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| Aufgabe | | Sind [mm] \alpha=<\overline{2}> [/mm] und [mm] \beta=<1;2,\overline{1,2,1}> [/mm] algebraisch vom Grad 2? Falls ja, gebe man das Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] konkret an. |
hallo alle zusammen!
Also für [mm] \alpha [/mm] habe ich ein ergebnis raus und zwar ist
[mm] \alpha^{2}-6\alpha+11=0
[/mm]
=> [mm] m_{\alpha,\IZ}(x)=x^{2}-6x+11, [/mm] d.h. [mm] \alpha [/mm] ist algebraisch vom Grad 2.
und für [mm] \beta [/mm] habe ich zwar auch ein Ergebnis raus, aber irgendwie sind das extrem große Zahlen und deswegen wollte ich euch fragen, ob das so stimmt oder ob ich mir irgendwo verrechnet habe?
Hier ist meine Rechnung:
Idee: [mm] \beta:=<1;2,\overline{1,2,1}> [/mm] als Irrationalzahl schreiben.
Setze [mm] \delta:=<1,2,\delta> [/mm] mit [mm] \delta:=<\overline{1,2,1}>
[/mm]
Für [mm] \delta [/mm] habe ich dann raus, dass es [mm] \bruch{1+\wurzel{10}}{3}.
[/mm]
=> [mm] \beta=1+\bruch{1}{2+\bruch{1}{\delta}}
[/mm]
[mm] =1+\bruch{1}{2+\bruch{1+\wurzel{10}}{3}}. [/mm] so bis dahin weiß ich, dass es richtig ist und dann habe ich es halt zusammengefasst und da habe ich mich glaub ich verrechnet:
[mm] =1+\bruch{1}{\bruch{2*3+1+\wurzel{10}}{3}}
[/mm]
[mm] =1+\bruch{3}{7+\wurzel{10}}
[/mm]
[mm] =\bruch{7+\wurzel{10}+3}{7+\wurzel{10}}
[/mm]
[mm] =\bruch{11+\wurzel{10}}{7+\wurzel{10}}
[/mm]
[mm] =\bruch{67-4\wurzel{10}}{39}
[/mm]
=> [mm] \beta=\bruch{67-4\wurzel{10}}{39} [/mm] |*39
[mm] \gdw 39\beta=67-4\wurzel{10} [/mm] |-67
[mm] \gdw 39\beta-67=-4\wurzel{10} |^{2}
[/mm]
[mm] \gdw (39\beta-67)^{2}=16*10
[/mm]
[mm] \gdw 1521\beta^{2}-5226\beta=160 [/mm] |-160
[mm] \gdw 1521\beta^{2}-5226\beta-160=0
[/mm]
=> [mm] m_{\beta,\IZ}(x)=1521x^{2}-5226x-160, [/mm] d.h. [mm] \beta [/mm] ist algebraisch vom Grad 2.
ich danke euch schonmal! :)
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Hallo Sunny1508,
> Sind [mm]\alpha=<\overline{2}>[/mm] und [mm]\beta=<1;2,\overline{1,2,1}>[/mm]
> algebraisch vom Grad 2? Falls ja, gebe man das
> Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] konkret an.
>
>
>
>
> hallo alle zusammen!
> Also für [mm]\alpha[/mm] habe ich ein ergebnis raus und zwar ist
> [mm]\alpha^{2}-6\alpha+11=0[/mm]
> => [mm]m_{\alpha,\IZ}(x)=x^{2}-6x+11,[/mm] d.h. [mm]\alpha[/mm] ist
> algebraisch vom Grad 2.
>
> und für [mm]\beta[/mm] habe ich zwar auch ein Ergebnis raus, aber
> irgendwie sind das extrem große Zahlen und deswegen wollte
> ich euch fragen, ob das so stimmt oder ob ich mir irgendwo
> verrechnet habe?
> Hier ist meine Rechnung:
>
> Idee: [mm]\beta:=<1;2,\overline{1,2,1}>[/mm] als Irrationalzahl
> schreiben.
