affine Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:13 Fr 08.07.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Hallo Angela,
danke für deine Antwort.
Seien$ X, Y $ nichtleere affine Räume und $ f : X [mm] \to [/mm] Y $ eine affine Abbildung. Man beweise
folgende Aussagen.
a) Wenn $ U [mm] \subset⊂ [/mm] Y $ ein affiner Unterraum ist, ist auch das Urbild $ [mm] f^{-1}(U) \subset⊂ [/mm] X $ ein affiner
Unterraum.
b) Sind $ [mm] U_1, U_2 \subset [/mm] Y $ parallele Unterräume, dann sind auch$ [mm] f^{-1}(U_1), f^{-1}(U_2) \subset [/mm] ⊂ X $
parallel.
Also ich habe versucht die b zu lösen.
Viele Grüße
Nadia
|
|
| |
|
> Hallo zusammen,
>
> ich brauche wieder mal eure Hilfe.
> Sei [mm]f: X \to Y[/mm] eine affine Abbildung, X,Y nichtleere
> affine Räume.
>
> ich soll zeigen, [mm]U_1,U_2 \subset Y[/mm] sind parallel
Hallo,
poste mal die vollständige Aufgabenstellung im Originalwortlaut.
Griß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:43 Fr 08.07.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Hallo Angela,
danke für deine Antwort.
Seien$ X, Y$ nichtleere affine Räume und $f : X [mm] \to [/mm] Y$ eine affine Abbildung. Man beweise
folgende Aussagen.
a) Wenn $U [mm] \subset⊂ [/mm] Y$ ein affiner Unterraum ist, ist auch das Urbild [mm] $f^{-1}(U) \subset⊂ [/mm] X$ ein affiner
Unterraum.
b) Sind [mm] $U_1, U_2 \subset [/mm] Y$ parallele Unterräume, dann sind auch$ [mm] f^{-1}(U_1), f^{-1}(U_2) \subset [/mm] ⊂ X$
parallel.
Also ich habe versucht die b zu lösen.
Viele Grüße
Nadia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:40 Sa 09.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo nadia
Genau, was du versucht hast wollen wir wissen!
also lass uns an deinen Gedanken teilhaben!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:21 Sa 09.07.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Seien$ X, Y$ nichtleere affine Räume und $f : X [mm] \to [/mm] Y$ eine affine Abbildung. Man beweise
folgende Aussagen.
a) Wenn $U [mm] \subset⊂ [/mm] Y$ ein affiner Unterraum ist, ist auch das Urbild [mm] $f^{-1}(U) \subset⊂ [/mm] X$ ein affiner
Unterraum.
b) Sind [mm] $U_1, U_2 \subset [/mm] Y$ parallele Unterräume, dann sind auch$ [mm] f^{-1}(U_1), f^{-1}(U_2) \subset [/mm] ⊂ X$
parallel. |
Danke für die Antwort,
Oh, habe vergessen mein Ansatz ein zu tippen :)
Also,
[mm] $U_1, U_2$ [/mm] sind Parallel, d.h Fall1 [mm] $U_1 \subset U_2 [/mm] $ oder Fall2 [mm] $U_2 \subset U_1$.
[/mm]
Angenommen Fall1 gilt:
Sei f affin, d.h$ f = A(x)+Y [mm] \Rightarrow f^{-1}(Y) [/mm] = [mm] A^{-1}Y [/mm] = [mm] \{x: y = A(x), y\in Y \}\subset [/mm] X$.
Da [mm] $U_1 \subset U_2 \Rightarrow f^{-1}(U_1) \subset f^{-1}(U_2)$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow f^{-1}(U_1) \|\| f^{-1}(U_2) [/mm] $
Viele Grüße
Nadia
|
|
|
| |
|
> Seien[mm] X, Y[/mm] nichtleere affine Räume und [mm]f : X \to Y[/mm] eine
> affine Abbildung. Man beweise
> folgende Aussagen.
> a) Wenn [mm]U \subset⊂ Y[/mm] ein affiner Unterraum ist, ist auch
> das Urbild [mm]f^{-1}(U) \subset⊂ X[/mm] ein affiner
> Unterraum.
> b) Sind [mm]U_1, U_2 \subset Y[/mm] parallele Unterräume, dann
> sind auch[mm] f^{-1}(U_1), f^{-1}(U_2) \subset ⊂ X[/mm]
>
> parallel.
>
>
> [mm]U_1, U_2[/mm] sind Parallel, d.h Fall1 [mm]U_1 \subset U_2[/mm] oder
> Fall2 [mm]U_2 \subset U_1[/mm].
>
> Angenommen Fall1 gilt:
> Sei f affin, d.h[mm] f = A(x)+Y
Hallo,
hier fängt's schon an: was ist Y? Ich kann mir noch zusammenreimen, daß A eine lineare Abbildung sein soll, warum man zu A(x) nun aber den Bildraum Y addieren soll...
