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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 So 29.08.2010 | | Autor: | Joan2 |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit den p-adischen Zahlen und habe gelesen, dass es nur endlich viele algebraische Erweiterungen von [mm] \IQ_p [/mm] vom Grad n, n [mm] \in \IN [/mm] gibt.
Woher weiß man wie viele es zum Beispiel für n = 2 gibt? Ich kann mir nicht vorstellen, wie so was aussehen kann.
Viele Grüße,
Joan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:38 Mo 30.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Joan,
> ich beschäftige mich gerade mit den p-adischen Zahlen und
> habe gelesen, dass es nur endlich viele algebraische
> Erweiterungen von [mm]\IQ_p[/mm] vom Grad n, n [mm]\in \IN[/mm] gibt.
> Woher weiß man wie viele es zum Beispiel für n = 2 gibt?
> Ich kann mir nicht vorstellen, wie so was aussehen kann.
auch damit kenne ich mich nicht so gut aus, aber hier trotzdem ein paar Ideen.
Erstmal: eine weitere Vervollstaendigung von [mm] $\IQ$ [/mm] -- bzgl. der archimedischen Bewertung -- ist [mm] $\IR$. [/mm] Und [mm] $\IR$ [/mm] hat ja gerade mal eine echte algebraische Erweiterung, naemlich [mm] $\IC$.
[/mm]
Dann: kennst du den Koerper der formalen Laurentreihen, $K((x))$? Der ist ja ebenfalls vollstaendig bzgl. einer nichtarchimedischen Bewertung. Ist $K$ ein algebraisch abgeschlossener Koerper der Charakteristik 0, so gibt es genau eine Erweiterung von $K((x))$ von Grad $n$, naemlich [mm] $K((x^{-1/n}))$, [/mm] ein sogenannter ![[]](/images/popup.gif) PuiseauxreiheEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nkoerper. Der algebraische Abschluss von $K((x))$ ist die Vereinigung aller solchen Koerper.
Die beste Analogie zu $\IQ_p$ ist nun $\IF_p((x))$; dieser hat zu jedem $n$ nur endlich viele separable Erweiterungen von Grad $n$, naemlich $\IF_{p^k}((x^{1/\ell}))$ mit $\ell k = n$.
Insofern finde ich es nicht sonderlich ueberraschend, dass $\IQ_p$ nur endlich viele Erweiterungen von festem Grad hat.
Zu deinem Fall $n = 2$: eine solche Erweiterung entsteht in Charakteristik 0 immer durch Adjunktion einer Quadratwurzel eines Elementes, welches keine Wurzel hat. Sei $p \neq 2$. Du kannst jedes Element in $\IQ_p^\ast$ eindeutig schreiben als $u p^t$ mit $u \in \IZ_p^\ast$ und $t \in \IZ$; das ist genau dann ein Quadrat, wenn $t$ gerade und $u$ ein Quadrat ist. Man kann leicht zeigen, dass $u$ genau dann ein Quadrat ist, wenn $u$ modulo $p$ ein quadratischer Rest ist. (Stichwort Henselsches Lemma, deswegen wollte ich $p \neq 2$.)
Wenn man jetzt beachtet, dass $\IF_p$ (der Restklassenkoerper von $\IQ_p$) genau eine Erweiterung von Grad 2 hat, erscheint es logisch, dass es nicht viel mehr Erweiterungen von Grad 2 von $\IQ_p$ geben sollte als folgende:
- $\IQ_p(\sqrt{p})$;
- $\IQ_p(\sqrt{x})$, wobei $x \in \IZ$ mit $(x/p} = -1$ ist;
- $\IQ_p(\sqrt{p x})$, wobei $x \in \IZ$ mit $(x/p} = -1$ ist.
Ob das stimmt weiss ich nicht, aber ich kann mir vorstellen dass es hoechstens diese drei gibt :)
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Mo 30.08.2010 | | Autor: | PeterB |
Hallo Joan,
im Allgemeinen ist das wohl eine recht schwierige Frage. Allerdings ist der Fall das $n$ nicht von $p$ geteilt wird nicht so schwierig: Wir bemerken zunächst, dass $n$ das Produkt des Trägheitsgardes und des Verzweigungsgrades ist. Wir konstruieren nun erst das Kompositum $K$ aller unverzweigten Erweiterungen, deren Grad $n$ teilt und dann eine Erweiterung $L$ von $K$ die alle rein verzweigten Erweiterung enthält, deren Grad $n$ teilt.
Zunächst $K$: Es gibt für jedes $n$ genau eine Unverzweigte Erweiterung vom Grad $n$ (weil diese einer Erweiterung des endlichen Restklassenkörpers entspricht, und diese immer zyklisch sind).
