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algebr. Struktur (N, hoch): Regularität + neutr. Element
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:21 Di 20.01.2009
Autor: Stefantastisch

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]

Der Anfang des Weges:)

Regularität und neutrales Element wird so definiert:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Ergänzung: neutrales Element
Formel muss heißen:  a*e = e*a = a  !!! Also "e" verändert nix.

Regularität:
Also ich denke, hoch (Potenzen) sind regulär?! Denn einerseits kann kein [mm] k^m [/mm] mit einem anderen als diesem n dasselbe ergeben. (m=0 ausgeschlossen, weil k,m,n Element von [mm] \IN [/mm] als Vorgabe). Umgekehrt gibt es kein [mm] k^n, [/mm] wo es mit einem anderen k dasselbe ergibt (mit wieder [mm] n\not=0). [/mm]
Will sagen, es funktioniert also nur jeweils mit derselben Zahl und das wäre doch regulär?

neutrales Element:
1 ?
Denn [mm] k^1 [/mm] ist k. Also verändert sich k nicht.
Allerdings andersrum bei [mm] 1^m, [/mm] da ist das Ergebnis ja nicht immer m... sondern 1.
Muss ein neutrales Element aber nicht in beiden Fällen immer dasselbe Ergebnis liefern?!


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
algebr. Struktur (N, hoch): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:41 Mi 21.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Stefan,

> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  Der Anfang des Weges:)
>  
> Regularität und neutrales Element wird so definiert:
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Ergänzung: neutrales Element
>  Formel muss heißen:  a*e = e*a = a  !!! Also "e" verändert
> nix.
>  
> Regularität:
>  Also ich denke, hoch (Potenzen) sind regulär?! Denn
> einerseits kann kein [mm]k^m[/mm] mit einem anderen als diesem n
> dasselbe ergeben. (m=0 ausgeschlossen, weil k,m,n Element
> von [mm]\IN[/mm] als Vorgabe). Umgekehrt gibt es kein [mm]k^n,[/mm] wo es mit
> einem anderen k dasselbe ergibt (mit wieder [mm]n\not=0).[/mm]
>  Will sagen, es funktioniert also nur jeweils mit derselben
> Zahl und das wäre doch regulär?

Hmm, naja, das muss für alle Elemente [mm] $a,b,c\in\IN$ [/mm] gelten.

Was ist mit zB. $a=1, b=2, c=3$

[mm] $a^b=a^c\gdw 1^2=1^3$, [/mm] aber ich sehe hier nicht, wie $b=c$ folgt ...

>  
> neutrales Element:
>  1 ?
>  Denn [mm]k^1[/mm] ist k. Also verändert sich k nicht.
>  Allerdings andersrum bei [mm]1^m,[/mm] da ist das Ergebnis ja nicht
> immer m... sondern 1.
>  Muss ein neutrales Element aber nicht in beiden Fällen
> immer dasselbe Ergebnis liefern?!

Ja! Für das neutrale Element [mm] $e\in\IN$ [/mm] müsste gelten [mm] $k^{e}=e^k=k$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm]

Gibt's also ein neutrales Element bzgl. "hoch"?


LG

schachuzipus

>  


Bezug
                
Bezug
algebr. Struktur (N, hoch): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:02 Mi 21.01.2009
Autor: Stefantastisch

Also ist keine regularität vorhanden, weil man nicht b = c folgern kann? Sagte ich ja bereits, diese Vermutung.

Und meine Vermutung zum neutr. Element war 1. Ich weiß es aber nicht genau. Ausprobieren? Kommt wie gesagt nie hin, oder?

Außerdem brauche ich für beides ja Beweise...
Also, ich selbst komme da nicht weiter, jetzt ihr :)

Bezug
                        
Bezug
algebr. Struktur (N, hoch): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:14 Sa 24.01.2009
Autor: David1703

interessant. hab die gleiche aufgabe bekommen. bist wohl auch aus mathe 1? Naja, das mit der regularität zeigst du wie auf seite 111 (beweis zu satz 5.28) im skript.
also anstelle km=kn einfach k "hoch" m = k "hoch" n  einsetzen und das dann durchziehen.
na und das mit dem neutralen element mach ich so wie schon geschrieben. also gibt es kein neutr. element!

Bezug
                                
Bezug
algebr. Struktur (N, hoch): Wie aufschreiben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Sa 24.01.2009
Autor: Stefantastisch

Du irrst dich.