>
Du meintest vielleicht: sei f affine Abbildung von X nach Y. Dann ist f(x):=Ax+y, wobei A eine lineare Abbildung ist und [mm] y\in [/mm] Y.
> Sei f affin, d.h[mm] f = A(x)+Y [mm] \Rightarrow f^{-1}(Y) [/mm] = [mm] A^{-1}Y [/mm]
Ist jetzt diesseits und jenseits des Pfeils dasselbe Y?
Und warum gilt [mm] f^{-1}(Y) [/mm] = [mm] A^{-1}Y?
[/mm]
> Sei f affin, d.h[mm] f = A(x)+Y \Rightarrow f^{-1}(Y) = A^{-1}Y = \{x: y = A(x), y\in Y \}\subset X[/mm].
>
> Da [mm]U_1 \subset U_2 \Rightarrow f^{-1}(U_1) \subset f^{-1}(U_2)[/mm]
Wieso folgt das?
Das ist nur eine Behauptung!
Gruß v. Angela
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(U_1) \|\| f^{-1}(U_2)[/mm]
>
> Viele Grüße
>
> Nadia
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 So 10.07.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Die frage habe ich im Forum http://www.onlinemathe.de/forum/Urbilder-affine-Abbildung gestellt.
Hallo, ich habe die Frage einmal gestellt und vermute da ist was schief gelaufen, oder die Angela hat mich vergessen :).
Ich stelle die Frage nochmal.
Also , es seien$ X, Y,, nicht leer $ affine Räume und $ f : X [mm] \to [/mm] Y $ eine affine Abbildung.
Beweis
folgende Aussagen.
a) Wenn $ U [mm] \subset⊂ [/mm] Y $ ein affiner Unterraum ist, ist auch das Urbild $ [mm] f^{-1}(U) \subset⊂ [/mm] X $ ein affiner
Unterraum.
b) $ [mm] U_1, U_2 \subset [/mm] Y $ parallele Unterräume, dann sind auch$ [mm] f^{-1}(U_1), f^{-1}(U_2) \subset [/mm] ⊂ X $
parallel. |
So zu a
Sei [mm] $f^{-1}(U) [/mm] = [mm] f^{-1}(u_1 +U_1) [/mm] = [mm] v_1 +V_1$ [/mm] das Urbild von U unter der aff Abbildung f mit der zugehörige Lineare Abbildung F. und [mm] $f(v_1) [/mm] = [mm] u_1$ [/mm] als [mm] $F(U_1) [/mm] = [mm] V_1 \subset [/mm] X$ (ist nach LA I ein Vektorraum und nach Definition ein affiner Unterraum.
Zu b.
Sei [mm] $U_1,U_2$ [/mm] parallel, d.h [mm] $U_1 \subset U_2$ [/mm] ,oder [mm] $U_2 \subset U_1$ [/mm] angenommen [mm] $U_1 \subset U_2$
[/mm]
[mm] $\Rigtharrow f_(U_1) \subset f(U_1)$, [/mm] nach a sind das beide affine also auch parallel
freue mich auf jede Hilfe
Viele Grüße
Nadia.
|
|
|
| |
|
> Hallo, ich habe die Frage einmal gestellt und vermute da
> ist was schief gelaufen, oder die Angela hat mich vergessen
> :).
Hallo,
hier im Forum wird wenig übersehen.
Ich habe Dich auch nicht vergessen, und ich kann Dir versichern, daß auch andere Deine offene Frage sehr wohl gesehen haben.
Daß keiner reagiert hat, könnte an der Furcht vor Umbequemlichkeiten liegen: oft ist es so, daß in Threads, in denen die Aufgabenstellung nachgefragt werden muß, auch noch viel anderes im Argen liegt, was sich bei einem Blick auf Deine lobenswerterweise vorhandenen Lösungsansätze bestätigt.
Nicht jeder mag jederzeit ein Faß aufmachen.
Und dann kann es auch immer mal sein, daß keiner weiß, wie es geht.
> Also , es seien[mm] X, Y,, nicht leer[/mm] affine Räume und [mm]f : X \to Y[/mm]
> eine affine Abbildung.
> Beweis
> folgende Aussagen.
> a) Wenn [mm]U \subset⊂ Y[/mm] ein affiner Unterraum ist, ist auch
> das Urbild [mm]f^{-1}(U) \subset⊂ X[/mm] ein affiner
> Unterraum.
> b) [mm]U_1, U_2 \subset Y[/mm] parallele Unterräume, dann sind
> auch[mm] f^{-1}(U_1), f^{-1}(U_2) \subset ⊂ X[/mm]
> parallel.
