B.   k+(-k)= k - k = 0; k + 0 = k

Du meinst, diese Zeile sei klar und verständlich?
Für mich ist sie das nicht ganz: Es fehlt mir die Erklärung, was k sein soll. (Vermutlich ein beliebiges Element von $M$?)
Dann stellt sich natürlich die Frage, was du mit -k, k-k und dem Symbol 0 eigentlich genau meinst.
Ich kann diesen Symbolen natürlich eine passende Bedeutung geben, glaube aber nicht, dass du dir ihrer bewusst bist.


> > >Zur Sinnfrage: vlt. stört mich auch einfach nur diese
> beispiellose (bitte wörtlich nehmen; scheinbar sind
> explizite Beispiele irgendwie böse oder so) Hochschullehre

Es gibt viele Situationen, in denen Beispiele angebracht sind, z.B. zum Begriff der Gruppe.
Beispiele zur Konstruktion der ganzen Zahlen fallen mir hingegen im Moment nicht ein.


> Wenn es sich dann noch um
> eine Vorlesung handelt, in der man mit dem Abschreiben kaum
> hinterherkommt,

Das finde ich auch doof, wenn es kein Skript gibt.


> der Dozent nicht gerade leserlich schreibt
> (man dann aber richt entscheiden soll ob der Exponent oder
> Index nun 2 oder z ist bzw. n oder u oder eine Menge [mm]\le[/mm]
> oder [mm]\subseteq[/mm] einer anderen Menge ist;

Gibt es vielleicht eine Möglichkeit, den Dozenten (anonym?) freundlich zu bitten, auf die Leserlichkeit dieser Zeichen zu achten?
(Ich selbst wurde nach einem Seminarvortrag mal darauf hingewiesen, dass man meine u's und v's schlecht auseinanderhalten konnte. Seitdem habe ich meine Schreibweise der u's angepasst.)


> Dabei würde ich
> mich gerne mehr auf des Verstehen als auf das Abpinseln des
> Tafelanschriebs konzentrieren; Beides gleichzeitig krieg
> ich halt nicht hin; Bin ich nicht mutlitaskingfähig genug.

Ich bin auch in den meisten Vorlesungen nicht mitgekommen.
Etwas Abhilfe hat für mich gebracht, dass ich in manchen Vorlesungen mit Genehmigung der Dozenten ein Diktiergerät habe mitlaufen lassen.
Dadurch konnte ich nach der Vorlesung in meinem eigenen Tempo die Vorlesung hören.


> Warum steht da jetzt zum Beispiel in Aufgabe d
> [mm]k+(-k)=[(1,1)]_\sim[/mm] und nicht = 0? Was ist die zusätzliche
> Info, die ich da rausziehen kann?

(Es steht da, dass es zu jedem Element [mm] $k\in [/mm] M$ ein Element [mm] $-k\in [/mm] M$ gibt, das der von dir genannten Gleichung genügt.)

Wenn da =0 stände, würde ich mich fragen: Was soll mit 0 gemeint sein?
Bei [mm] $[(1,1)]_\sim$ [/mm] weiß ich hingegen, welches Element von M gemeint ist.


> Am besten begreife ich einen Stoff an Beispielen oder an
> Lösungen von Aufgaben. Schreib mir doch mal eine,  wie in
> e geforderte injektive Abbildung

Das habe ich doch bereits in in dieser Antwort (klick) getan: Wähle

      $ [mm] i\colon\IN\to M,\quad i(n):=[(n+1,1)]_\sim$. [/mm]


> Es geht mir nicht nur drum zu erfahren: Dafür
> musst Du dies oder das zeigen! sondern vor allem wie man
> das dann auch auch explizit hinschreibt.

Ich glaube nicht, dass du viel gewonnen hast, wenn ich dir eine fertige Lösung "hinknalle".
Wenn wir hingegen gemeinsam an der Lösung arbeiten, wirst du eher in der Lage sein, selbstständig andere Probleme zu lösen.

Nehmen wir mal den Nachweis der Injektivität von i.
Erste Überlegung: Was bedeutet eigentlich i injektiv?
Es gilt also zunächst, ggf. die Definition der Injektivität nachzuschlagen und auf i anzuwenden.

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