Das mit der Regularität kann man nicht übernehmen, da es nicht regulär ist (siehe Bsp. oben).

Ein neutrales Element gibt es ja auch nicht.
Aber wie soll man das wiederum formal richtig aufschreiben?

Wenn ich nur schreibe, dass [mm] \forall [/mm] a,e [mm] \in \IN [/mm] : [mm] a^e \not= e^a \not= [/mm] a
(e = neutrl. Element) reicht das doch sicher nicht. Das wäre nur eine Vermutung.
Der Beweis, dass es für wirklich alle aus [mm] \IN [/mm] gilt fehlt noch, oder?!

Bezug
                                        
Bezug
algebr. Struktur (N, hoch): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:22 Sa 24.01.2009
Autor: angela.h.b.


> Ein neutrales Element gibt es ja auch nicht.
>  Aber wie soll man das wiederum formal richtig
> aufschreiben?
>  
> Wenn ich nur schreibe, dass [mm]\forall[/mm] a,e [mm]\in \IN[/mm] : [mm]a^e \not= e^a \not=[/mm]
> a
>  (e = neutrl. Element) reicht das doch sicher nicht. Das
> wäre nur eine Vermutung.
>  Der Beweis, dass es für wirklich alle aus [mm]\IN[/mm] gilt fehlt
> noch, oder?!

Hallo,

Du kannst den Beweis dafür, daß es kein neutrales Element gibt, wie folgt führen:

nimm an, daß es ein neutrales Element gibt.
Folgere, daß dann e=1 das neutrale Element ist.
Zeige, daß 1 kein neutrales Element ist.

Gruß v. Angela



Bezug
                                                
Bezug
algebr. Struktur (N, hoch): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 So 25.01.2009
Autor: ohmeinkreuz

Ich habe die selbe Aufgabe und würde es gerne mal versuchen.

Annahme: [mm] (\IN, [/mm] hoch) besitzt ein neutrales Element

z.zg.: [mm] \exists e\in\IN: n^e=e^n=n \forall n\in\IN [/mm]

Beweis: e=1   [mm] n^1=n\wedge1^n=1\Rightarrown\not=1 [/mm]



Find ich sehr kurz...

:)

Bezug
                                                        
Bezug
algebr. Struktur (N, hoch): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 So 25.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo omk,

> Ich habe die selbe Aufgabe und würde es gerne mal
> versuchen.
>  
> Annahme: [mm](\IN,[/mm] hoch) besitzt ein neutrales Element
>  
> z.zg.: [mm]\exists e\in\IN: n^e=e^n=n \forall n\in\IN[/mm]
>  
> Beweis: e=1   [mm]n^1=n\wedge1^n=1\Rightarrown\not=1[/mm]
>  
>
>
> Find ich sehr kurz...

Was hast du genau gezeigt? Vllt. war deine Wahl des neutralen Elementes falsch, vllt. ist irgendein andere e ja passend ...

Versuche es so:

Ann. ex. neutrales Element e

[mm] $\Rightarrow \forall n\in\IN: e^n=n^{e}=n$ [/mm]

nach Def. neutrales Element

Das müsste für jedes Element [mm] $n\in\IN$ [/mm] gelten, also auch für $n=1$

Dh. aber, es müsste [mm] $e=e^1=1^{e}=1$ [/mm] sein.

Also ist das neutrale Element - unter der Ann., dass es eines gibt - e=1

Dh. es müsste [mm] $\forall n\in\IN$ [/mm] gelten [mm] $1^n=n^1=n$ [/mm]

Also insbesondere für n=2: [mm] $1^2=1=2^1=2$ [/mm] Widerspruch

[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Ann. falsch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ex. kein neutr. Element


>
> :)


LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
algebr. Struktur (N, hoch): Lösung geglückt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:49 So 25.01.2009
Autor: Stefantastisch

Ich habe 1 als neutr. Element betrachtet und wiederlegt.

Dann bewiesen, dass auch alle anderen n [mm] \in \IN [/mm] kein neutr. Element sind.

Daraus folgt, dass es kein Element in [mm] \IN [/mm] gibt, welches neutrl. Element sein kann.

[mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt kein neutrl. Element in [mm] (\IN, [/mm] hoch), welches die Bedingungen erfüllt.

Das war's, vielen Dank.

Bezug
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