> Setze [mm]\delta:=<1,2,\delta>[/mm] mit [mm]\delta:=<\overline{1,2,1}>[/mm]
> Für [mm]\delta[/mm] habe ich dann raus, dass es
> [mm]\bruch{1+\wurzel{10}}{3}.[/mm]
[mm]\delta[/mm] muß doch [mm]\bruch{\wurzel{10}\blue{-}1}{3}[/mm] sein.
> => [mm]\beta=1+\bruch{1}{2+\bruch{1}{\delta}}[/mm]
> [mm]=1+\bruch{1}{2+\bruch{1+\wurzel{10}}{3}}.[/mm] so bis
> dahin weiß ich, dass es richtig ist und dann habe ich es
> halt zusammengefasst und da habe ich mich glaub ich
> verrechnet:
> [mm]=1+\bruch{1}{\bruch{2*3+1+\wurzel{10}}{3}}[/mm]
>
> [mm]=1+\bruch{3}{7+\wurzel{10}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{7+\wurzel{10}+3}{7+\wurzel{10}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{11+\wurzel{10}}{7+\wurzel{10}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{67-4\wurzel{10}}{39}[/mm]
>
> => [mm]\beta=\bruch{67-4\wurzel{10}}{39}[/mm] |*39
>
> [mm]\gdw 39\beta=67-4\wurzel{10}[/mm] |-67
>
> [mm]\gdw 39\beta-67=-4\wurzel{10} |^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw (39\beta-67)^{2}=16*10[/mm]
>
> [mm]\gdw 1521\beta^{2}-5226\beta=160[/mm] |-160
>
> [mm]\gdw 1521\beta^{2}-5226\beta-160=0[/mm]
>
> => [mm]m_{\beta,\IZ}(x)=1521x^{2}-5226x-160,[/mm] d.h. [mm]\beta[/mm] ist
> algebraisch vom Grad 2.
>
> ich danke euch schonmal! :)
Gruss
MathePower
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ja, also ich hab für [mm] \delta_{1} [/mm] raus: [mm] \bruch{1+\wurzel{10}}{3} [/mm] und für [mm] \delta_{2} [/mm] habe ich raus: [mm] \bruch{1-\wurzel{10}}{3}.
[/mm]
das [mm] \delta_{2} [/mm] wäre ja dann dein ergebnis. aber warum muss man das nehmen und nicht [mm] \delta_{1}? [/mm] Ich dachte, man muss das nehmen, was größer als 0 ist?
Also muss ich mit [mm] \delta{2} [/mm] weiterrechnen?
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Hallo Sunny1508,
> ja, also ich hab für [mm]\delta_{1}[/mm] raus:
> [mm]\bruch{1+\wurzel{10}}{3}[/mm] und für [mm]\delta_{2}[/mm] habe ich raus:
> [mm]\bruch{1-\wurzel{10}}{3}.[/mm]
>
> das [mm]\delta_{2}[/mm] wäre ja dann dein ergebnis. aber warum muss
> man das nehmen und nicht [mm]\delta_{1}?[/mm] Ich dachte, man muss
> das nehmen, was größer als 0 ist?
>
> Also muss ich mit [mm]\delta{2}[/mm] weiterrechnen?
Nein, natürlich muß mit [mm]\delta_{1}=\bruch{1+\wurzel{10}}{3}[/mm] weitergerechnet werden.
Dann ist aber die weitere Rechnung nicht richtig.
Es ist [mm]\beta=1+\bruch{1}{2+\bruch{1}{\delta_{1}}}=1+\bruch{1}{2+\blue{\bruch{3}{1+\wurzel{10}}}}[/mm]
Gruss
MathePower
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das wäre ja dann einfach nur mit dem kehrwert weitergerechnet. aber man muss doch erst den zähler mit dem nenner erweitern u dann davon den kehrwert nehmen oder nicht? so hatten wir es zumindest gelernt gehabt.
ich bin verwirrt *gg*
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Hallo Sunny1508,
> das wäre ja dann einfach nur mit dem kehrwert
> weitergerechnet. aber man muss doch erst den zähler mit
> dem nenner erweitern u dann davon den kehrwert nehmen oder
> nicht? so hatten wir es zumindest gelernt gehabt.