>
>
> So zu a
>
> Sei [mm]f^{-1}(U) = f^{-1}(u_1 +U_1) = v_1 +V_1[/mm] das Urbild von
> U unter der aff Abbildung f mit der zugehörige Lineare
> Abbildung F. und [mm]f(v_1) = u_1[/mm] als [mm]F(U_1) = V_1 \subset X[/mm]
> (ist nach LA I ein Vektorraum und nach Definition ein
> affiner Unterraum.
Wenn ich das, was Du dort schreibst, mal in eine sinnvolle Reihenfolge bringe, dann steht dort etwa dies:
Sei U ein affiner Teilraum von Y, also [mm] U:=u_1 [/mm] + [mm] U_1 [/mm] mit [mm] u_1\in [/mm] Y und [mm] U_1 [/mm] ... (das müßtest Du mit Euren Schreibweisen erklären. Ein Untervektorraum vom Y zugrundeliegenden VR halt.)
Sei weiter [mm] V_1:=F(U_1) [/mm] und [mm] v_1:=f(u_1)\in [/mm] Y.
Nach LA I ist [mm] V_1 [/mm] ein VR.
Behauptung: es ist [mm] f^{-1}(u_1+U_1)= v_1+V_1
[/mm]
Beweis: tja, der fehlt...
Du hast oben die Behauptung aufgeschrieben, nun wäre der Punkt, an welchem Taten folgen müßten.
Du mußt zeigen, daß die beiden Mengen gleich sind.
> Zu b.
>
> Sei [mm]U_1,U_2[/mm] parallel, d.h [mm]U_1 \subset U_2[/mm] ,oder [mm]U_2 \subset U_1[/mm]
> angenommen [mm]U_1 \subset U_2[/mm]
> [mm]\Rigtharrow f(U_1) \subset f(U_2)[/mm],
Auch hier: das ist eine Behauptung, welche nach einer Begründung verlangt.
Abgesehen davon: ging es nicht ums Urbild?
Gruß v. Angela
> nach a sind das beide affine
> also auch parallel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Mo 11.07.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen Dank für die Antwort Angela.
wenn F die zugehörige lineare Abbildung von f ist, müsste dann nicht [mm] $F(U_1)=V_1 [/mm] $ und nicht [mm] $f(U_1) [/mm] = [mm] V_1$ [/mm] ?
Nun zu [mm] $f^{-1}(u_1 [/mm] + [mm] U_1)=v_1+V_1$.
[/mm]
Sei $x [mm] \in X,f^{-1}(u_1 [/mm] + [mm] U_1) [/mm] = [mm] F^{-1}(u_1 [/mm] + [mm] U_1) [/mm] +x = [mm] F^{-1}(U_1) [/mm] + [mm] F^{-1}(u_1)+x [/mm] $
wegen
[mm] $F^{-1}(u_1)+x [/mm] = [mm] f^{-1}(u_1) [/mm] = [mm] v_1$
[/mm]
und
$ [mm] F^{-1}(U_1) [/mm] = [mm] V_1$
[/mm]
folgt die Behauptung,
oder habe ich wieder misst gebaut ?
Zu b)
ja das Stimmt :) Du hast recht, es sind die Urbilder gemeint.
Ich weiß aber trotzdem nicht, wie du das mit der Begründung meinst.
Das einzige was mir einfällt ist,$ [mm] f^{-1}(U_1),f^{-1}(U_2)$ [/mm] sind nach a wieder Unterräume, und für die zugehörige lineare Abbildung F gilt [mm] $F^-{-1}(U_1)\subset F^{-1}(U_1) \iff f^{-1}(U_1) \subset f^{-1}(U_2)$
[/mm]
Liebe Grüße
Nadia
|
|
|
| |
|
> wenn F die zugehörige lineare Abbildung von f ist, müsste
> dann nicht [mm]F(U_1)=V_1[/mm] und nicht [mm]f(U_1) = V_1[/mm] ?
Hallo,
wenn man, was meine Intention war, Deine Ideen aufschreibt, dann ja.
Beachte, daß ich in meiner vorhergehenden Antwort lediglich Dich wiederholt und ein wenig sortiert habe und nichts zu Sinnhaftigkeit des Tuns gesagt.
Ich wollte Dir in erster Linie zeigen, wie Du Behauptungen aufstellst, ohne sie zu beweisen.
Von [mm] f(u_1) [/mm] und [mm] F(U_1) [/mm] zu reden, ist sinnlos, da [mm] u_1\in [/mm] Y und [mm] U_1\subseteq [/mm] Y, die Abbildung f aber nicht aus der Menge Y heraus abbildet, sondern aus X heraus.
Das scheint Dir aber inzwischen aufgegangen zu sein, läßt mich Dein neuer Lösungsversuch vermuten.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> oder habe ich wieder misst gebaut ?
