Äquivalenzrelationen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Di 23.06.2009 | | Autor: | nala24 |
| Aufgabe | (Äquivalenzrelationen) Wir betrachten wieder die Menge der Paare ganzer Zahlen
(z,n), wobei wir n ungleich Null voraussetzen. Dann definieren wir eine Relation:
(z, n) ~ (z', n')Û zn'= nz'
Definieren Sie die Addition für solche Äquivalenzklassen und die Multiplikation. Tip:
Denken Sie an die Bruchrechnung.
Zeigen Sie: Es gibt jeweils ein Element, das sich neutral verhält (eine Null und eine
Eins). Beweisen Sie dann: Zu jeder Zahl (sprich: Äquivalenzklasse) gibt es eine Gegenzahl
(Inverses bzgl. Addition) und eine Kehrzahl (Inverses bzgl. der Multiplikation). Bei der
letzteren Aussage muss man allerdings ein Element ausnehmen. Welches ist das und warum
ist das notwendig? |
Ich habe in der Uni ein Matheübungsblatt mit unter anderem dieser Aufgabe bekommen. Leider kann ich mit den Äquivalenzrelationen nicht wirklich etwas anfangen. Es wäre super, wenn mir jemand zum Einen bei der Aufgabe helfen kann und zum anderen mir prinzipiell bei der Thematik hilft.
Vielen lieben Dank im voraus für die Hilfe.
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.onlinemathe.de/forum/Äquivalenzrelationen]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Di 23.06.2009 | | Autor: | abakus |
> (Äquivalenzrelationen) Wir betrachten wieder die Menge der
> Paare ganzer Zahlen
> (z,n), wobei wir n ungleich Null voraussetzen. Dann
> definieren wir eine Relation:
> (z, n) ~ (z', n')Û zn'= nz'
> Definieren Sie die Addition für solche Äquivalenzklassen
> und die Multiplikation. Tip:
> Denken Sie an die Bruchrechnung.
> Zeigen Sie: Es gibt jeweils ein Element, das sich neutral
> verhält (eine “Null“ und eine
> „Eins“). Beweisen Sie dann: Zu jeder Zahl (sprich:
> Äquivalenzklasse) gibt es eine Gegenzahl
> (Inverses bzgl. Addition) und eine Kehrzahl (Inverses
> bzgl. der Multiplikation). Bei der
> letzteren Aussage muss man allerdings ein Element
> ausnehmen. Welches ist das und warum
> ist das notwendig?
> Ich habe in der Uni ein Matheübungsblatt mit unter anderem
> dieser Aufgabe bekommen. Leider kann ich mit den
> Äquivalenzrelationen nicht wirklich etwas anfangen. Es wäre
> super, wenn mir jemand zum Einen bei der Aufgabe helfen
> kann und zum anderen mir prinzipiell bei der Thematik
> hilft.
Hallo,
eine Relation ist eine Beziehung zwischen zwei Objekten. Bei einer Äquvivalenzrelation besteht diese Beziehung - grob gesagt - unter anderem in der Übereinstimmung eines Merkmals dieser Objekte.
Stelle dir ein Supermarktregal vor. Darin liegen die verschiedensten Dinge, die eigenlich nichts miteinander zu tun haben: Kaugummi, Hundefutter, Seife,...
Wenn man aber die Dinge nur nach ihrem Preis betrachtet, so kann man definieren: Alle Artikel mit dem gleichen Preis sind zueinander äquivalent. Alles, was z.B. 1,99€ kostet, liegt also in der selben Äquivalenzklasse, alles mit 1,49 €in einer anderen.
Eine Äq-Rel. besitzt 3 Eigenschafen:
1) Reflexivität "a kostet so viel wie a"
2) Symmetrie "Wenn a so viel wie b kostet, dann kostet b so viel wie a"
3) Transitivität "Wenn a so viel wie b und b so viel wie c kostet, dann kostet a so viel wie c".
In deiner Aufgabe steht z für Zähler und n für Nenner eines Bruchs. Zwei Brüche sind gleich wenn z/n = z'/n' ist (in der Aufgabe umgeformt zu z*n'=z'*n). In dem Fall sollen also die Zahlenpaare (z,n) und (z',n') äquivalent genannt werden.
Du musst nun auf dieser Grundlage angeben, wie zwei Brüche addiert bzw. multipliziert werden (bzw. wie man dazu mit den Zahlenpaaren (z,n) verfahren muss.
Bei welcher Addition/Multiülikation bleibt das Ergenis unverändert?
