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äquvalente Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:35 Sa 01.12.2007
Autor: verkackt

Sei [mm] p:C^{1}[0,1] \to \IR [/mm] mit p(f)=sup |f´(x)| wobei x [mm] \in [/mm] [0,1]
Wir setzen [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{1} [/mm] =p(f)+ |f(0)| und
[mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{2} [/mm] =p(f)+sup |f(x)| mit x [mm] \in [/mm] [0,1]
Zeigen Sie, dass  [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{1} [/mm] und [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2} [/mm] äquivalente Normen auf [mm] C^{1}[0,1] [/mm]  sind.
Bei der ersten Teil der Aufgabe hab ich schon bewiesen, dass p eine Seminorm ist.
Ich weiß dass es für äquivalente Normen gilt:
[mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{1} \sim \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2} :\gdw [/mm]
[mm] \exists [/mm] c: [mm] c^{-1} \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{1} \le \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2} \le \parallel .\parallel_{1} \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]
Ich weiß aber nicht, wie ich angangen soll!
Es wäre super, wenn jemand mir einen Tipp geben könnte.
Lg. Ver.

        
Bezug
äquvalente Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Sa 01.12.2007
Autor: rainerS

Hallo!

Tipp: es geht um stetige differenzierbare Funktionen, daher gilt:

[mm] f(a) = f(0) + \integral_{0}^{a} {f'(x) dx} [/mm]

Damit kannst du [mm]\sup |f(x)|[/mm] abschätzen.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
äquvalente Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 So 02.12.2007
Autor: verkackt

Hi rainer und alle andere
Erstmal danke für deine Antwort, aber ich komme leider irgendwie damit nicht weiter.Ich hab [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2} [/mm] so umgeformt:
sei sup |f(x)|=|f(a)|  dann gilt  
[mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2}=p(f)+sup|f(x)|=p(f)+f(a)=p(f)+|f(0)+\integral_{0}^{a}{f´(x) dx}| \le p(f)+|f(0)|+|\integral_{0}^{a}{f´(x) dx}| \le [/mm]
[mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{1}+... [/mm] das hilft aber nicht weiter denn ich ein c suche mit obigen Eigenschaften!!!!!
Bitte hilf mir weiter.
Lg V.


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äquvalente Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 So 02.12.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> Hi rainer und alle andere
>  Erstmal danke für deine Antwort, aber ich komme leider
> irgendwie damit nicht weiter.Ich hab [mm]\parallel[/mm] .
> [mm]\parallel_{2}[/mm] so umgeformt:
>  sei sup |f(x)|=|f(a)|  

Wird das Supinum immer angenommen?

> [mm]\parallel \cdot \parallel_{2}=p(f)+sup|f(x)|=p(f)+f(a)=p(f)+|f(0)+\integral_{0}^{a}{f´(x) dx}| \le p(f)+|f(0)|+|\integral_{0}^{a}{f´(x) dx}| \le[/mm]

Die Annahme brauchst du gar nicht:

[mm] \| f\|_2 = p(f) + \sup |f(x)| = p(f) + \sup_{a\in[0,1]} \left|f(0)+\integral_{0}^{a}{f'(x) dx}\right| [/mm]

Jetzt wendest du die Dreiecksungleichung an:

[mm] \le p(f) +|f(0)| + \sup_{a\in[0,1]} \left|\integral_{0}^{a}{f'(x) dx}\right| \le p(f) +|f(0)| + \sup_{a\in[0,1]} \integral_{0}^{a}{|f'(x)| dx} [/mm].

So, der Integrand ganz rechts ist immer positiv, also kannst du das Integral abschätzen.

Den Rest solltest Du selbst können.

  Viele Grüße
    Rainer

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äquvalente Normen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:52 So 02.12.2007
Autor: verkackt

Ich kann nur sagen, DANKE

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