affiner Unterraum (2) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:43 Mo 19.06.2006 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | Eine Ebene im [mm] $R^3$ [/mm] ist definiert als eine Teilmenge [mm] $E\subset R^3$ [/mm] mit folgender Eigenschaft:
Es gibt [mm] $a_1,a_2,a_3,b\in [/mm] R$ mit [mm] $(a_1,a_2,a_3)\neq [/mm] (0,0,0)$ derart, dass
[mm] $$E=\{(x_1,x_2,x_3)\in R^3|a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b\}$$
[/mm]
gilt. |
Man soll nun einen Vektor [mm] $v_0\in R^3$ [/mm] und einen Untervektorraum $U$ in [mm] $R^3$ [/mm] finden, so dass [mm] $E=v_0+U$ [/mm] gilt und damit $E$ als affiner Unterraum von [mm] $R^3$ [/mm] realisiert ist.
Ich verstehe das irgendwie alles nicht mit diesem "affin" und so und weiß nicht wie man diese Dinger "findet".
Vielen Dank für Eure Hilfe. Ich habe diese Frage nirgends sonst gestellt.
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Hallo,
ich würd ja versuchen, einen Vektor [mm] u_0 [/mm] so zu finden, dass [mm] (a_1,a_2,a_3)\cdot u_0=b [/mm] gilt, dann kannst Du damit doch leicht die
Aufgabe lösen.
Viele Grüsse
just-math
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Mo 19.06.2006 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | | Danke für die schnelle Antwort! |
Meinst Du mit $ [mm] (a_1,a_2,a_3)\cdot u_0=b [/mm] $ das Skalarprodukt? Ich meine,
$ [mm] (a_1,a_2,a_3)$ [/mm] ist doch ein Vektor oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Mo 19.06.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo Ed,
zunächst einmal zum "affinen Unterraum": Was ein Unterraum des [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] ist, weißt du, oder? Ebenen durch den Ursprung sind z.B. zweidimensionale Unterräume. Was sind nun aber Ebenen, die nicht unbedingt durch den Ursprung gehen? Solche nennt man "affine Unterräume". Ein solcher affiner Unterraum, der den Ursprung nicht enthält ist natürlich selbst kein Unterraum, entsteht aber aus einem Unterraum $U$ durch Verschiebung um einen Vektor [mm] $v_0$, [/mm] daher die Schreibweise [mm] $v_0+U$.
[/mm]
Vielleicht kennst du noch aus der Schule die Parameterform einer Ebene?
Eine solche ist von der Form [mm] $E:v=v_0+\lambda_1v_1+\lambda_2v_2$ [/mm] mit Vektoren [mm] $v_1,v_2$. [/mm] In diesem Fall wäre $U$ der von [mm] $v_1,v_2$aufgespannteUnterraum [/mm] und [mm] $v_0$ [/mm] der "Verschiebungsvektor".
Was du nun machen musst, ist von der Koordinatenform auf die Parameterform zu kommen. Der Tipp von "just-math" war der, zunächsteinmal Vektoren zu suchen, die auf der Ebene liegen, d.h. die die Koordinatengleichung erfüllen.
Hilft dir das weiter?
Gruß, Jan
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