Die gefragte "Gegenzahl" ist bei der Addition natürlich das Zahlenpaar (-z,n) und bei Multiplikation das Reziproke (also (n,z) ).
Gruß Abakus
>
>
> Vielen lieben Dank im voraus für die Hilfe.
>
> Liebe Grüße
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> [http://www.onlinemathe.de/forum/Äquivalenzrelationen]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Do 25.06.2009 | | Autor: | nala24 |
So ich habe mal etwas versucht und in nem Buch zum Teil gefunden.
Nun die Frage stimmt das so und kann mir das jmd vllt auch noch etwas erklären??
Addition: (x1,x2) + (y1,y2) = (x1+y1, x2+ y2)
Dabei ist das Pluszeichen auf der rechten Seite das "alte" Pluszeichen in [mm] \IN [/mm] 0. Die Definition ist aber nur dann zulässig, wenn sich die Summe zweier Klassen unabhängig von den gewählten Vertretern dieselbe Klasse ergibt, wenn gilt: (x1,x2)= (x'1,x'2) und (y1,y2)= (y'1,y'2) [mm] \Rightarrow [/mm] (x1,x2) + (y1+y2) = (x'1,x'2) + (y'1+y'2) (x1,x2) ~ (x'1,x'2) und (y1,y2) ~ (y'1,y'2) [mm] \Rightarrow [/mm] x1+x'2 = x2 + x'1 und y1 + y'2 = y2 + y'1 [mm] \Rightarrow [/mm] x1 + y1 + x'2 + y'2 = x2 + y2 + x'1 + y'1 [mm] \Rightarrow [/mm] (x1 +y1, x2 + y2) ~ (x'1 + y'1, x'2 + y'2) Nun kann man nachweisen, dass für die Addition in [mm] \IZ [/mm] wie für die Addition in [mm] \IN0 [/mm] das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gelten. Als neutrales Element bzgl. der Addition ist de Klasse (0,0), welche aus allen Paaren (a,a) mit gleichen Koordinaten besteht. Anders als in [mm] \IN0 [/mm] besitzt hier in [mm] \IZ [/mm] jedes Element bezüglich der Addition ein inverses Element: (x1,x2) + (x2,x1) = (x1 + x2, x1 + x2) = (0,0) Für die Multiplikation kann man die Formeln nehmen:
(x1,x2) * (y1,y2) = (x1,y2 + x2y1, x1y + x2y2)
Zunächst muss man nachweisen, dass diese Verknüpfungsdefinition zulässig ist, dass sie also unabhängig von den gewählten Vertretern stets zum gleichen Ergebnis führt.
Das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz setze ich voraus.
Da neutrale Element der Multiplikation ist offensichtlich die Klasse (0,1).
Mit den ganzen Zahlen der Form (0,a) (a [mm] \in \IN [/mm] 0) rechnet man wie in [mm] \IN0:
[/mm]
(0,a) + (0,b) = (0,a+b)
(0,a) * (0,b) = (0,a*b)
Die Zuordnung ist eine umkehrbare (eineindeutige) Abbildung von [mm] \IN0 [/mm] in eine Teilmenge von [mm] \IZ, [/mm] bei welcher der Summe und dem Produkt in [mm] \IN0 [/mm] wieder die Summe und das Produkt in [mm] \IZ [/mm] entsprechen.
Daher kann man jetzt auf den Zahlbereich und stattdessen die Menge der ganzen Zahlen (0,a) mit a [mm] \in \IN0 [/mm] benutzen.
ist u + u'= 0
für u [mm] \in \IZ, [/mm] dann nennt man u' die Gegenzahl von u und bezeichnet sie mit -u.
Statt u + (-v) schreiben wir kürzer u-v. Subtraktion einer ganzen Zahl bedeutet also Addition ihrer Gegenzahl. Man beachte, dass damit das Minuszeichen in drei verschieden Bedeutungen unterteilt werden kann:
zur Bezeichnung einer negativen Zahl
zur Bezeichnung der Subtraktion
und zur Bezeichnung der Gegenzahl.
im voraus.
Ist das so richtig, um die Aufgabe zu lösen?
Ich tue mir schon schwer, dass hier auf einmal nicht nur z und n sind, sondern 4 Variablen (Buchstaben x1,x2,y1,y2 genommen werden von dem es einen Nachfolger gibt). Das mit der Gegenzahl habe ich denke ich jetzt verstanden.