Den Bruch
[mm]\bruch{3}{1+\wurzel{10}}[/mm]
mußt Du so erweitern, daß der Nenner rational wird.
> ich bin verwirrt *gg*
Gruss
MathePower
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Wir haben einfach mit der Wurzel weitergerechnet und die im nächsten Schritt erst aufgelöst.
Ich habe mal mit deinem Zwischenschritt weitergerrechnet (schreibe nochmal die ganze rechnung auf):
[mm] \beta=1+\bruch{1}{2+\bruch{1+\wurzel{10}}{3}}
[/mm]
[mm] =1+\bruch{1}{2+\bruch{3}{1+\wurzel{10}}}
[/mm]
[mm] =1+\bruch{1}{\bruch{2*3+1+\wurzel{10}}{1+\wurzel{10}}}
[/mm]
[mm] =1+\bruch{1+\wurzel{10}}{7+\wurzel{10}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1*7+\wurzel{10}+1+\wurzel{10}}{7+\wurzel{10}}
[/mm]
[mm] =1+\wurzel{10}
[/mm]
=> [mm] \beta [/mm] ist also [mm] 1+\wurzel{10} [/mm] |-1
[mm] \gdw \beta-1=\wurzel{10} |^{2}
[/mm]
[mm] \gdw (\beta-1)^{2}=10
[/mm]
[mm] \gdw \beta^{2}-2\beta+1=10 [/mm] |-10
[mm] \gdw \beta^{2}-2\beta-9=0
[/mm]
=> [mm] m_{\beta,\IZ}(x)=x^{2}-2x-9, [/mm] d.h. [mm] \beta [/mm] ist algebraisch zum Grad 2.
Also das sind schonmal bessere Zahlen als bei meiner ersten Lösung. aber ob das stimmt? Jedenfalls stimmt es, egal was man rechnet, dass [mm] \beta [/mm] algebraisch vom Grad 2 ist ;)
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Hallo Sunny1508,
> Wir haben einfach mit der Wurzel weitergerechnet und die im
> nächsten Schritt erst aufgelöst.
>
> Ich habe mal mit deinem Zwischenschritt weitergerrechnet
> (schreibe nochmal die ganze rechnung auf):
>
> [mm]\beta=1+\bruch{1}{2+\bruch{1+\wurzel{10}}{3}}[/mm]
>
> [mm]=1+\bruch{1}{2+\bruch{3}{1+\wurzel{10}}}[/mm]
>
> [mm]=1+\bruch{1}{\bruch{2*3+1+\wurzel{10}}{1+\wurzel{10}}}[/mm]
Hier muss doch stehen: [mm]1+\bruch{1}{\bruch{\red{3+2*\left(1+\wurzel{10}\right)}}{1+\wurzel{10}}}[/mm]
>
> [mm]=1+\bruch{1+\wurzel{10}}{7+\wurzel{10}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1*7+\wurzel{10}+1+\wurzel{10}}{7+\wurzel{10}}[/mm]
>
> [mm]=1+\wurzel{10}[/mm]
>
> => [mm]\beta[/mm] ist also [mm]1+\wurzel{10}[/mm] |-1
>
> [mm]\gdw \beta-1=\wurzel{10} |^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw (\beta-1)^{2}=10[/mm]
>
> [mm]\gdw \beta^{2}-2\beta+1=10[/mm] |-10
>
> [mm]\gdw \beta^{2}-2\beta-9=0[/mm]
>
> => [mm]m_{\beta,\IZ}(x)=x^{2}-2x-9,[/mm] d.h. [mm]\beta[/mm] ist algebraisch
> zum Grad 2.
>
> Also das sind schonmal bessere Zahlen als bei meiner ersten
> Lösung. aber ob das stimmt? Jedenfalls stimmt es, egal was
> man rechnet, dass [mm]\beta[/mm] algebraisch vom Grad 2 ist ;)
Gruss
MathePower
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