Um $L$ zu konstruieren, nehmen wir zu $K$ erst die $n$-ten Einheitswurzeln hinzu, dann gibt es (falls $n$ prim zu $p$ ist) genau eine rein verzweigte Erweiterung vom Grad $n$. (Diese wird durch die $n$-te Wurzel von $p$ erzeugt.) Das ist unser $L$. Der Grad von $L$ teilt nun [mm] $n^2\cdot \phi(n)$ (Euler-$\phi$) [/mm] und die Erweiterungen vom Grad $n$ entsprechen nach Galois Theorie genau den Untergruppen vom Index $n$. Diese müssen nun im Einzelfall gezählt werden.
Im Fall das $n=2$ (und [mm] $p\neq [/mm] 2$) ist es besonders einfach: Da die zweiten Einheitwurzeln schon enthalten sind, fällt Ihre Adjunktion weg und man kann sich überlegen, dass [mm] $L/\mathbb{ Q}_p$ [/mm] die Galoisgruppe [mm] $\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2$ [/mm] haben muss. Es gebit also genau 3 Erweiterungen vom Grad 3. (Analoge Überlegungen führen dazu, dass es genau n+1 Erweiterungen vom Grad $n$ gibt, falls $n$ prim ist und [mm] $\mathbb{ Q}_p$ [/mm] die $n$-ten Einheitswurzeln enthält (d.h. [mm] n|\phi(p)).
[/mm]
Ich hoffe das ist einigermaßen verständlich. Wenn Du unendliche Galois-theorie kennst, dann ist das wohl etwas übersichtlicher. Vielleicht musst Du noch mal etwas genauer nachfragen inklusive einer Zusammenfassung von den Dingen die du weißt).
Gruß
Peter
p.s.: Die Theorie der Erweiterungen Lokaler Körper ist vollständig bekannt. Allerdings fällt mir als einzige Quelle momentan das Buch Neukirch/Schmidt/Wingberg: "Cohomology of Number Fiels" ein und das ist ziemlich harter Stoff. Falls mir noch ein einfacheres Buch einfällt melde ich mich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Mo 30.08.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> p.s.: Die Theorie der Erweiterungen Lokaler Körper ist
> vollständig bekannt. Allerdings fällt mir als einzige
> Quelle momentan das Buch Neukirch/Schmidt/Wingberg:
> "Cohomology of Number Fiels" ein und das ist ziemlich
> harter Stoff. Falls mir noch ein einfacheres Buch einfällt
> melde ich mich.
Serre, Corps Locaux (un classique)
... und im blauen Hasse (ebenfalls ein Klassiker aus der Vor-Kohomologie-Zeit) ist auch einiges Wissen dazu versammelt.
Ob die allerdings einfacher sind, laß ich mal offen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Mo 30.08.2010 | | Autor: | PeterB |
Ah, Serre hatte ich natürlich im Kopf, war mir aber nicht mehr sicher, wie ausführlich er die Erweiterungstheorie diskutiert. Das ist sicher weniger Stoff, den man verstehen muss und außerdem sollte jeder Arithmetiker mal ein Buch von Serre lesen. Es gibt ja auch die englische Version "Local Fields", falls das Französisch abschreckt.
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Mo 30.08.2010 | | Autor: | statler |
> ... und außerdem sollte jeder Arithmetiker mal ein Buch
> von Serre lesen.
Hi Peter!
'Man sollte mal ein Buch von Serre lesen': Das ist wohl wahr und schön formuliert, aber vielleicht gar nicht sooo einfach umzusetzen. Wenn du mal ein Buch von ihm gelesen hast (Groupes algébriques et corps de classes?), kannst du mir ja den Täter verraten  .
Wegen der Sprache möchte ich für das Original plädieren, also Hasse auf deutsch, Hardy auf englisch, Serre auf französisch, Gauss auf lateinisch (na das denn eher doch nicht, ist auch nicht mehr im Handel). Шафаревич auf russisch. Das war jedenfalls die Meinung meines Profs.
In diesem Sinne
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Mo 30.08.2010 | | Autor: | PeterB |
Hallo Dieter,
Du hast schon recht, dass viele seiner Bücher recht knapp gehalten sind. Aber ich fand das immer gerade gut. Z.B. "Galois Cohomology" (o.k.: Die englische Version) finde ich genial, (fast) alle grundlegenden Aussagen aus einem Gebiet auf so wenigen Seiten habe ich selten gesehen! Ich finde auch "Corps locaux" sehr schön, muss aber zugeben, dass ich große Teile davon erst gelesen habe, als ich schon die "einfachen Fälle" aus einer Vorlesung kannte, das hat sicher sehr geholfen. Oh und "Linear representations of finite Groups" ist zwar sicher das grundlegenste Buch aus der Liste, aber es ist immer noch "das" standard Werk, zumindest für Leute wie mich, die keine Experten sind. Das Buch "Groupes algébriques et corps de classes" kenne ich leider nicht wirklich, also kann ich dazu nichts sagen.
Gruß
Peter
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