Vielen lieben dank im voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Do 25.06.2009 | | Autor: | abakus |
> So ich habe mal etwas versucht und in nem Buch zum Teil
> gefunden.
> Nun die Frage stimmt das so und kann mir das jmd vllt auch
> noch etwas erklären??
> Addition: (x1,x2) + (y1,y2) = (x1+y1, x2+ y2)
Hallo,
das kann nicht sein. Brüche werden doch nicht addiert, indem man Zähler und Nenner getrennt addiert.
Gruß Abakus
> Dabei ist das Pluszeichen auf der rechten Seite das "alte"
> Pluszeichen in [mm]\IN[/mm] 0. Die Definition ist aber nur dann
> zulässig, wenn sich die Summe zweier Klassen unabhängig von
> den gewählten Vertretern dieselbe Klasse ergibt, wenn gilt:
> (x1,x2)= (x'1,x'2) und (y1,y2)= (y'1,y'2) [mm]\Rightarrow[/mm]
> (x1,x2) + (y1+y2) = (x'1,x'2) + (y'1+y'2) (x1,x2) ~
> (x'1,x'2) und (y1,y2) ~ (y'1,y'2) [mm]\Rightarrow[/mm] x1+x'2 = x2 +
> x'1 und y1 + y'2 = y2 + y'1 [mm]\Rightarrow[/mm] x1 + y1 + x'2 + y'2
> = x2 + y2 + x'1 + y'1 [mm]\Rightarrow[/mm] (x1 +y1, x2 + y2) ~ (x'1
> + y'1, x'2 + y'2) Nun kann man nachweisen, dass für die
> Addition in [mm]\IZ[/mm] wie für die Addition in [mm]\IN0[/mm] das
> Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gelten. Als
> neutrales Element bzgl. der Addition ist de Klasse (0,0),
> welche aus allen Paaren (a,a) mit gleichen Koordinaten
> besteht. Anders als in [mm]\IN0[/mm] besitzt hier in [mm]\IZ[/mm] jedes
> Element bezüglich der Addition ein inverses Element:
> (x1,x2) + (x2,x1) = (x1 + x2, x1 + x2) = (0,0) Für die
> Multiplikation kann man die Formeln nehmen:
> (x1,x2) * (y1,y2) = (x1,y2 + x2y1, x1y + x2y2)
>
> Zunächst muss man nachweisen, dass diese
> Verknüpfungsdefinition zulässig ist, dass sie also
> unabhängig von den gewählten Vertretern stets zum gleichen
> Ergebnis führt.
> Das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das
> Distributivgesetz setze ich voraus.
>
> Da neutrale Element der Multiplikation ist offensichtlich
> die Klasse (0,1).
> Mit den ganzen Zahlen der Form (0,a) (a [mm]\in \IN[/mm] 0) rechnet
> man wie in [mm]\IN0:[/mm]
>
> (0,a) + (0,b) = (0,a+b)
> (0,a) * (0,b) = (0,a*b)
>
> Die Zuordnung ist eine umkehrbare (eineindeutige) Abbildung
> von [mm]\IN0[/mm] in eine Teilmenge von [mm]\IZ,[/mm] bei welcher der Summe
> und dem Produkt in [mm]\IN0[/mm] wieder die Summe und das Produkt in
> [mm]\IZ[/mm] entsprechen.
> Daher kann man jetzt auf den Zahlbereich und stattdessen
> die Menge der ganzen Zahlen (0,a) mit a [mm]\in \IN0[/mm] benutzen.
>
> ist u + u'= 0
> für u [mm]\in \IZ,[/mm] dann nennt man u' die Gegenzahl von u und
> bezeichnet sie mit -u.
> Statt u + (-v) schreiben wir kürzer u-v. Subtraktion einer
> ganzen Zahl bedeutet also Addition ihrer Gegenzahl. Man
> beachte, dass damit das Minuszeichen in drei verschieden
> Bedeutungen unterteilt werden kann:
> zur Bezeichnung einer negativen Zahl
> zur Bezeichnung der Subtraktion
> und zur Bezeichnung der Gegenzahl.
>
> im voraus.
>
> Ist das so richtig, um die Aufgabe zu lösen?
> Ich tue mir schon schwer, dass hier auf einmal nicht nur z
> und n sind, sondern 4 Variablen (Buchstaben x1,x2,y1,y2
> genommen werden von dem es einen Nachfolger gibt). Das mit
> der Gegenzahl habe ich denke ich jetzt verstanden.
>
> Vielen lieben dank im voraus.
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