affine Ebene, projektive Ebene < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
| Aufgabe | wie kann man die affine ebene zur projektiven ebene in beziehung setzen?
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das war ebenfalls eine frage in der klausur für das staatsexamen :(
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Hallo,
durch den projektiven Abschluss (Hinzufügung Fernpunkte und Ferngerade) erhältst du aus einer affinen Ebene eine projektive Ebene. Das lässt sich umkehren, denn indem man aus einer projektiven Ebene eine beliebige Gerade samt ihrer Punkte entfernt, erhält man eine affine Ebene.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
meinst du mit "einer geraden entfernen", dass man eine projektive gerade entfernt, also alle geraden, die in einer ebene liegen und durch einen Punkt gehen oder meinst du wirklich nur EINE gerade?
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Ich meine, dass man eine projektive Gerade entfernt und zudem alle Punkte herausnimmt, die auf dieser Geraden liegen.
Du scheinst jetzt die projektive Ebene zu meinen, die dargestellt wird, indem man im dreidimensionalen Vektorraum die zweidimensionalen Unterräume ("Ebenen") als projektive Geraden sieht und die eindimensionalen Unterräume als projektive Punkte. Dann ist es in der Tat so, dass man eine "Ebene", also einen zweidimensionalen Unterraum, entfernt und mit ihr alle enthaltenen Geraden.
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
und wie kann man sich das anschaulich vorstellen, wenn man zu einer affinen ebene fernpunkte oder eine ferngerade hinzufügt?
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Man fügt jeder Geraden einen Fernpunkt hinzu. Parallele Geraden erhalten denselben Fernpunkt. Dadurch gibt es genausoviele Fernpunkte wie Parallelenklassen, und man kann sagen, dass sich parallele Geraden in ihrem Fernpunkt schneiden. Man sagt auch, sie schneiden sich im Unendlichen.
Anschaulich: die parallelen Schienen eines gerade verlaufenden Eisenbahngleises scheinen sich unendlich weit weg am Horizont zu schneiden.
Die Ferngerade soll dann aus allen Fernpunkten bestehen.
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
kann es vielleicht sein, dass mit affiner Ebene die euklidische Ebene gemeint war in der Frage? (Weil ja nichts weiteres über diese affine Ebene ausgesagt wurde?)
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Ja, möglicherweise. Oben schrieb ich, wie man ganz allgemein affine und projektive Ebene in Beziehung setzen kann.
Speziell die affine Koordinatenebene kann man in die projektive Koordinatenebene einbetten. Stell Dir die Veranschaulichung der projektiven Ebene als dreidimensionalen (euklidischen) Raum vor. Dann kannst Du eine affine Ebene so einbetten, dass sie der Ebene entspricht, für deren Punkte stets die z-Koordinate gleich 1 ist. Sozusagen eine Ebene auf Höhe z=1 in den Raum eingebettet. Dann entspricht jedem Punkt dieser affinen Ebene genau ein projektiver Punkt, nämlich die (euklidische) Gerade durch diesen affinen Punkt und den Nullpunkt. Allen affinen Punkten entspricht daher jeweils ein projektiver Punkt. Es gibt jedoch noch mehr projektive Punkte, nämlich die (euklidischen) Geraden, welche die eingebettete affine Ebene nicht schneiden, die also in der z=0 Ebene liegen.
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
danke :) das habe ich verstanden ;)
aber für diese affine Ebene kann man jede Ebene nehmen, die parallel zum "boden" ist, also parallel zu einer Ebene zur O, oder?
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Man kann jede beliebige Ebene nehmen, die den Nullpunkt nicht enthält, sie muss nicht "waagerecht" sein. Dass man üblicherweise genau diese Ebene parallel zur z=0 Ebene nimmt, macht das Rechnen einfacher. So bettet man einen Punkt (x,y) ein, er erhält die homogenen Koordinaten (x:y:1), die Punkte der Form (u:v:0) sind die Fernpunkte.
Stefan
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