Hallo,
ich kann das nicht entscheiden - Dein Lösungsansatz ist nahezu unkorrigierbar für mich, weil ich kaum durchsteige.
Ich kann überhaupt nicht erkennen, was Voraussetzung ist, wo die Behauptung steht, und es geht überhaupt los mit undefinierten Buchstaben.
Es ist ein Unterschied zwischen einem Beweis und den Schmierzettelarbeiten, die dem Beweis vorausgehen.
Ein Beweis ist zu servieren wie ein feines Menue: man darf von dem ganzen Geschnippel, was zuvor stattgefunden hat, von den Abfällen und dem Chaos in der Küche nichts mehr sehen.
> Nun zu [mm] $f^{-1}(u_1 [/mm] + [mm] U_1)=v_1+V_1$.
[/mm]
Schau, hier fängt's schon an: ich weiß gar nicht, was [mm] v_1 [/mm] und [mm] V_1 [/mm] sein sollen.
Entweder Du definierst die vorher und schreibst dann:
Behauptung: es ist [mm] $f^{-1}(u_1 [/mm] + [mm] U_1)=v_1+V_1$.
[/mm]
Nun würde der Beweis folgen.
Oder Du schreibst:
Behauptung: es existiert ein [mm] v_1\in [/mm] X und ein Untervektorraum [mm] V_1 \subseteq [/mm] X mit [mm] $f^{-1}(u_1 [/mm] + [mm] U_1)=v_1+V_1$.
[/mm]
Hier müßtest Du im Verlaufe des Beweises glaubhaft machen, daß man wirklich passende [mm] v_1, V_1 [/mm] findet.
>
> Sei $x [mm] \in [/mm] X
Irgendein beliebiges?
Oder eines mit einer besonderen Eigenschaft?
Mit der Eigenschaft vielleicht, daß
> [mm] f^{-1}(u_1 [/mm] + [mm] U_1) [/mm] = [mm] F^{-1}(u_1 [/mm] + [mm] U_1)+x [/mm] ?
Dann müßte aber ein Grund dafür dastehen, daß es solch ein x gibt.
> [mm] f^{-1}(u_1 [/mm] + [mm] U_1) [/mm] = [mm] F^{-1}(u_1 [/mm] + [mm] U_1) [/mm] +x = [mm] F^{-1}(U_1) [/mm] + [mm] F^{-1}(u_1)+x$
[/mm]
>
> wegen
> [mm] $F^{-1}(u_1)+x [/mm] = [mm] f^{-1}(u_1) [/mm] = [mm] v_1$
[/mm]
> und
> [mm] $F^{-1}(U_1) [/mm] = [mm] V_1$
[/mm]
Wenn ich jetzt mal messerscharf kombiniere, dann willst Du zeigen, daß
[mm] f^{-1}(u_1+U_1)=f^{-1}(u_1)+F^{-1}(U_1) [/mm] ist.
Wenn Dir das gelingt, dann bist Du fein raus.
[mm] F^{-1}(U_1) [/mm] ist sicher ein VR, das hat man in der LA gelernt.
[mm] f^{-1}(u_1), [/mm] Du meinst wohl eher [mm] f^{–1}(\{u_1\}) [/mm] , allerdings kommt mir kritisch vor aus zwei Gründen:
1. Wer sagt Dir, daß tatsächlich ein Element aus X vermöge f auf [mm] u_1 [/mm] abgebildet wird?
2. Und was machst Du, wenn das Urbild aus mehr als einem Element besteht?
Nun überlegen wir mal, wie man sich aus dem Schlamassel herausmanövrieren kann.
Zunächst einmal sollten wir sicherstellen, daß die Menge [mm] f^{-1}(u_1+U_1) [/mm] überhaupt ein Element enthält, denn sonst sind wir ja gleich fertig...
Wir notieren also: es sei [mm] f^{-1}(u_1+U_1)\not=\emptyset.
[/mm]
Was bedeutet das?
Dies:
es gibt ein [mm] x\in [/mm] X mit [mm] x\in f^{-1}(u_1+U_1),
[/mm]
dh. es gibt ein [mm] x\in [/mm] X mit [mm] f(x)\in u_1+U_1.
[/mm]
Mein Tip: versuche nun zu beweisen, daß [mm] f^{-1}(u_1+U_1)=x+F^{-1}(U_1) [/mm] richtig ist.
Berechne dafür [mm] f(x+F^{-1}(U_1)).
[/mm]
Verwende einen Satz aus der Vorlesung, der Dir etwas über f(a+U)=...+... erzählt.
Wenn Du das hast, bist Du schonmal ein Stück weiter, denn Du hast "[mm]\supseteq[/mm]" gezeigt.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
