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algebraische Abgeschlossenheit: Hilfe bei Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Di 28.03.2017
Autor: Franzi17

Aufgabe
Sei K ein endlicher Körper. Zeigen Sie, dass ein Polynom P ∈ K[X]rK gibt, welches keine Nullstelle in K besitzt.

Hallo, ich komme leider nicht weiter.
Wir haben einen Hinweis bekommen, nämlich Euklids Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Ich weiss, dass die Charakteristik eines endlichen Körpers prim ist, aber ich kann mit dem Hinweis nicht viel anfangen.
ich weiss dass ich zeigen müsste, dass ein endlicher Körper nicht algebraisch abgeschlossen sein kann, aber ich finde mathematisch keinen Anfang.
Wär sehr dankbar um Hilfe.


        
Bezug
algebraische Abgeschlossenheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Di 28.03.2017
Autor: donquijote


> Sei K ein endlicher Körper. Zeigen Sie, dass ein Polynom P
> ∈ K[X]rK gibt, welches keine Nullstelle in K besitzt.
>  Hallo, ich komme leider nicht weiter.
> Wir haben einen Hinweis bekommen, nämlich Euklids Beweis,
> dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
> Ich weiss, dass die Charakteristik eines endlichen Körpers
> prim ist, aber ich kann mit dem Hinweis nicht viel
> anfangen.
> ich weiss dass ich zeigen müsste, dass ein endlicher
> Körper nicht algebraisch abgeschlossen sein kann, aber ich
> finde mathematisch keinen Anfang.
> Wär sehr dankbar um Hilfe.
>  

Hallo,
es geht bei dem Hinweis nicht um Primzahlen bzw. die Charakteristik von K, sondern um die Struktur des Beweises von Euklid.
Also: Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen. Dann betrachte die Zahl n+1, wobei n das Produkt aller Primzahlen ist.
Wenn du diese Idee überträgst, kannst du zunächst ein Polynom [mm]P_1\ne 0[/mm] konstruieren mit [mm]P_1(x)=0[/mm] für alle [mm]x\in K[/mm].
Im nächsten Schritt konstruiere daraus ein Polynom P mit [mm]P(x)\ne 0[/mm] für alle x.

Bezug
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