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algebraisch über Q: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Fr 11.01.2019
Autor: Flowbro

Aufgabe
Aufgabe 1
Sei [mm] x_0 \in [/mm] C eine der Nullstellen von [mm] X^2 [/mm] -X + 2. Zeigen Sie, dass [mm] y_0 [/mm] = [mm] x_{0}^3 [/mm]  algebraisch über Q vom Grad 2 ist, und bestimmen Sie das Minimalpolynom.
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass [mm] z_0 \in [/mm] C genau dann algebraisch über Q ist, wenn [mm] x_0 [/mm] = [mm] Re(z_0) [/mm] und [mm] y_0 [/mm] = [mm] Im(z_0) [/mm] beide algebraisch über Q sind.

Hallo allerseits,

für eine Übung an der Uni habe ich diese beiden Aufgaben erhalten. Bei beiden ist mir nicht ganz klar, wie ich vorgehen soll, um zur Lösung zu gelangen. Hilfe wäre toll!

Viele Grüße Flowbro

        
Bezug
algebraisch über Q: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Fr 11.01.2019
Autor: HJKweseleit


> Aufgabe 1
>  Sei [mm]x_0 \in[/mm] C eine der Nullstellen von [mm]X^2[/mm] -X + 2. Zeigen
> Sie, dass [mm]y_0[/mm] = [mm]x_{0}^3[/mm]  algebraisch über Q vom Grad 2
> ist, und bestimmen Sie das Minimalpolynom.

Offenbar ist [mm] x_0=\wurzel[3]{y_0}. [/mm]

Setze das in die Gleichung ein und erhalte eine Gleichung mit [mm] y_0, [/mm] die aber kein Polynom ist. Forme diese so lange durch Umstellen und Potenzieren um, bis du ein Polynom in [mm] y_0 [/mm] erhältst. Das beweist, dass [mm] y_0 [/mm] algebraisch ist. Zeige nun, dass das Minimalpolynom den Grad 2 hat.



Bezug
                
Bezug
algebraisch über Q: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:43 Fr 11.01.2019
Autor: HJKweseleit

Zur Kontrolle: Das Minimalpolynom ist [mm] y^2+5y+8 [/mm]

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Bezug
algebraisch über Q: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 So 13.01.2019
Autor: Flowbro

Schonmal danke für deine Antwort!!

Aufgabe 1:
Nun habe ich [mm] y_0 [/mm] in die Gleichung eingesetzt und dann mit 3 potenziert, da ja dann auf jeden Fall die Elemente [mm] y_0^2 [/mm] und +8 vorkommen. Nun sind darin aber auch noch weitere Teile mit z.B. [mm] y_0^\bruch{5}{3} [/mm] vorhanden?
Wie komme ich dann auf das Minimalpolynom?

Zu zeigen, dass das Minimalpolynom dann Grad 2 hat bekomme ich dann ohne Probleme hin, da wir dazu schon mehrere Aufgaben hatten

Aufgabe 2.....


Bezug
                        
Bezug
algebraisch über Q: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 So 13.01.2019
Autor: HJKweseleit

Mach so:
[mm] X^2-X [/mm] + 2=0
[mm] \wurzel[3]{y}^2-\wurzel[3]{y}+2=0 [/mm]  (1)      (ich schreibe jetzt y statt [mm] y_0) [/mm]  

nun (1) mal [mm] *\wurzel[3]{y} [/mm]      
[mm] \wurzel[3]{y}^3-\wurzel[3]{y}^2+2\wurzel[3]{y}=0 [/mm] oder
[mm] y-\wurzel[3]{y}^2+2\wurzel[3]{y}=0 [/mm]                        (2)

(1) und (2) addiert gibt

[mm] y+\wurzel[3]{y}+2=0 [/mm]    umstellen

[mm] \wurzel[3]{y}= [/mm] -(y+2)  |alles hoch 3
y = [mm] -y^3-6y^2-12y-8 [/mm]
[mm] y^3+6y^2+13y+8=0 [/mm]
Das hat die Nullstelle -1, daher teilbar durch y+1:

[mm] (y+1)(y^2+5y+8)=0 [/mm]

y=-1 scheidet als Lösung aus.

Bezug
                        
Bezug
algebraisch über Q: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 So 13.01.2019
Autor: hippias

Alternative Rechnung:
Sei [mm] $y_{0}= x_{0}^3$, [/mm] wobei [mm] $x_{0}^{2}-x_{0}+2=0$ [/mm] gelte; insbesondere gilt [mm] $x_{0}^{2}= x_{0}-2$. [/mm] Dann folgt sofort [mm] $y_{0}= x_{0}x_{0}^{2}= x_{0}(x_{0}-2)= x_{0}^{2}-2x_{0}= x_{0}-2-2x_{0}= -x_{0}-2$. [/mm]

Setzt man $f(t)= [mm] t^{2}-t+2$, [/mm] so ist [mm] $f(x_{0})=0$. [/mm] Ferner definiere $g(t)= f(-t-2)$. Dann ist $g$ ein Polynom von Grade $2$ und mit obiger Rechnung folgt [mm] $g(y_{0})=g(-x_{0}-2)= f(-(-x_{0}-2)-2)= f(x_{0})= [/mm] 0$.

Zeige nun noch, dass es kein Polynom geringeren Grades gegen kann, das [mm] $y_{0}$ [/mm] als Nullstelle hat.

Merke: bei algebraischen Zahlen immer soweit möglich den Grad reduzieren.

Bezug
                                
Bezug
algebraisch über Q: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:22 So 13.01.2019
Autor: Flowbro

Vielen, vielen Dank euch zwei. Jetzt ist mir die Argumentation schlüssig geworden. Um zu zeigen, dass das angegebene Polynom minimal ist, kann man ja annehmen, dass es zerlegbar wäre und dies zu einem Widerspruch führen.
Somit ist diese Aufgabe gelöst!

Bei Aufgabe 2 wäre ein Ansatz aber noch toll:

Zeigen Sie, dass $ [mm] z_0 \in [/mm] $ C genau dann algebraisch über Q ist, wenn $ [mm] x_0 [/mm] $ = $ [mm] Re(z_0) [/mm] $ und $ [mm] y_0 [/mm] $ = $ [mm] Im(z_0) [/mm] $ beide algebraisch über Q sind

Viele Grüße

Flowbro

Bezug
                                        
Bezug
algebraisch über Q: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Di 15.01.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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