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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Di 20.07.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo alle zusammen. ICh ahbe hier eine Aufageb und weiß nicht 100% wie ich das machen soll. Könntet ihr euch mal meine Gedanken dazu anschauen und mir sagen was ich noch verändern muss, bzw. was noch zu machen ist. Die Aufgabe lautet:
Es seien E die affine Ebene in [mm]\IR^{3\times1}[/mm] durch die Punkte
[mm]P_0=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, P_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, P_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
und [mm]f:E\rightarrow\IR^{2\times1}[/mm] eine affine Abbildung mit [mm]f(P_0)={1 \choose 1}, f(P_1)={1 \choose 0}, f(P_2)={0 \choose 1}[/mm]. Bestimmen Sie alle Punkte [mm]P\inE[/mm] mit [mm]f(P)={1 \choose 1}[/mm].
Also:
[mm]P_0,P_1,P_2[/mm] spannen dann ja eine Ebene parallel zu x-y-Ebene in der Höhe 1 auf. Die affine Abbildung f bildet, so vermute ich, wie folgt ab (da [mm]f(P_0)={1 \choose 1}[/mm]...)
[mm]f:E\rightarrow\IR^{2\times1}[/mm]
[mm]P\rightarrow{x \choose y}[/mm]
Dann würden alle Punkt P für die [mm]f(P)={1 \choose 1}[/mm] gilt der Gestalt [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ z \end{pmatrix} [/mm] mit [mm]z\in\IR[/mm] sein. Das sind alles Punkte die auf einer Geraden senkrecht zur Ebene E. Wenn man sie dann schneidet, wäre der einzige Punkt ja nur [mm]P_0[/mm]. Wie kann ich jetzt zeigen, dass f genau so abbildet wie ich vermute? ODer ist mein Ansatz vollkommen falsch und ich muss anders vorgehen? Bin ja mal gespant auf eure Meinung.
Bis denne
Jessica
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Hallo Jessica!
Du liegst richtig.
Nur [mm] P_0 [/mm] wird so abgebildet.
Versuch es doch mit einem Widerspruchsbeweis, der wie folgt beginnen könnte:
Sei [mm] P_3 [/mm] aus E, [mm] P_0 [/mm] verschieden von [mm] P_3 [/mm] und [mm] f(P_0)=f(P_3).
[/mm]
Für [mm] P_3 [/mm] gilt doch:
[mm] P_3 [/mm] = [mm] P_0 [/mm] + [mm] s*(P_0P_1) [/mm] + [mm] t*(P_0P_2) [/mm] für s, t aus den reelen Zahlen.
Schaue Dir dann mal die Definition von affin an, besonders den zweiten Teil und berechne einfach mal [mm]\phi_f[/mm][mm] (P_0P_3).
[/mm]
(ergebnis: Nullvektor).
Berechne den selben AUsdruck nochmal,doch diesmal setze für [mm] P_3 [/mm] die obere Darstellung ein.
(Ergebnis: s=t=0).
Somit wäre aber [mm] P_0 =P_3.
[/mm]
Das ist der gesuchte Widerspruch.
Fertig ist!
Gruss,
Wurzelpi
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