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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über dem Körper [mm] \IK [/mm] mit 1+1 [mm] \not= [/mm] 0,
und sei [mm] \emptyset \not= [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] V eine Teilmenge.
Zeigen Sie , dass A genau dann ein affiner Unterraum ist,
wenn für alle a,b [mm] \in [/mm] A und [mm] \lambda \in \IK
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] a [mm] +(1-\lambda)b \in [/mm] A gilt.
Interpretieren Sie dies geometrisch. |
Hallo,
die Richtung : A affiner Raum [mm] \Rightarrow [/mm]
für alle a,b [mm] \in [/mm] A und [mm] \lambda \in \IK \lambda [/mm] a [mm] +(1-\lambda)b \in [/mm] A
habe ich , denke ich, gezeigt. Eine Frage dazu: für alle a,b [mm] \in [/mm] A und [mm] \lambda \in \IK [/mm] bedeutet, dass es für alle Lambdas gelten soll ?
Bei der Rückrichtung: für alle a,b [mm] \in [/mm] A und [mm] \lambda \in \IK \lambda [/mm] a [mm] +(1-\lambda)b \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] A affiner Raum habe ich noch keinen wesentlichen Fortschritt gemacht.
Ich dachte , dass man "A affiner Raum " zeigt, indem man
die Gleichheit A={d+u: u [mm] \in [/mm] U} (mit: es gibt d [mm] \in [/mm] V und es gibt ein Unterraum U ). Dann habe ich angefangen : sei z [mm] \in [/mm] A ; zu zeigen: z [mm] \in [/mm] {d+u: u [mm] \in [/mm] U} [mm] \gdw [/mm] z=d+u für geeignetes u [mm] \in [/mm] U. Ich kann das aber noch nicht zeigen.
Was den Ausdruck [mm] \lambda [/mm] a [mm] +(1-\lambda)b [/mm] betrifft, scheint es, dass
es sich um eine Ebene handelt.
Wie soll man also bei der Aufgabe vorgehen?
Danke und Gruss!
Igor
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> Sei V ein Vektorraum über dem Körper [mm]\IK[/mm] mit 1+1 [mm]\not=[/mm]
> 0,
> und sei [mm]\emptyset \not=[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] V eine Teilmenge.
> Zeigen Sie , dass A genau dann ein affiner Unterraum ist,
> wenn für alle a,b [mm]\in[/mm] A und [mm]\lambda \in \IK[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] a
> [mm]+(1-\lambda)b \in[/mm] A gilt.
> Interpretieren Sie dies geometrisch.
> Hallo,
>
> die Richtung : A affiner Raum [mm]\Rightarrow[/mm]
> für alle a,b [mm]\in[/mm] A und [mm]\lambda \in \IK \lambda[/mm] a
> [mm]+(1-\lambda)b \in[/mm] A
>
> habe ich , denke ich, gezeigt. Eine Frage dazu: für alle
> a,b [mm]\in[/mm] A und [mm]\lambda \in \IK[/mm] bedeutet, dass es für alle
> Lambdas gelten soll ?
Hallo,
ja.
>
> Bei der Rückrichtung: für alle a,b [mm]\in[/mm] A und [mm]\lambda \in \IK \lambda[/mm]
> a [mm]+(1-\lambda)b \in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> A affiner Raum habe ich
> noch keinen wesentlichen Fortschritt gemacht.
> Ich dachte , dass man "A affiner Raum " zeigt, indem man
> die Gleichheit A={d+u: u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U} (mit: es gibt d [mm]\in[/mm] V und
> es gibt ein Unterraum U ).
Ja, genau.
Ich habe dazu dort ein paar Tips gegeben, und auch zur geometrischen Interpretation was gesagt.
Bitte auch die weitere Diskussion dort, damit das nicht an zwei Stellen gleichzeitig bearbeitet wird.
> Dann habe ich angefangen : sei z
> [mm]\in[/mm] A ; zu zeigen: z [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{d+u: u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U} [mm]\gdw[/mm] z=d+u für
> geeignetes u [mm]\in[/mm] U. Ich kann das aber noch nicht zeigen.
> Was den Ausdruck [mm]\lambda[/mm] a [mm]+(1-\lambda)b[/mm] betrifft, scheint
> es, dass
> es sich um eine Ebene handelt.
Nein.
Es ist die Gerade durch die Punkte a und b.
Gruß v. Angela
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