Äußere Induktivität < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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Hallo zusammen!
Gesucht sei die Gesamt-Selbstinduktivität eines stromdurchflossenen zylindrischen Kupferleiters, wobei als Anregung des resultierenden Magnetfeldes ein zeitharmonischer netzfrequenzähnlicher Wechselstrom zugrunde gelegt wird. Nachfolgend gelten also die Maxwell´schen Gleichungen im Rahmen der magnetoquasistatischen Näherung [mm] \kappa\vec{E}>>j\omega\varepsilon\vec{E}:
[/mm]
[mm] rot\vec{E}=-j\omega\vec{B}
[/mm]
[mm] rot\vec{H}=\vec{J}
[/mm]
[mm] div\vec{D}=\varrho
[/mm]
[mm] div\vec{B}=0
[/mm]
Darüber hinaus werden ausschließlich lineare, homogene und isotrope Materialien zugrunde gelegt:
[mm] \vec{D}=\varepsilon\vec{E}
[/mm]
[mm] \vec{B}=\mu\vec{H}
[/mm]
[mm] \vec{J}=\kappa\vec{E}.
[/mm]
Innere Induktivität: Aus der oben angegeben Anregung lässt sich schließen, dass die elektrische Feldstärke in der Form
[mm] {\underline_{\vec{E}}}={\underline{{E}}}_{z}(\varrho)\vec{e}_{z}
[/mm]
vorliegt, woraus dann die zu lösende Helmholtz-Gleichung
[mm] \bruch{\partial^{2}{\underline_{E}}_{z}(\varrho)}{\partial{\varrho^{2}}}+\bruch{1}{\varrho}\bruch{\partial{\underline_{E}}_{z}(\varrho)}{\partial\varrho}-j\omega\mu\kappa{\underline_{E}}_{z}(\varrho)=0.
[/mm]
hervorgeht. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist dabei die modifizierte BESSEL-Funktion 1. Art sowie 0. Ordnung
[mm] {\underline_{E}}_{z}(\varrho)={\underline_{C}}I_{0}({\underline_{p}}\varrho).
[/mm]
Mit Hilfe von Induktions-, bzw. Durchflutungsgesetz lassen sich nun die magnetische Feldstärke, bzw. die freie Konstante [mm] \underline_{C} [/mm] in Abhängigkeit des Stromes bestimmen. Man erhält also
[mm] {\underline_{\vec{E}}}_{z}(\varrho)=(1+j)\wurzel{\bruch{\omega\mu}{2\kappa}}\bruch{\underline_{I}}{2\pi{R}}\bruch{I_{0}({\underline{p}}\varrho)}{I_{1}({\underline{p}}R)}\vec{e}_{z} [/mm] sowie
[mm] {\underline_{\vec{H}}}_{\varphi}(\varrho)=\bruch{\underline_{I}}{2\pi{R}}\bruch{I_{1}({\underline{p}}\varrho)}{I_{1}({\underline{p}}R)}\vec{e}_{\varphi}.
[/mm]
Als nächstes würde ich gemäß
[mm] \integral_{\partial{V}}^{}{{\underline{\vec{S}}}_{k}*d\vec{A}}=-\bruch{1}{2}R|{\underline_{I}}|^{2}-j\bruch{1}{2}\omega{L}|{\underline_{I}}|^{2}, [/mm] mit [mm] {\underline{\vec{S}}}_{k}:=\bruch{1}{2}\vektor{{\underline_{\vec{E}}}\times{\underline_{\vec{H}}}^{\times}} [/mm] sowie [mm] W_{e}<
die Scheinleistung und daraus dann entsprechend die innere Induktivität
(1) [mm] L_{i}=f(\omega)
[/mm]
der Anordnung berechnen. Soweit jedenfalls zur Berechnung der inneren Induktivität.
Äußere Induktivität: Jetzt würde ich gerne wissen, wie man aus den gegebenen Daten die äußere Induktivität berechnen kann. Im Skript steht diesbezüglich folgendes:
"Durch das Integrieren über die Oberfläche eines Leiters ergibt sich jedoch nur die innere Induktivität des Leiters. Dazu sei folgendes angemerkt. Die Induktivität einer Leiterschleife lässt sich zum einen, wie üblicherweise gemacht, über den magnetischen Fluss durch die Leiterschleife definieren. Dazu äquivalent und in machen Fällen einfacher, kann die Induktivität auch über die magnetische Feldenergie definiert werden:
(2) [mm] L=4\bruch{W_{m}}{|{\underline_{I}}|^{2}}
[/mm]
Wird diese Definition benutzt, lässt sich die Induktivität einer Leiterschleife in einen Teil zerlegen, der durch die Feldenergie im Inneren des Leiters bestimmt ist und innere Induktivität genannt wird und zum anderen in den Teil der durch die Feldenergie außerhalb des Leiters bestimmt wird und äußere Induktivität genannt wird. Die Gesamtinduktivität ist die Summe dieser beiden Anteile."
Meine Fragen lauten also jetzt:
0.) Soll, kann oder muss die innere Induktivität wie oben gezeigt über die Helmholtz-Gleichung berechnet werden? Wäre dieser Rechenweg korrekt?
1.) Versteht man unter dem Ausdruck (2) nun explizit die Gesamtselbstinduktivität?
2.) Wenn ja, darf ich dann zur Berechnung der äußeren Induktivität einfach Ausdruch (1) von Ausdruck (2) subtrahierenn? Wenn nein, wie kann ich zur Berechnung der äußeren Induktivität vorgehen?
Über hilfreiche Antworten würde ich mich freuen; vielen Dank!
Viele Grüße, Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Den Ausdruck (1) für die innere Induktivität habe ich nun zu
[mm] L(\omega)=\bruch{l}{2\pi{R}}\wurzel{\bruch{\mu}{2\omega\kappa}}.
[/mm]
berechnet. Der rechte Term hat dann auch die Einheit
[mm] \bruch{[Vs]}{[A]}=[H]. [/mm]
Mit steigender Frequenz nimmt darüber hinaus die Induktivität des Leiters erwartungsgemäß ab, da die Felder im Inneren des Leiters zunehmend nach außen gedrängt werden, wo auch der überwiegende Teil der Energie transportiert werden dürfte. Es wäre schön, wenn jemand dieses Ergebnis eventuell bestätigen könnte; vielen Dank.
Viele Grüße, Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Di 17.01.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Marcel,
Ich muss erstens mal vorweg sagen, dass ich deine Rechnungen nicht genau nachvollzogen habe, möchte aber trotzdem kurz meine Überlegungen dazu geben:
-Das Resultat für deine Innere Induktivität scheint mir komisch da a.) für w = 0 die innere Induktivität unendlich wird und b.) im statischen Fall die Innere induktivität nicht vom Leiterradius abhängt.
-Die äussere Induktivität ist im statischen Fall unendlich(!) - falls man keinen Rückleiter in Betracht zieht.
- Dass die Innere Induktivität mit der Frequenz abnimmt ist plausibel - wenn man sich überlegt, dass der Strom hauptsächlich am Rand des Leiters fliesst und somit das H-Feld erst "weiter aussen aufgebaut" wird und somit das integral der Flussdichte über die Fläche resultierend etwas kleiner ausfällt.
Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 18.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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